1樓：匿名使用者
明白lz的意思。是想問為什麼r(a)=r(at a)，即a的秩等於at a的秩是吧.
我來證明一下這個命題。
構造兩個齊次線性方程組：
（1）ax=0, (2)(at a)x=0
如果這兩個方程組同解，則兩個方程組的係數矩陣有相同的秩，r(a)=r(at a)=n-基礎解系中向量個數。
這個很好理解對吧，《線性代數》的基本內容。
現在來證明它們同解：
首先，如果x1是（1）的解，那麼它肯定也是（2）的解，因為將其代入（2）：
(at a)x1=at (ax1)=at *0=0
其次證明（2）的解也是（1）的解：
設x1是（2）的解，則at a x1=0
進一步有：x1t at a x1=0
即(ax1)t (ax1)=0
假設ax1＝[a1,a2,...,an]t
則(ax1)t(ax1)=0就是a1^2+a2^2+...+an^2=0
那麼只有a1=a2=...=an=0
也就是ax1=0
至此說明了(2)的解也是(1)的解。
於是r(a)=r(at a)
就是這一步有點難，接下來的問題都是迎刃而解了。
2樓：匿名使用者
矩陣a的列向量組線性相關
<=>矩陣a的列帙矩陣a^t的行帙=矩陣a的列帙矩陣 a^t a 的帙(a^t a)的行列式為零
3樓：匿名使用者
我覺得一樓挺好的啊，老師好像就這麼講過，行列式抄來抄去本來就沒意思嘎，
實在想寫，就寫成行向量，列向量唄
4樓：先生帥哥
贊同上面看法。
因為a^t a為n階，它的秩小於等於minr,又矩陣a的列向量組線性相關，所以a的秩小於n，所以minr小於n
所以a^t a的行列式為零。
線性代數，對於矩陣a其行列式值為0，為什麼它的列向量組線性相關？
5樓：匿名使用者
對於n階a行列式等於零，所以矩陣a的n階子式為零，即r(a)量組線性相關的充要條件是其組成的矩陣的秩小於向量個數，所以a的列向量組線性相關。公式證明過程如下：
ax=0有非零解，存在不完全等於0的x1, x2, ......, xn，使得 x1a1+x2a2+......+xnan=0，a的列向量，所以a1, a2, ......
,an 線性相關。
6樓：喵喵喵
ax=0有非零解，存在不完全等於0的x1, x2, ......, xn，使得 x1a1+x2a2+......+xnan=0，a的列向量，所以a1, a2, ......
,an 線性相關。
矩陣的秩和其列向量空間或者行向量空間的維數是一樣的，矩陣a其行列式為0,說明這個矩陣是個方陣，我們設它為n×n的方陣，矩陣的秩是指最大規模非零子式的階數，它的行列式是0。
說明它的秩只能是≤n-1，而列向量構成的向量空間的維數也只能是≤n-1，有n個列向量，如果線性無關的話，它們就能構成向量空間的一組基，那維數就是n，矛盾，所以一定線性相關。
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矩陣行列式定理：
1、定理1 設a為一n×n矩陣，則det(at)=det(a) 。
2、設a為一n×n三角形矩陣。則a的行列式等於a的對角元素的乘積。
根據定理1，只需證明結論對下三角形矩陣成立。利用餘子式和對n的歸納法，容易證明這個結論。
3、令a為n×n矩陣。
(i) 若a有一行或一列包含的元素全為零，則det(a)=0。
(ii) 若a有兩行或兩列相等，則det(a)=0。
這些結論容易利用餘子式加以證明。
7樓：匿名使用者
n階a行列式等於零，也就是a的n階子式為零，所以r(a)而一個列向量組線性相關的充要條件是它們拼成的矩陣的秩小於向量個數。
所以a的列向量組線性相關。
經濟數學團隊幫你解答，請及**價。謝謝！
8樓：這一邊或那一邊
行列式為零說明它對應的齊次線性方程組有非零解，你將其寫開就知道了
為什麼ax=0有非零解，則a的列向量組線性相關
9樓：來自向王廟柔情綽態的兔子
把a寫成列向量的形式設a=（α1，α2，……，αn）則ax=α1·x1+α2·x2+……+αn·xn=0它有非0解即存在不全為0的數x1，x2，……，xn使上式成立所以α1，α2，……，αn線性相關
為什麼a的行列向量組線性無關則a可逆
10樓：
原因如下：
1、一個方陣a的列(行)向量組線性無關則表示ax=0方程組僅有零解；
2、根據克拉默法則，若齊次線性方程組僅有零解，則係數行列式不為零；
3、而行列式不為零是一個矩陣可逆的充要條件；
綜上，a的行列向量組線性無關，則矩陣a可逆。
反證可知：矩陣可逆，則秩＝行向量個數＝列向量個數。矩陣的行向量組的秩等於行向量的個數，所以行向量組線性無關。例：
11樓：匿名使用者
1、一個方陣a的列(行)向量組線性無關則表示ax=0方程組僅有零解2、根據克拉默法則，若齊次線性方程組僅有零解，則係數行列式不為零3、而行列式不為零是一個矩陣可逆的充要條件綜上，a的行列向量組線性無關，則矩陣a可逆。
12樓：小江戶川
行列式為零說明它代表的是一維或是低維的，這時候是線性相關的，這時它代表了一條直線有多個向量的對映，也因此類似反函式一樣不滿足單射自然沒有逆矩陣，反之線性無關
設a為m乘n的矩陣,且a的秩r(a)=m
13樓：匿名使用者
知識點: 向量組a1,...,as 線性無關的充要條件是向量組的秩等於 s.
