1樓：是你找到了我
1、設曲線y=f(x)在區間[a，b]內單調且連續，那麼此曲線繞x軸旋轉一週所得旋轉體的側面積s₁=2π∫【a，b】ydx=2π∫【a，b】f(x)dx；
2、若繞y軸旋轉一週所得旋轉體的側面積s₂=2π∫【f(a)，f(b)】xdy=2π∫【f(a)，f(b)】φ(y)dy，其中φ(y)是f(x)的反函式。
旋轉曲面是一類特殊的曲面，是一條平面曲線繞著它所在的平面上一條固定直線旋轉一週所生成的曲面。該固定直線稱為旋轉軸，該旋轉曲線稱為母線。曲面和過旋轉軸的平面的交線稱為經線或子午線，曲面和垂直於旋轉軸的平面的交線稱為緯線或平行圓。
2樓：傅豆蕾他爸看社會
以曲邊梯形的面積為例：
設f為閉區間[a，b]上的連續函式，且f（x）≥0。由曲線y=f(x)，直線x=a,x=b以及x軸所圍成的平面圖形（圖9-1），稱為曲邊梯形，下面討論曲邊梯形的面積。
作法：（i）分割。在區間[ a，b]內任取n-1個分點，它們依次為a=x0＜x1＜x2＜…＜xn－1＜xn=b，這些點把[a,b]分割成n個小區間[xi－1, xi],i=1,2,…n.
再用直線x= xi, i=1,2,…，n-1把曲邊梯形分割成n個小曲邊梯形。
（ii）近似求和。在每個小區間[xi-1,xi]上任取一點，作以f(x)為高，[xi-1,xi]為底的小矩形。當分割[a,b]的點分點較多，又分割得較細密時，由於f為連續函式，它在每個小區間上的值變化不大，從而可用這些小矩形的面積近似替代相應小曲邊梯形的面積。
n個小矩形面積之和就可作為該曲邊梯形面積s的近似值。
3樓：假面
這要看繞那根軸旋轉。設曲線y=f(x)在區間[a，b]內單調且連續，那麼此曲線繞x軸旋轉一週所
得旋轉體的側面積s₁=2π∫【a，b】ydx=2π∫【a，b】f(x)dx;
若繞y軸旋轉一週所得旋轉體的側面積s₂=2π∫【f(a)，f(b)】xdy=2π∫【f(a)，f(b)】φ(y)dy
其中φ(y)是f(x)的反函式。
一條平面曲線繞著它所在的平面上一條固定直線旋轉一週所生成的曲面。該固定直線稱為旋轉軸，該旋轉曲線稱為母線。曲面和過旋轉軸的平面的交線稱為經線或子午線，曲面和垂直於旋轉軸的平面的交線稱為緯線或平行圓。
4樓：愛
旋轉曲面微元的關鍵在於每一個曲面微元是一個圓臺，而不是一個圓柱。圓臺側面積＝π*(上圓半徑＋下圓半徑)*側邊長。所以一個微小圓臺的側面積＝π*(y＋(y＋dy))*ds＝2πy*ds。
ds表示用來旋轉的曲線的弧長微分，y預設＞0.
