1樓:鍾馗降魔劍
∵(n+1)a²(n+1)+a(n+1)an-na²n=0∴du[a(n+1)+an][(n+1)a(n+1)-nan]=0∴a(n+1)+an=0,或(n+1)a(n+1)-nan=0①當a(n+1)+an=0時,a(n+1)=-an,∴a(n+1)/an=-1,是等比數zhi列dao;
②當(n+1)a(n+1)=nan時,a(n+1)/an=n/(n+1)
那麼an/a(n-1)=(n-1)/n
a(n-1)/a(n-2)=(n-2)/(n-1)……回…………………………
a3/a2=2/3
a2/a1=1/2
累乘,得:an/a1=1/n,∴an=a1/n望採納答
2樓:匿名使用者
等式兩邊同除以a(n)a(n+1)就可以了求採納
累乘法求數列通項公式,最好能用紙寫下詳細過程,謝謝。
3樓:demon陌
具體回答如圖:
按一定次序排列的一列數稱為數列,而將數列 的第n項用一個具體式子(含有引數n)表示出來,稱作該數列的通項公式。這正如函式的解析式一樣,通過代入具體的n值便可求知相應an 項的值。而數列通項公式的求法,通常是由其遞推公式經過若干變換得到。
擴充套件資料:
類比一階遞迴數列概念,不妨定義同時含有an+2 、an+1、an的遞推式為二階數列,而對與此類數列求其通項公式較一階明顯難度大了。
適當的進行運算變形
例: 中,a1=3且 an+1 = an2, 求an
解:ln an+1= ln an2 = 2 ln an
∴是等比數列,其中公比q = 2,首項為ln3
∴ln an = (2n-1) ln3
故倒數變換法(適用於an+1 = a*an / (b*an + c),其中,a、b、c∈r) [5]
例:中,a1=1,an+1 = an / ( 2an + 1 )
解:1 / an+1 = ( 2an+1 ) / an = 1/an +2
∴是等差數列,首項是1,公差是2
∴an = 1 / (2n-1)
4樓:嘆輕狂
思路:計算通項公式的題目一般有兩種思路
1、通過遞推關係湊出等比或等差的組合關係,本題即是如此
2、自己計算得到前幾項的資料,根據直覺得到通項公式,使用數學歸納法證明
5樓:匿名使用者
你把an/an-1,an-1/an-2。。。a2/a1都寫出來,最後連乘,可以得到通項公式。
求數列的通項公式(累乘法)
6樓:匿名使用者
q=an/an-1=(2n-3)/(2n+1)an/a1=a2/a1*a3/a2*a4/a3*……*an-1/an-2*an/an-1=1/5*3/7*5/9*……*(2n-5)/(2n-1)*(2n-3)/(2n+1)=3/
an=3/
代入檢驗n=1時也成立
所以an=3/(n≥1)
用累加法和累乘法求數列通項公式
7樓:匿名使用者
^(1)
a1=3
a(n+1) = an + 1/[n(n+1)]a(n+1) -an = 1/n - 1/(n+1)an - a(n-1) = 1/(n-1) - 1/nan - a1 = [1/(n-1) - 1/n] +[1/(n-2) - 1/(n-1)] +...+[1/(2-1) - 1/2]
a1 -3 = 1 - 1/n
a1 = 4 - 1/n
(2)a1 =1
a(n+1) =2^n .an
a(n+1)/an = 2^n
an/a(n-1) = 2^(n-1)
an/a1 = 2^[1+2+...+(n-1) ]an/1 = 2^[n(n-1)/2]
an =2^[n(n-1)/2]
求數列通項公式,累乘法。最好能在紙上寫下具體過程,謝謝。
8樓:
分別代入n=1, 2, ,,,n-1到遞推式,得:
a2=2*2*5a1
a3=2*3*5²a2
a4=2*4*5³a3
....
