1樓：玉潤釁振凱
簡單來說，梯度方向是函式增長最快的方向，很顯然增長最快的方向是過該點的等量面的法線方向，所以，函式在一點的梯度方向是這點的法線方向
2樓：勁無憂
所謂梯度的方向，是函式值增大最快的方向，從一條等值線到下一條等值線，斜著走是不是需要走更遠的路？那就不是最快的方向，只有處處垂直等值線，才會在走同樣的距離的情況下，跨過最多的等值線。
3樓：
真不知道上面那些回答的人有沒有認真看過梯度的定義，估計是複製黏貼來的吧，居然還有人點贊。。。
首先問題應該是錯了，二元函式中，正確表述是梯度是等值線的法向量，梯度不可能和等值面正交，梯度和等值面是平行的（或者就在等值面內）。
以下是不嚴謹的證明：以二元函式為例，設函式z=f(x, y)。那麼它在點 p上的梯度向量為:
v1=(fx(p), fy(p))。設等值線函式為且過點p，根據隱函式求導法則，可以求出等值線函式在點p處的導數為:-fx(p)/fy(p)。
於是可以設一個向量v2=(1, -fx(p)/fy(p)) ，然後就會發現v1和v2兩個向量內積為0，兩個向量正交。
在三元函式中，等值線升維成等值面，梯度依然是法向量，證明方法同上。
4樓：匿名使用者
我認為就是這樣規定的，其它方向的值幾乎各不相同
5樓：匿名使用者
某點的梯度是該點最大的方向導數，此方向與等值面垂直！
為什麼梯度方向是等高線的法線方向？
6樓：路路通
梯度的確是某一類曲線的法線方向，重要的問題是:什麼曲線?是等值線!
就是所有滿足f(x,y)=c的點(x,y)確定的曲線。那在單變數下怎麼理解?就是f(x)=c確定的x，只不過是一些點而已!
樓主把函式曲線本身給當成等值線了。那這種情形下梯度的方向怎麼確定?回顧梯度的意義:
函式值增長最快的自變數改變方向。所以在單變數情況下只能是沿x正方向或負方向，導數為正就沿正方向，導數為負就沿負方向。
7樓：老師
你可以這樣想象一個z=f(x,y)的三維影象，每一個（x,y）點都有一個z與之對映，可以想象得到那將是一個曲面，然後你想象曲面上一個特定的點，它就像你在爬山的時候站在半山腰一樣。
如果你平的在那個半山腰左右走，那麼你的高度是不會變的。這裡高度就是z的值。這條你剛剛走的線就是等值線。
既然在求梯度的時候要求導，正如一元函式一樣，你把「很小的曲面」當作「平面」來求導，正如你在一元函式中把「一小段曲線」當化做"直線"一樣。你可以想象如果你筆直朝著山頂走，就可以最快的上升（如果是平面,而且你的速度一定的話）。這條向上的線的就是梯度向量加上z的增量所組成的向量。
（注意，二元函式的梯度是二維的向量。兩個維度是自變數。）
現在你已經在這個曲面上找到了等值線和梯度了，試想下，你在一個斜的平面上走，向上升最快的方向是不是唯一的呢？平著走和向上走兩個方向是不是垂直的呢？所以說,梯度是等值線的法線方向.
這就是梯度幾何意義，如果用向量乘來計算，那將是
→ →
δz = grad z · l
我很奇怪為什麼打出來這個點乘符號這麼小。左邊是z的增加量，就是上升多少，右邊是一個向上走的方向，一個是你現在選擇的前進的方向向量。這裡選擇前進方向為（δx,δy）,得到：
δz=z'｜x · δx +z'｜y ·δy 你可以看到,這就是二元函式偏導的定義.
現在把你前進的速度定為1,也就是l的長度定為1,得到的值就是方向導數.這是因為你選定了方向和速度,那麼左邊就是你上升的速度,也就是方向導數.
希望我的話對你理解有所幫助.
