1樓：匿名使用者
解：（x+5）=16÷3
（x+5）=5.33.......................
x=5.33..............-5x=0.33...................
(迴圈小數)
2樓：小辣
x+5=16/3
x=16/3-5
x=1/3
3樓：匿名使用者
一、知識要點：
一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中數學的一個重點內容，也是今後學習數學的基礎，應引起同學們的重視。
一元二次方程的一般形式為：ax2+bx+c=0, (a≠0)，它是隻含一個未知數，並且未知數的最高次數是2的整式方程。
解一元二次方程的基本思想方法是通過「降次」將它化為兩個一元一次方程。一元二次方程有四種解 法：1、直接開平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。
二、方法、例題精講：
1、直接開平方法：
直接開平方法就是用直接開平方求解一元二次方程的方法。用直接開平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的方程，其解為x=m± .
例1．解方程（1）(3x+1)2=7 （2）9x2-24x+16=11
分析：（1）此方程顯然用直接開平方法好做，（2）方程左邊是完全平方式(3x-4)2，右邊=11>0，所以此方程也可用直接開平方法解。
(1）解：(3x+1)2=7×
∴(3x+1)2=5
∴3x+1=±(注意不要丟解)
∴x=∴原方程的解為x1=,x2=
（2）解： 9x2-24x+16=11
∴(3x-4)2=11
∴3x-4=±
∴x=∴原方程的解為x1=,x2=
2．配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a≠0)
先將常數c移到方程右邊：ax2+bx=-c
將二次項係數化為1：x2+x=-
方程兩邊分別加上一次項係數的一半的平方：x2+x+( )2=- +( )2
方程左邊成為一個完全平方式：(x+ )2=
當b2-4ac≥0時，x+ =±
∴x=(這就是求根公式)
例2．用配方法解方程 3x2-4x-2=0
解：將常數項移到方程右邊 3x2-4x=2
將二次項係數化為1：x2-x=
方程兩邊都加上一次項係數一半的平方：x2-x+( )2= +( )2
配方：(x-)2= 直接開平方得：x-=±
∴x=∴原方程的解為x1=,x2= .
3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然後計算判別式△=b2-4ac的值，當b2-4ac≥0時，把各項係數a, b, c的值代入求根公式x=(b2-4ac≥0)就可得到方程的根。
例3．用公式法解方程 2x2-8x=-5
解：將方程化為一般形式：2x2-8x+5=0
∴a=2, b=-8, c=5
b2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0
∴x= = =
∴原方程的解為x1=,x2= .
4．因式分解法：把方程變形為一邊是零，把另一邊的二次三項式分解成兩個一次因式的積的形式，讓
兩個一次因式分別等於零，得到兩個一元一次方程，解這兩個一元一次方程所得到的根，就是原方程的兩個
根。這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
例4．用因式分解法解下列方程：
(1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x2+3x=0
(3) 6x2+5x-50=0 (選學） (4)x2-2( + )x+4=0 （選學）
(1)解：(x+3)(x-6)=-8 化簡整理得
x2-3x-10=0 (方程左邊為二次三項式，右邊為零)
(x-5)(x+2)=0 (方程左邊分解因式)
∴x-5=0或x+2=0 (轉化成兩個一元一次方程)
∴x1=5,x2=-2是原方程的解。
(2)解：2x2+3x=0
x(2x+3)=0 (用提公因式法將方程左邊分解因式)
