1樓:佇立的曠野
圓周率是有理數還是無理數,證明給你看
2樓:北美敗家子
圓周率π是無理數。證明如下:
假設π是有理數,則π=a/b,(a,b為自然數)
令f(x)=(x^n)[(a-bx)^n]/(n!)
若0 0 0 以上兩式相乘得: 0 當n充分大時,,在[0,π]區間上的積分有 0<∫f(x)sinxdx <[π^(n+1)](a^n)/(n!)<1 …………(1) 又令:f(x)=f(x)-f"(x)+[f(x)]^(4)-…+[(-1)^n][f(x)]^(2n),(表示偶數階導數) 由於n!f(x)是x的整係數多項式,且各項的次數都不小於n,故f(x)及其各階導數在x=0點處的值也都是整數,因此,f(x)和f(π)也都是整數。 又因為d[f'(x)sinx-f(x)conx]/dx =f"(x)sinx+f'(x)cosx-f'(x)cosx+f(x)sinx =f"(x)sinx+f(x)sinx =f(x)sinx 所以有: ∫f(x)sinxdx=[f'(x)sinx-f(x)cosx],(此處上限為π,下限為0) =f(π)+f(0) 上式表示∫f(x)sinxdx在[0,π]區間上的積分為整數,這與(1)式矛盾。所以π不是有理數,又它是實數,故π是無理數。 證明π是無理數 3樓: 假設pi=a/b,我們定義(對某個n): f(x) = (x^n) * (a-bx)^n / n! f(x) = f(x) + ... + (-1)^j * f^(2j)(x) + ... + (-1)^n * f^(2n)(x) 這裡f^(2j)是f的2j次導數. 於是f和f有如下性質(都很容易驗證): (1)f(x)是一個整係數多項式除以n!。 (2)f(x) = f(pi - x) (3)f在(0,pi)區間上嚴格遞增,並且x趨於0時f(x)趨於0, x趨於pi時f(x)趨於pi^n * a^n / n! (4)對於0 <= j < n, f的j次導數在0和pi處的值是0。 (5)對於j >= n, f的j次導數在0和pi處是整數(由1)可知)。 (6)f(0)和f(pi)是整數(由4),5)可知)。 (7)f + f'' = f (8)(f'·sin - f·cos)' = f·sin (由7)可知)。 這樣,對f·sin從0到pi進行定積分,就是 (f'(pi)sin(pi)-f(pi)cos(pi)) - (f'(0)sin(0)-f(0)cos(0)) =f(pi)+f(0) 由(6)可知這是個整數。 問題在於如果把n取得很大,由3)可知f·sin從0到pi進行定積分必須嚴格大於0嚴格小於1。矛盾,證畢。 4樓: 利用反證法,假設π是有理數,設π=a/b,a,b為互質正整數,定義f(x)=x^n*(a–bx)^n/n! =\sum_^n (-1)^i*a^(n-i)*b^i*x^(n+i)/ n!. f(0)=0;當02n時顯然有f(r)(0)=0, 當 5樓:o5議會某人員 分子和分母不是無理數這個分數就一定是有理數。然而周長/直徑等於兀,但周長和直徑都是有理數 6樓:欒聰丘夜梅 假設∏是有理數,則∏=a/b,(a,b為自然數) 令f(x)=(x^n)[(a-bx)^n]/(n!) 若0 0 0 以上兩式相乘得: 0 當n充分大時,,在[0,∏]區間上的積分有 0<∫f(x)sinxdx <[∏^(n+1)](a^n)/(n!)<1 …………(1) 又令:f(x)=f(x)-f"(x)+[f(x)]^(4)-…+[(-1)^n][f(x)]^(2n),(表示偶數階導數) 由於n!f(x)是x的整係數多項式,且各項的次數都不小於n,故f(x)及其各階導數在x=0點處的值也都是整數,因此,f(x)和f(∏)也都是整數。 又因為d[f'(x)sinx-f(x)conx]/dx =f"(x)sinx+f'(x)cosx-f'(x)cosx+f(x)sinx =f"(x)sinx+f(x)sinx =f(x)sinx 所以有: ∫f(x)sinxdx=[f'(x)sinx-f(x)cosx],(此處上限為∏,下限為0) =f(∏)+f(0) 上式表示∫f(x)sinxdx在[0,∏]區間上的積分為整數,這與(1)式矛盾。所以∏不是有理數,又它是實數,故∏是無理數。 7樓:電燈劍客 3樓貼的證法已經是很簡潔的經典證法了。 首先需要肯定的是,π的定義依賴於極限,所以基本上不可能在初等數學範疇裡完成。 還有一種比較常規的方法就是利用連分數,其思想很簡單,因為有理數的連分數表示是有限的,只要找到π的連分數表示就行了。這種做法還可以適用於很多無理數的證明,當然你首先需要掌握如何把taylor級數轉化成連分數形式。學習這種方法還不如把3樓提供的方法看懂。 你打出拼音pai,然後就有 我就是這樣打出來的 你也可以找特殊符號或數學符號 望採納!搜狗拼音裡有特殊符號,能找到 圓周率 pi 用希臘字母 表示。代表圓周長和直徑的比值。它是一個無理數,即無限不迴圈小數。在日常生活中,通常都用3.14代表圓周率去進行近似計算。而用十位小數3.141592654便足... 比例 線段ab上一點c,ac是ab與bc的比例中項,那麼ac ab值就是 比例。設ab 1,ac x,bc 1 x,x 2 1 x,x 2 x 1 0,x 1 根號5 2,x 1 根號5 2 負值捨去 x約等於0.618,ac ab x 1 x約等於0.618。你可以列一個式子計算 比,計算出來是 ... 若2 1 2是有理數,則必可表示為m n的形式其中m,n是整數且不全為偶。數,開方得m 2 2n 2,若n為偶數,則2n 2也是偶數,此時因為m不是偶數,所以m 2也不可能是。偶數,故此時等式m 2 2n 2不成立。同理可證明m為偶數和m,n都不是偶數時等式都不成立。於是產生矛盾,所以假設2 1 2...圓周率的派怎麼寫
為什麼黃金比例是無理數,派為什麼是無理數?
如何證明根號2和根號3是無理數?