an=2*n*5^(n-1)*a(n-1)以上n-1個式子相乘回,得:
an=2^(n-1)*n!*5^[n(n-1)/2] a1即答an=3*2^(n-1)*n!*5^[n(n-1)/2]
求數列的通項公式的方法
9樓:匿名使用者
在高考中數列部分的考查既是重點又是難點,不論是選擇題或填空題中對基礎知識的檢驗,還是壓軸題中與其他章節知識的綜合,抓住數列的通項公式通常是解題的關鍵。
求數列通項公式常用以下幾種方法:
一、題目已知或通過簡單推理判斷出是等比數列或等差數列,直接用其通項公式。
例:在數列中,若a1=1,an+1=an+2(n1),求該數列的通項公式an。
解:由an+1=an+2(n1)及已知可推出數列為a1=1,d=2的等差數列。所以an=2n-1。此類題主要是用等比、等差數列的定義判斷,是較簡單的基礎小題。
二、已知數列的前n項和,用公式
s1 (n=1)
sn-sn-1 (n2)
例:已知數列的前n項和sn=n2-9n,第k項滿足5
(a) 9 (b) 8 (c) 7 (d) 6
解:∵an=sn-sn-1=2n-10,∴5<2k-10<8 ∴k=8 選 (b)
此類題在解時要注意考慮n=1的情況。
三、已知an與sn的關係時,通常用轉化的方法,先求出sn與n的關係,再由上面的(二)方法求通項公式。
例:已知數列的前n項和sn滿足an=snsn-1(n2),且a1=-,求數列的通項公式。
解:∵an=snsn-1(n2),而an=sn-sn-1,snsn-1=sn-sn-1,兩邊同除以snsn-1,得---=-1(n2),而-=-=-,∴ 是以-為首項,-1為公差的等差數列,∴-= -,sn= -,
再用(二)的方法:當n2時,an=sn-sn-1=-,當n=1時不適合此式,所以,
- (n=1)
- (n2)
四、用累加、累積的方法求通項公式
對於題中給出an與an+1、an-1的遞推式子,常用累加、累積的方法求通項公式。
例:設數列是首項為1的正項數列,且滿足(n+1)an+12-nan2+an+1an=0,求數列的通項公式
解:∵(n+1)an+12-nan2+an+1an=0,可分解為[(n+1)an+1-nan](an+1+an)=0
又∵是首項為1的正項數列,∴an+1+an ≠0,∴-=-,由此得出:-=-,-=-,-=-,…,-=-,這n-1個式子,將其相乘得:∴ -=-,
又∵a1=1,∴an=-(n2),∵n=1也成立,∴an=-(n∈n*)
五、用構造數列方法求通項公式
題目中若給出的是遞推關係式,而用累加、累積、迭代等又不易求通項公式時,可以考慮通過變形,構造出含有 an(或sn)的式子,使其成為等比或等差數列,從而求出an(或sn)與n的關係,這是近
一、二年來的高考熱點,因此既是重點也是難點。
例:已知數列中,a1=2,an+1=(--1)(an+2),n=1,2,3,……
(1)求通項公式 (2)略
解:由an+1=(--1)(an+2)得到an+1--= (--1)(an--)
∴是首項為a1--,公比為--1的等比數列。
由a1=2得an--=(--1)n-1(2--) ,於是an=(--1)n-1(2--)+-
又例:在數列中,a1=2,an+1=4an-3n+1(n∈n*),證明數列是等比數列。
證明:本題即證an+1-(n+1)=q(an-n) (q為非0常數)
由an+1=4an-3n+1,可變形為an+1-(n+1)=4(an-n),又∵a1-1=1,
所以數列是首項為1,公比為4的等比數列。
若將此問改為求an的通項公式,則仍可以通過求出的通項公式,再轉化到an的通項公式上來。
又例:設數列的首項a1∈(0,1),an=-,n=2,3,4……(1)求通項公式。(2)略
解:由an=-,n=2,3,4,……,整理為1-an=--(1-an-1),又1-a1≠0,所以是首項為1-a1,公比為--的等比數列,得an=1-(1-a1)(--)n-1
解題方略
10樓:匿名使用者
構造法求數列的通項公式
在數列求通項的有關問題中,經常遇到即非等差數列,又非等比數列的求通項問題,特別是給出的數列相鄰兩項是線性關係的題型,在老教材中,可以通過不完全歸納法進行歸納、猜想,然後藉助於數學歸納法予以證明,但新教材中,由於刪除了數學歸納法,因而我們遇到這類問題,就要避免用數學歸納法。這裡我向大家介紹一種解題方法——構造等比數列或等差數列求通項公式。
構造法就是在解決某些數學問題的過程中,通過對條件與結論的充分剖析,有時會聯想出一種適當的輔助模型,以此促成命題轉換,產生新的解題方法,這種思維方法的特點就是「構造」.若已知條件給的是數列的遞推公式要求出該數列的通項公式,此類題通常較難,但使用構造法往往給人耳目一新的感覺. 供參考。
1、構造等差數列或等比數列
由於等差數列與等比數列的通項公式顯然,對於一些遞推數列問題,若能構造等差數列或等比數列,無疑是一種行之有效的構造方法.