5樓：潘惜
一般都是繞x軸，若是y軸可以換為反函式求。
公式為s=2π∫【a,b】|y|(1+y'^2)½dx可以這樣看，就是先把得到的旋轉面沿著一條母線先剪開，然後再豎著平行y軸剪成條狀，現在計算每個豎條子的面積就是π×2|y|(直徑)×ds(條子的寬度)，其中
ds=(1+y'^2)½dx,用弧長近似代替寬度，然後再對每個豎條子在x軸方向上累加，即a到b積分。這裡容易漏掉絕對值，因為面積不能為負數。
如果是以引數方程的形式告訴x(t),y(t)，t∈[α,β],則s=2π∫【α,β】|y|[x'(t)²+y'(t)²]½dt。就是弧長用引數的形式表示了，帶入上一個公式。推導思路是一樣的。
我也是考研的，也想問這個問題，不過後來搞懂了，就分享一下。
6樓：匿名使用者
翻書了嗎？書上有的。
高數，求旋轉曲面面積。請問旋轉面的面積用什麼公式？我想看具體的公式。
7樓：匿名使用者
旋轉曲面的面積
設平面光滑曲線 c 的方程為
（不妨設f(x) ≥0）這段曲線繞 x 軸旋轉一週得到旋轉曲面，如圖3所示。則旋轉曲面的面積公式為：
如果光滑曲線 c 由引數方程：
給出，且 y(t) ≥0，那麼由弧微分知識推知曲線 c 繞 x 軸旋轉所得旋轉曲面的面積為：
擴充套件資料
曲面是直線或曲線在一定約束條件下的運動軌跡。這根運動的直線或曲線，稱為曲面的母線；曲面上任一位置的母線稱為素線。母線運動時所受的約束，稱為運動的約束條件。
在約束條件中，控制母線運動的直線或曲線稱為導線；控制母線運動的平面稱為導平面。
當動線按照一定的規律運動時，形成的曲面稱為規則曲面；當動線作不規則運動時，形成的曲面稱為不規則曲面。形成曲面的母線可以是直線，也可以是曲線。如果曲面是由直線運動形成的則稱為直線面(如圓柱面、圓錐面等)；由曲線運動形成的曲面則稱為曲線面(如球面、環面等)。
直線面的連續兩直素線彼此平行或相交(即它們位於同一平面上)，這種能無變形地成一平面的曲面，屬於可展曲面。如連續兩直素線彼此交叉(即它們不位於同一平面上)的曲面，則屬於不可展曲面。
曲面的表示法和平面的表示法相似，最基本的要求是應作出決定該曲面各幾何元素的投影，如母線、導線、導面等。此外，為了清楚地表達一曲面，一般需畫出曲面的外形線，以確定曲面的範圍。
8樓：普海的故事
用極限的ε-n語言定義證明n→∞ lim[√(n²+a)]/n=1?
解：不論預先給定的正數ε怎麼小，由∣[√(n²+a)]/n-1∣=∣[√(n²+a)-n]/n∣
=∣a/n[√(n²+a)+n]∣<∣a/n∣<ε，得n>∣a/ε∣,可知存在正整數n=[∣a/ε∣],
當n≧n時不等式∣[√(n²+a)]/n-1∣<ε；故n→∞ lim[√(n²+a)]/n=1
旋轉面繞x軸旋轉的面積公式推導
9樓：喵嗚的小可愛哇
立體體積的定義：已知從x=a到x=b橫截面積a（x)的立體，如果a(x)可積，它的體積是a從a到b的積分：v=∫a(x)dx（上限為b,下限為a）。
所只要知道該物體橫截面積關於x的函式，進行定積分運算就可以得到體積了。
比如y=√x[0≤x≤4]，那麼就可以確定其橫截面積關於x的函式：
a(x)=π^2=π[r(x)]^2=π[√x]^2=πx。然後計算體積步驟如上。
對於由兩條曲線圍成部分割槽域繞x軸旋轉，那麼同理可以確定它的橫截面積關於x的函式。
a(x)==π[r(x)]^2-π[r(x)]^2。
比如：求曲線y=x^2+1和直線y=-x+3圍成區域繞x軸旋轉產生立體的體積為，首先確定積分限，就是聯立方程求解。然後確定內半徑和外半徑，外半徑為：
r(x)=-x+3，內半徑為：r(x)=x^2+1。然後利用公式算出橫截面積關於x的函式，最後定積分計算。
10樓：車前輕語
套筒法有一點和這個類似，取弧長的微分ds=（）繞x軸旋轉得一個圓柱體，其表面積（2π.y【旋轉半徑】.ds【高】）即（a，b）旋轉曲面微分。