為什麼梯度方向是等高線的法線方向。。怎麼理解啊
8樓：老師
你可以這樣想象一個z=f(x,y)的三維影象，每一個（x,y）點都有一個z與之對映，可以想象得到那將是一個曲面，然後你想象曲面上一個特定的點，它就像你在爬山的時候站在半山腰一樣。
如果你平的在那個半山腰左右走，那麼你的高度是不會變的。這裡高度就是z的值。這條你剛剛走的線就是等值線。
既然在求梯度的時候要求導，正如一元函式一樣，你把「很小的曲面」當作「平面」來求導，正如你在一元函式中把「一小段曲線」當化做"直線"一樣。你可以想象如果你筆直朝著山頂走，就可以最快的上升（如果是平面,而且你的速度一定的話）。這條向上的線的就是梯度向量加上z的增量所組成的向量。
（注意，二元函式的梯度是二維的向量。兩個維度是自變數。）
現在你已經在這個曲面上找到了等值線和梯度了，試想下，你在一個斜的平面上走，向上升最快的方向是不是唯一的呢？平著走和向上走兩個方向是不是垂直的呢？所以說,梯度是等值線的法線方向.
這就是梯度幾何意義，如果用向量乘來計算，那將是
→ →
δz = grad z · l
我很奇怪為什麼打出來這個點乘符號這麼小。左邊是z的增加量，就是上升多少，右邊是一個向上走的方向，一個是你現在選擇的前進的方向向量。這裡選擇前進方向為（δx,δy）,得到：
δz=z'｜x · δx +z'｜y ·δy 你可以看到,這就是二元函式偏導的定義.
現在把你前進的速度定為1,也就是l的長度定為1,得到的值就是方向導數.這是因為你選定了方向和速度,那麼左邊就是你上升的速度,也就是方向導數.
希望我的話對你理解有所幫助.
梯度方向不是法線方向？
9樓：匿名使用者
我知道樓主哪來裡理解錯了。源梯度的確是某一類bai曲線的法線方向，重要的du問題是：什zhi麼曲線？
是等值線！dao就是所有滿足f(x,y)=c的點（x,y)確定的曲線。那在單變數下怎麼理解？
就是f(x)=c確定的x，只不過是一些點而已！樓主把函式曲線本身給當成等值線了。那這種情形下梯度的方向怎麼確定？
回顧梯度的意義：函式值增長最快的自變數改變方向。所以在單變數情況下只能是沿x正方向或負方向，導數為正就沿正方向，導數為負就沿負方向。
為什麼梯度的模就是沿這個方向的方向導數
10樓：匿名使用者
細想了一下覺得可以這樣解釋：根據公式∂f/∂l=(∂f/∂x,∂f/∂y)(cosα，sinα)=|gradf(x,y)|cosθ，方向導數是梯度在不同方向上的投影。
這樣就很好的說明了梯度和方向導數的關係而且為什麼方向導數的最大值是梯度的模。
梯度的方向為何是從低等高線指向高等高線？為何不是相反方向？請大俠點撥一下。
11樓：匿名使用者
同濟四版關於這個問題的思維跳躍太大，很不厚道！
同濟五版關於這個問題繼續跳躍，直接給結論，就是不講為什麼，急死你！
盼星星盼月亮終於等到了仍然在裝的同濟六版，但在p104留下了蛛絲馬跡：
上面這段話中θ=0是關鍵點。因為θ=0時，方向導數（還是同濟六版p104）
=|grad f(x0,y0)|×1>0，即沿梯度方向的方向導數》0，再加上方向導數定義中t→0+，也就是說函式在梯度方向的變化率是正的，所以函式值沿梯度要變大，即從低等高線指向高等高線。
雖然同濟六版未講內法線外法線的概念，但應該不妨礙理解上面內容。
12樓：
我也想知道…我們定向所有的都應該是高指低才對…
高等數學，關於等值線的梯度這個知識點，說梯度方向和法向量方向相同，都是從數值低的等值線指向數值高的
13樓：匿名使用者
這個可以嚴格證明的，，，梯度方向是函式值增加的方向。。。。
橢圓的法線方程的意義它為什麼是這樣的謝謝
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