例1 設各項均為正數的數列 的前n項和為sn,對於任意正整數n,都有等式: 成立,求 的通項an.
解: , ∴
,∵ ,∴ .
即 是以2為公差的等差數列,且 .
∴ 例2 數列 中前n項的和 ,求數列的通項公式 .
解:∵當n≥2時,
令 ,則 ,且
是以 為公比的等比數列,
∴ .2、構造差式與和式
解題的基本思路就是構造出某個數列的相鄰兩項之差,然後採用迭加的方法就可求得這一數列的通項公式.
例3 設 是首項為1的正項數列,且 ,(n∈n*),求數列的通項公式an.
解:由題設得 .
∵ , ,∴ .∴ .
例4 數列 中, ,且 ,(n∈n*),求通項公式an.
解:∵∴ (n∈n*)
3、構造商式與積式
構造數列相鄰兩項的商式,然後連乘也是求數列通項公式的一種簡單方法.
例5 數列 中, ,前n項的和 ,求 .
解: ,
∴ ∴
4、構造對數式或倒數式
有些數列若通過取對數,取倒數代數變形方法,可由複雜變為簡單,使問題得以解決.
例6 設正項數列 滿足 , (n≥2).求數列 的通項公式.
解:兩邊取對數得: , ,設 ,則
是以2為公比的等比數列, .
, , ,∴
11樓:匿名使用者
八種求數列通項公式的方法
一、公式法例1 已知數列 滿足 , ,求數列 的通項公式。解: 兩邊除以 ,得 ,則 ,故數列 是以 為首項,以 為公差的等差數列,由等差數列的通項公式,得 ,所以數列 的通項公式為 。
評註:本題解題的關鍵是把遞推關係式 轉化為 ,說明數列 是等差數列,再直接利用等差數列的通項公式求出 ,進而求出數列 的通項公式。
二、累加法例2 已知數列 滿足 ,求數列 的通項公式。解:由 得 則所以數列 的通項公式為 。
評註:本題解題的關鍵是把遞推關係式 轉化為 ,進而求出 ,即得數列 的通項公式。例3 已知數列 滿足 ,求數列 的通項公式。
解:由 得 則所以 評註:本題解題的關鍵是把遞推關係式 轉化為 ,進而求出 ,即得數列 的通項公式。
例4 已知數列 滿足 ,求數列 的通項公式。解: 兩邊除以 ,得 ,則 ,故因此 ,則 評註:
本題解題的關鍵是把遞推關係式 轉化為 ,進而求出 ,即得數列 的通項公式,最後再求數列 的通項公式。
三、累乘法例5 已知數列 滿足 ,求數列 的通項公式。解:因為 ,所以 ,則 ,故 所以數列 的通項公式為 評註:
本題解題的關鍵是把遞推關係 轉化為 ,進而求出 ,即得數列 的通項公式。例6已知數列 滿足 ,求 的通項公式。解:
因為 ①所以 ②用②式-①式得 則 故 所以 ③由 , ,則 ,又知 ,則 ,代入③得 。所以, 的通項公式為 評註:本題解題的關鍵是把遞推關係式 轉化為 ,進而求出 ,從而可得當 的表示式,最後再求出數列 的通項公式。
四、待定係數法例7 已知數列 滿足 ,求數列 的通項公式。解:設 ④將 代入④式,得 ,等式兩邊消去 ,得 ,兩邊除以 ,得 代入④式得 ⑤由 及⑤式得 ,則 ,則數列 是以 為首項,以2為公比的等比數列,則 ,故 。
評註:本題解題的關鍵是把遞推關係式 轉化為 ,從而可知數列 是等比數列,進而求出數列 的通項公式,最後再求出數列 的通項公式。例8 已知數列 滿足 ,求數列 的通項公式。
解:設 ⑥將 代入⑥式,得整理得 。令 ,則 ,代入⑥式得 ⑦由 及⑦式,得 ,則 ,故數列 是以 為首項,以3為公比的等比數列,因此 ,則 。