再在（a，b）積分就行了。反正我是這樣理解的。所以最終結果那個y加絕對值
11樓：遊戲
題主要求的是給定曲面繞x軸旋轉所得的體積麼？
你所找的是給定曲線與x軸圍成面積繞x軸旋轉所得的曲面面積……當然不對了……
先給你講一下立體體積的定義：已知從x=a到x=b橫截面積a（x)的立體，如果a(x)可積，那麼它的體積是a從a到b的積分：v=∫a(x)dx（上限為b,下限為a）【證明可以略過麼？
比較簡單】
所以只要知道該物體橫截面積關於x的函式進行定積分運算就可以得到體積了。
對於旋轉體，如果給定了一條曲線比如y=√x[0≤x≤4]，那麼就可以確定其橫截面積關於x的函式：a(x)=π（半徑）^2=π[r(x)]^2=π[√x]^2=πx。然後計算體積步驟如上。
對於由兩條曲線圍成部分割槽域繞x軸旋轉，那麼同理可以確定它的橫截面積關於x的函式：a(x)==π[r(x)]^2-π[r(x)]^2。比如：
求曲線y=x^2+1和直線y=-x+3圍成區域繞x軸旋轉產生立體的體積為，首先確定積分限，就是聯立方程求解。然後確定內半徑和外半徑，外半徑為：r(x)=-x+3，內半徑為：
r(x)=x^2+1。然後利用公式算出橫截面積關於x的函式，最後定積分計算。
如何證明旋轉體表面積積分公式
12樓：小肥肥
證明過程如下：
注意到圖中那個灰色的帶環就是表面積的微元ds，它應該等於這個帶子的周長乘以寬度，帶子的周長為2πf(x)。
主要是寬度，注意，這裡寬度不是dx（一個容易出錯的地方），因為這個帶子的寬度並不是一個線段，而是弧線，因此這裡要用弧微分，就是ds，根據弧微分公式，ds=√(1+f(x)^2)dx這樣我們就可得到微元，ds=2πf(x)*√(1+f(x)^2)dx。
擴充套件資料：表面積公式：
柱體稜柱體表面積（n為稜柱的側稜條數，即側面數）s=n*s側 + 2*s底
圓柱體表面積（「u底」為底面圓的周長，r為底面圓的半徑）s=u底*h + 2πr^2
s=2πr*h + 2πr^2
錐體稜錐體表面積（n為稜錐的斜稜條數，即側面數）s=n*s側(三角形) + s底
圓錐體表面積
s=s扇 + s底
s=1/2*l(母線)*2πr + πr^2臺體稜臺體表面積（n為稜錐的稜條數，即側面數）s=n*s側(梯) + s上底 + s下底
13樓：angela韓雪倩
曲線方程 f(x)
ds=2π*∫f(x)*√[1+f'(x)^2] dx從 a積到b
圖中那個灰色的帶環就是表面積的微元ds，它應該等於這個帶子的周長乘以寬度，帶子的周長為2πf(x)。
因為這個帶子的寬度並不是一個線段，而是弧線，因此這裡要用弧微分，就是ds，根據弧微分公式，ds=√(1+f(x)^2)dx這樣我們就可得到微元，ds=2πf(x)*√(1+f(x)^2)dx。
旋轉曲面的面積
（不妨設f(x) ≥0）這段曲線繞 x 軸旋轉一週得到旋轉曲面，如圖3所示。則旋轉曲面的面積公式為：
14樓：匿名使用者
誰知到求旋轉體表面積的定積分公式。。？一直直線解析式繞y軸或者x軸旋轉y軸的公式有嗎。。？再加20分謝 曲線方程 f(x) s=2π*∫f(x)
15樓：丘冷萱
注意到圖中那個灰色的帶環就是表面積的微元ds，它應該等於這個帶子的周長乘以寬度，帶子的周長為2πf(x)，這個應該不難理解吧？主要是寬度，注意，這裡寬度不是dx（一個容易出錯的地方），因為這個帶子的寬度並不是一個線段，而是弧線，因此這裡要用弧微分，就是ds，根據弧微分公式，ds=√(1+f(x)^2)dx這樣我們就可得到微元，ds=2πf(x)*√(1+f(x)^2)dx，下面就是做積分了，其它地方圖中講得很清楚了。如滿意，請採納。
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