∴x=0或2x+3=0 (轉化成兩個一元一次方程)
∴x1=0，x2=-是原方程的解。
注意：有些同學做這種題目時容易丟掉x=0這個解，應記住一元二次方程有兩個解。
(3)解：6x2+5x-50=0
(2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式時要特別注意符號不要出錯)
∴2x-5=0或3x+10=0
∴x1=, x2=- 是原方程的解。
(4)解：x2-2(+ )x+4 =0 （∵4 可分解為2 •2 ，∴此題可用因式分解法）
(x-2)(x-2 )=0
∴x1=2 ,x2=2是原方程的解。
小結：一般解一元二次方程，最常用的方法還是因式分解法，在應用因式分解法時，一般要先將方程寫成一般
形式，同時應使二次項係數化為正數。
直接開平方法是最基本的方法。
公式法和配方法是最重要的方法。公式法適用於任何一元二次方程（有人稱之為萬能法），在使用公式
法時，一定要把原方程化成一般形式，以便確定係數，而且在用公式前應先計算判別式的值，以便判斷方程
是否有解。
配方法是推導公式的工具，掌握公式法後就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法
解一元二次方程。但是，配方法在學習其他數學知識時有廣泛的應用，是初中要求掌握的三種重要的數學方
法之一，一定要掌握好。（三種重要的數學方法：換元法，配方法，待定係數法）。
例5．用適當的方法解下列方程。(選學）
（1）4(x+2)2-9(x-3)2=0 （2）x2+(2-)x+ -3=0
（3） x2-2 x=- （4）4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0
分析：（1）首先應觀察題目有無特點，不要盲目地先做乘法運算。觀察後發現，方程左邊可用平方差
公式分解因式，化成兩個一次因式的乘積。
（2）可用十字相乘法將方程左邊因式分解。
（3）化成一般形式後利用公式法解。
（4）把方程變形為 4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0，然後可利用十字相乘法因式分解。
（1）解：4(x+2)2-9(x-3)2=0
[2(x+2)+3(x-3)][2(x+2)-3(x-3)]=0
(5x-5)(-x+13)=0
5x-5=0或-x+13=0
∴x1=1,x2=13
（2）解： x2+(2- )x+ -3=0
[x-(-3)](x-1)=0
x-(-3)=0或x-1=0
∴x1=-3，x2=1
（3）解：x2-2 x=-
x2-2 x+ =0 (先化成一般形式)
△=(-2 )2-4 ×=12-8=4>0
∴x=∴x1=,x2=
（4）解：4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0
4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0
[2x-(m+2)][2x-(m+3)]=0
2x-(m+2)=0或2x-(m+3)=0
∴x1= ,x2=
例6．求方程3(x+1)2+5(x+1)(x-4)+2(x-4)2=0的二根。 (選學）
分析：此方程如果先做乘方，乘法，合併同類項化成一般形式後再做將會比較繁瑣，仔細觀察題目，我
們發現如果把x+1和x-4分別看作一個整體，則方程左邊可用十字相乘法分解因式（實際上是運用換元的方
法） 解：[3(x+1)+2(x-4)][(x+1)+(x-4)]=0
即 (5x-5)(2x-3)=0
∴5(x-1)(2x-3)=0
(x-1)(2x-3)=0
∴x-1=0或2x-3=0
∴x1=1,x2=是原方程的解。
例7．用配方法解關於x的一元二次方程x2+px+q=0
解：x2+px+q=0可變形為
x2+px=-q (常數項移到方程右邊)
x2+px+( )2=-q+()2 (方程兩邊都加上一次項係數一半的平方)
(x+)2= (配方)
當p2-4q≥0時，≥0（必須對p2-4q進行分類討論）
∴x=- ±=
∴x1= ,x2=