r(a)=m, 所以a的行向量組的秩為m.
而a有m行, 所以a的行向量組線專性屬無關.
r(a)=m, 所以a的列向量組的秩為m.
而a有n行, m 一個矩陣的列向量線性相關它的行向量一定線性相關嗎 14樓：唯吾道古 ① 若m＞抄n,則a的行向量 組線性相關,但a的列向量組未必線性相關,條件取決於a的秩是否小於n,若r(a)＜n,則a的列向量組線性相關,若r(a)=n,則a的列向量組線性無關,請看下面的例子： 1 21 2 1 2這是一個3×2矩陣a,r(a)=1＜2,它的行向量組線性相關,列向量組也線性相關,再看： 1 21 2 1 3這是一個3×2矩陣a,r(a)=2,它的行向量組線性相關,列向量組線性無關! ② 若m≤n,則當a的行向量組線性相關時,它的列向量組必然也是線性相關的. 證明：a的行向量組線性相關 → r(a)＜m,又m≤n → r(a)＜n → a的列向量組線性相關 所謂當a為n階方陣時,即m=n時,適用②的結論：當a的行向量組線性相關時,它的列向量組必然也是線性相關的! 10. 已知3×4矩陣a的行向量組線性無關，則秩（at）等於（ ） （a）1 15樓：練習走自己的路 選c3x4形或4x3形，秩最大為3。行向量線性無關，說明秩為3，轉置at秩不變。 為什麼行列式 行（列）線性相關，|a|=0
30 16樓：開心快樂每一天 兩行線性相關是不能證明的,你只能證明所有的行向量線性相關,所有的列向量線性相關 det a=0 ax=0存在非0根 則x相當於a的列向量的線性組合係數,證明了列向量線性相關同理,ya=0可以證明行向量線性相關 17樓：升斗小民 行或列線性相關,就意味有一行或一列能被其它的行或列線性表示,即有一行或一列全為0, |a|=0 18樓：歐邁爾斯佩 線性相關的意思指可以用另外幾個向量線性表出一個向量。那麼，這個可以被現行表出的向量就可以用高斯消元法變成零向量。因此行列式會有一行或一列為零，故行列式為零。 線性相關，意味著它們在一個更小的維度裡。如兩個向量線性相關，就是它們共線 或叫平行 三個向量線性相關，就是它們三個在一個平面內。把向量組的各列向量拼成一個矩陣，求出矩陣的秩。若秩小於向量個數，則向量組線性相關 若秩等於向量個數，則向量組線性無關。線性相關的含義 線性代數中線性相關的定義為 給定向量組... 矩陣每一行都意味著一個向量，這些向量中的任一個不能由其他所有向量線性表出時，向量組線性無關，數學語言說就是 ki i 0時必有ki 0，判斷方法是做初等行變換或初等列變換 注意是或 若最後行向量或列向量均非0，則表明線性無關，否則線性相關 判斷向量組線性相關還是線性無關？判斷 若沒有向量可用有限個其... 沒有m n矩陣滿秩的說法，滿秩是對方陣而言。m n矩陣只能說行滿秩或列滿秩。行滿秩則行向量組線性無關，列滿秩則列向量組線性無關。行秩和列秩相等，稱為矩陣的秩，最大無關組的向量個數等於矩陣的秩。mxn矩陣行向量組和列向量組一個線性相關一個線性無關 舉例 簡要概括來看，rank a 行數，則行向量線性無...向量組線性相關的幾何意義,向量組線性相關的幾何意義
判斷向量組線性無關的是,判斷向量組線性相關還是線性無關？
m n矩陣滿秩，能推出行向量線性相關還是列向量線性相關？他們的最大無關組的向量個數又是多少？謝謝