評註:本題解題的關鍵是把遞推關係式 轉化為 ,從而可知數列 是等比數列,進而求出數列 的通項公式,最後再求數列 的通項公式。例9 已知數列 滿足 ,求數列 的通項公式。
解:設 ⑧將 代入⑧式,得,則等式兩邊消去 ,得 ,解方程組 ,則 ,代入⑧式,得 ⑨由 及⑨式,得 則 ,故數列 為以 為首項,以2為公比的等比數列,因此 ,則 。評註:
本題解題的關鍵是把遞推關係式 轉化為 ,從而可知數列 是等比數列,進而求出數列 的通項公式,最後再求出數列 的通項公式。
五、對數變換法例10 已知數列 滿足 , ,求數列 的通項公式。解:因為 ,所以 。
在 式兩邊取常用對數得 ⑩設 11將⑩式代入11式,得 ,兩邊消去 並整理,得 ,則,故 代入11式,得 12由 及12式,得 ,則 ,所以數列 是以 為首項,以5為公比的等比數列,則 ,因此 則 。評註:本題解題的關鍵是通過對數變換把遞推關係式 轉化為 ,從而可知數列 是等比數列,進而求出數列 的通項公式,最後再求出數列 的通項公式。
六、迭代法例11 已知數列 滿足 ,求數列 的通項公式。解:因為 ,所以 又 ,所以數列 的通項公式為 。
評註:本題還可綜合利用累乘法和對數變換法求數列的通項公式。即先將等式 兩邊取常用對數得 ,即 ,再由累乘法可推知 ,從而 。
七、數學歸納法例12 已知數列 滿足 ,求數列 的通項公式。解:由 及 ,得由此可猜測 ,往下用數學歸納法證明這個結論。
(1)當 時, ,所以等式成立。(2)假設當 時等式成立,即 ,則當 時,由此可知,當 時等式也成立。根據(1),(2)可知,等式對任何 都成立。
評註:本題解題的關鍵是通過首項和遞推關係式先求出數列的前n項,進而猜出數列的通項公式,最後再用數學歸納法加以證明。
八、換元法例13 已知數列 滿足 ,求數列 的通項公式。解:令 ,則 故 ,代入 得即 因為 ,故 則 ,即 ,可化為 ,所以 是以 為首項,以 為公比的等比數列,因此 ,則 ,即 ,得。
評註:本題解題的關鍵是通過將 的換元為 ,使得所給遞推關係式轉化 形式,從而可知數列 為等比數列,進而求出數列 的通項公式,最後再求出數列 的通項公式。
求數列通項公式
1 a1 3a2 3 2a3 3 n 1 an n 3 a1 3a2 3 2a3 3 n 2 an 1 n 1 3 上式 下式,得 3 n 1 an 1 3 an 3 n 2 bn n an bn n 3 n n 3 n sn 1 3 1 2 3 2 3 3 3 4 3 4 n 1 3 n 1 n ...
求數學大神解答。剛學數列的通項公式,有的數列不是應該沒有通項公式嗎 但是如果用分段函式表達,例如如
圖一沒有通項公式,圖二 只有n 1特殊,其他數都是同一個通項,隨著學習會遇到許多這種題,多了自然會理解了 數學等差數列怎樣求通項公式?這樣問範copy圍很廣泛 但數列求通項公式有bai一些基 du本題型 一 由公式zhi 等差數列通項公dao式an a1 n 1 d,確定其中的3個量 n,d,a1可...
已知a1 1,an an 1 3 n求數列的通項公式
解 題中的an 1應該是a n 1 吧,an an 1 3 n a n 1 a n 2 3 n 1 a2 a1 3 2 由以上各式相乘得 an a1 3 n n 1 2 3 n 2 n 1 2 因為a1 1 所以,an 3 n 2 n 1 2 an an 1 an 1 an 2 an 2 an 3 ...