當p2-4q<0時，<0此時原方程無實根。
說明：本題是含有字母系數的方程，題目中對p, q沒有附加條件，因此在解題過程中應隨時注意對字母
取值的要求，必要時進行分類討論。
練習：（一）用適當的方法解下列方程：
1. 6x2-x-2=0 2. (x+5)(x-5)=3
3. x2-x=0 4. x2-4x+4=0
5. 3x2+1=2x 6. (2x+3)2+5(2x+3)-6=0
（二）解下列關於x的方程
1.x2-ax+-b2=0 2. x2-( + )ax+ a2=0
練習參***：
（一）1.x1=- ,x2= 2.x1=2,x2=-2
3.x1=0,x2= 4.x1=x2=2 5.x1=x2=
6.解：（把2x+3看作一個整體，將方程左邊分解因式）
[(2x+3)+6][(2x+3)-1]=0
即 (2x+9)(2x+2)=0
∴2x+9=0或2x+2=0
∴x1=-,x2=-1是原方程的解。
（二）1．解：x2-ax+( +b)( -b)=0 2、解：x2-(+ )ax+ a• a=0
[x-( +b)] [x-( -b)]=0 (x- a)(x-a)=0
∴x-( +b)=0或x-( -b) =0 x- a=0或x-a=0
∴x1= +b，x2= -b是 ∴x1= a，x2=a是
原方程的解。 原方程的解。
測試 選擇題
1．方程x(x-5)=5(x-5)的根是（ ）
a、x=5 b、x=-5 c、x1=x2=5 d、x1=x2=-5
2．多項式a2+4a-10的值等於11，則a的值為（ ）。
a、3或7 b、-3或7 c、3或-7 d、-3或-7
3．若一元二次方程ax2+bx+c=0中的二次項係數，一次項係數和常數項之和等於零，那麼方程必有一個
根是（ ）。
a、0 b、1 c、-1 d、±1
4． 一元二次方程ax2+bx+c=0有一個根是零的條件為（ ）。
a、b≠0且c=0 b、b=0且c≠0
c、b=0且c=0 d、c=0
5． 方程x2-3x=10的兩個根是（ ）。
a、-2，5 b、2，-5 c、2，5 d、-2，-5
6． 方程x2-3x+3=0的解是（ ）。
a、 b、 c、 d、無實根
7． 方程2x2-0.15=0的解是（ ）。
a、x= b、x=-
c、x1=0.27, x2=-0.27 d、x1=, x2=-
8． 方程x2-x-4=0左邊配成一個完全平方式後，所得的方程是（ ）。
a、(x-)2= b、(x- )2=-
c、(x- )2= d、以上答案都不對
9． 已知一元二次方程x2-2x-m=0，用配方法解該方程配方後的方程是（ ）。
a、(x-1)2=m2+1 b、(x-1)2=m-1 c、(x-1)2=1-m d、(x-1)2=m+1
答案與解析
答案：1.c 2.c 3.b 4.d 5.a 6.d 7.d 8.c 9.d
解析：1．分析：移項得：(x-5)2=0，則x1=x2=5,
注意：方程兩邊不要輕易除以一個整式，另外一元二次方程有實數根，一定是兩個。
2．分析：依題意得：a2+4a-10=11, 解得 a=3或a=-7.
3．分析：依題意：有a+b+c=0, 方程左側為a+b+c, 且具僅有x=1時， ax2+bx+c=a+b+c，意味著當x=1
時，方程成立，則必有根為x=1。
4．分析：一元二次方程 ax2+bx+c=0若有一個根為零，
則ax2+bx+c必存在因式x，則有且僅有c=0時，存在公因式x，所以 c=0.
另外，還可以將x=0代入，得c=0，更簡單！
5．分析：原方程變為 x2-3x-10=0,
則(x-5)(x+2)=0
x-5=0 或x+2=0
x1=5, x2=-2.
6．分析：δ=9-4×3=-3<0，則原方程無實根。
7．分析：2x2=0.15
x2=x=±注意根式的化簡，並注意直接開平方時，不要丟根。
8．分析：兩邊乘以3得：x2-3x-12=0，然後按照一次項係數配方，x2-3x+(-)2=12+(- )2，
整理為：(x-)2=
方程可以利用等式性質變形，並且 x2-bx配方時，配方項為一次項係數-b的一半的平方。
9．分析：x2-2x=m, 則 x2-2x+1=m+1
則(x-1)2=m+1.
中考解析
考題評析
1．（甘肅省）方程的根是（ ）
（a） （b） （c） 或 （d） 或
評析：因一元二次方程有兩個根，所以用排除法，排除a、b選項，再用驗證法在c、d選項中選出正確
選項。也可以用因式分解的方法解此方程求出結果對照選項也可以。選項a、b是隻考慮了一方面忘記了一元
二次方程是兩個根，所以是錯誤的，而選項d中x=－1，不能使方程左右相等，所以也是錯誤的。正確選項為
c。 另外常有同學在方程的兩邊同時除以一個整式，使得方程丟根，這種錯誤要避免。
2．（吉林省）一元二次方程的根是__________。
評析：思路，根據方程的特點運用因式分解法，或公式法求解即可。
3．（遼寧省）方程的根為（ ）
（a）0 （b）–1 （c）0，–1 （d）0，1
評析：思路：因方程為一元二次方程，所以有兩個實根，用排除法和驗證法可選出正確選項為c，而a、
b兩選項只有一個根。d選項一個數不是方程的根。另外可以用直接求方程根的方法。
4．（河南省）已知x的二次方程的一個根是–2，那麼k=__________。
評析：k=4.將x=-2代入到原方程中去，構造成關於k的一元二次方程，然後求解。
5．（西安市）用直接開平方法解方程(x-3)2=8得方程的根為（ ）
（a）x=3+2 （b）x=3-2
（c）x1=3+2 ,x2=3-2 （d）x1=3+2,x2=3-2
評析：用解方程的方法直接求解即可，也可不計算，利用一元二次方程有解，則必有兩解及8的平方
根，即可選出答案。
課外拓展
一元二次方程
一元二次方程（quadratic equation of one variable）是指含有一個未知數且未知數的最高次項是二
次的整式方程。 一般形式為
ax2+bx+c=0, (a≠0)
在公元前兩千年左右，一元二次方程及其解法已出現於古巴比倫人的泥板文書中：求出一個數使它與它
的倒數之和等於 一個已給數，即求出這樣的x與，使
x=1, x+ =b,
x2-bx+1=0,
他們做出( )2；再做出 ，然後得出解答：+ 及 - 。可見巴比倫人已知道一元二次
方程的求根公式。但他們當時並不接受 負數，所以負根是略而不提的。
埃及的紙草文書中也涉及到最簡單的二次方程，例如：ax2=b。
在公元前4、5世紀時，我國已掌握了一元二次方程的求根公式。
希臘的丟番圖（246-330）卻只取二次方程的一個正根，即使遇到兩個都是正根的情況，他亦只取其中
之一。公元628年，從印度的婆羅摩笈多寫成的《婆羅摩修正體系》中，得到二次方程x2+px+q=0的一個求根公
式。 在阿拉伯阿爾．花拉子米的《代數學》中討論到方程的解法，解出了一次、二次方程，其中涉及到六種
不同的形式，令 a、b、c為正數，如ax2=bx、ax2=c、 ax2+c=bx、ax2+bx=c、ax2=bx+c 等。把二次方程分成
不同形式作討論，是依照丟番圖的做法。阿爾．花拉子米除了給出二次方程的幾種特殊解法外，還第一 次
給出二次方程的一般解法，承認方程有兩個根，並有無理根存在，但卻未有虛根的認識。十六世紀義大利的
數學家們為了解三次方程而開始應用複數根。
韋達（1540-1603）除已知一元方程在複數範圍內恆有解外，還給出根與係數的關係。
我國《九章算術．勾股》章中的第二十題是通過求相當於 x2+34x-71000=0的正根而解決的。我國數學
家還在方程的研究中應用了內插法。
對於一元二次方程，他的一般形式為ax^2+bx+c=0
1、直接開方法
對於x^2=c這樣的方程，當c>=0的時候，方程的解為x=正負根號c
2、十字相乘法
將原方程因式分解得到a(x-x1)(x-x2)=0，此時方程的兩個解就是x1,x2
3、公式法
當你沒辦法的時候，直接把方程各個係數帶入如下公式
x=[-b加減根號(b^2-4ac)]/2a
可以算出通解
以上^2表示平方
3 2 X 0 8方程，x 0 2 0 8解方程
解 x 3.2 0.8 x 4定義域x 0 4 0 所以x 4是原分時方程的解。3.2 x 0.8 x 3.2 0.8x 4 解由3.2 x 0.8 得3.2 0.8 x 即解得x 4 x 0.2 0.8解方程 乘除法的運算 x除以0.2 0.8 x 0.8 0.2 x 0.16 x 0.2 0.8...
x05x6方程怎麼解
x 0.5x 6 解 1x 0.5x 6 將x看成是1x 1 0.5 x 0.6 合併同類項 0.5x 0.6 0.5x 0.5 6 0.5 等式兩邊同時乘 或除 相等的非零的數或式子,兩邊依然相等。x 12 解析 首先把x看成是1x，那麼x 0.5就變成 1 0.5 x，然後根據等式的性質進行解答...
100 5 8 4x 184 2方程怎麼解
解 94.2 4 184.2 4 184.2 94.2 4 90 90 4 22.5 1 合併同類項 與整式加減中所學的內容相同，將等號同側的含有未知數的項和常項分別合併成一項的過程叫做合併同類項。合併同類項的目的是向接近x a的形式變形，進一步求出一元一次方程的解。2 移項 概念 把等式一邊的某項...