1樓：首蚜岡鉀
對於多個模並非兩兩互質的情況，可以先確立一組兩兩互質
的分解基數集（質數集是一個常用的特例），將這些模用分解基數表示成為多個因數項，將其中相關於同一個分解基數的項進行歸併。如果有矛盾，則無解。否則有解。
例1：同餘式組x=2mod16x=3mod5x=6mod12取4,3,5作為分解基。變成x=2mod4^2x=3mod5x=6mod4x=6mod3其中相關於同一個分解基數的情況，僅有x=2mod16與x=6mod4是相關於分解基數"4"的,它們沒有矛盾。
取兩相容解集的交集，即其中解集較小的那個：x=2mod16.再與x=3mod5及x=6==0mod3聯立求解。
另例2：x=2mod18x=8mod12以3,2為分解基。相關於分解基數3的轉化式有x=2mod3^2,x=2mod3,取前者。
相關於分解基數2的轉化式有x=0mod2,x=0mod4,取後者。另例3：同餘式組x=3mod12x=2mod18以2,3為分解基集，於是原同餘式組變成x==3mod2^2x==3mod3x==2mod3^2x==2mod2矛盾。
故此同餘式無解。例4：解同餘式組x≡-2(mod12)x≡6(mod10)x≡1(mod15)解：
先將模分解：12=2^2*3=4*3;10=2*5;15=3*5再看具有相同質因子基底的分解式是相容還是相斥，如相斥則無解，相容則可解。相容(相配合)，指其一為另一的子集(包括二者等效，此時互為子集)。
相沖(相沖突)，指互不包含，即互不為子集。x==-2mod4與x==6mod2，前者包容了後者。x==-2mod3與x==1mod3，二者等同。
x==6mod5與x==1mod5,二者等同。由此，原同餘式組有解，並等效於：x==-2mod4x==-2mod3x==1mod5即x==-2mod12與x==1mod5用類似向量式(我稱為並量)解法敘述為：
x==(-2,1)mod(12,5)==-2+(0,3)mod(12,5)==-2+48==46mod60例5：x≡1(mod6)x≡4(mod9)x≡7(mod15)解：以為分解基對模進行分解，有x==1modx==4mod9x==7mod於是x==1mod2x==4mod9x==2mod5即x==-3mod==7mod10x==4mod9解得x==7-3*10mod90x==-23==67mod90要注意的是在對模進行分解時，要保留最高次冪。
x==4mod9即x==4mod3^2,不能再寫成x==4mod3,x==4mod3因為x==4mod3與x==4mod3不就是一個x==4mod3了嗎，它如何會與x==4mod9等價哩。這樣一想就明白了。
判斷下列同餘式是否有解：11x^2 =-6( mod91 )
2樓：匿名使用者
由中國剩餘定理.
11x² = -6 (mod 91)有解, 當且僅當11x² = -6 (mod 7)和11x² = -6 (mod 13)都有解.
11x² = -6 (mod 7)可化為(2x)² = 1 (mod 7), 有解x = ±3 (mod 7).
11x² = -6 (mod 13)可化為-2x² = -6 (mod 13)也即x² = 3 (mod 13), 有解x = ±4 (mod 13).
因此原方程有解.
如果要具體求出解來, 就解以下四組線性同餘方程組(其實只需解前兩個, 另兩個取負號就行):
x = 3 (mod 7), x = 4 (mod 13);
x = 3 (mod 7), x = -4 (mod 13);
x = -3 (mod 7), x = 4 (mod 13);
x = -3 (mod 7), x = -4 (mod 13).
得x = ±17, ±4 (mod 91).
如果數比較大, 而且不用求出解來, 也可用二次互反律來計算.
例如(3/13) = (13/3) = (1/3) = 1, 即x² = 3 (mod 13)有解.
當然本題數比較小, 其實沒必要.
判斷同餘式x∧2≡365（mod1847）是否有解
3樓：匿名使用者
題：判斷同餘式x^2≡365 (mod1847) 是否有解
注：本題解答末尾附有legendre符號計算要點。這裡首先摘抄幾條。注意(7/p)可以用二次互反律方便計算，不過這裡也附錄了相關公式。
(-1/p)=(-1)^((p-1)/2)=(-1)^[p/2]=(-1)^[(pmod4)/2]=(p amr 4)，
這裡定義 amr 表示絕對最小剩餘，即abs min remainder。或在r後新增下標|min|來表示。
如 2 ==-1 mod 3, 寫成 2 amr 3=-1； 3 ==-1 mod 4, 寫成 3 amr 4=-1。
(-2/p)=(-1)^.[(pmod8)/4])
(2/p)=(-1)^([p/2]+[p/4]) 注：此式利於速算。當p較小。
=(-1)^([(pmod8)/2]+[(pmod8)/4]) 注，此式利於速算,當p較小。
=(p amr 4)*(-1)^.[(pmod8)/4]) 注：此時也較利於計算，不過思路略要轉彎。
二次互反律：p,q為奇素數，則有
(p/q)=(q/p)*(-1)^((p-1)/2*(q-1)/2)=(q/p)*(-1)^( [p/2]*[q/2] )
即當且僅當p與q均為-1 mod 4時，(p/q)=-(q/p).否則(p/q)=(q/p).
(3/p)=(p amr 3)(p amr 4)
(5/p)=(p/5)=(1 if p==1,4 mod 5; -1 if p==2,3 mod 5)
內注：其實(p/5)很簡單的，因為p的既約剩餘僅有1,2,3,4四個，並且必定有且只有一半數量為平方剩餘，即有兩個。很顯然就是1,4.
解：1847是素數。
下面來計算legendre 符號
(365;1847)
=(5;1847)*(73; 1847)
易見故(5;1847)=(1847;5)=(2;5)=-1
而(73;1847)=(1847;73)=(22;73)=(2;73)*(11;73)
(2;73)=(73 amr 4) * (-1)^.[(73mod8)/4]) =1*1=1
或(2;73)=(-1)^([p/2]+[p/4])=(-1)^(36+18)=1
(73;11)=(7;11)=-(11;7)=-(4;7)=-1
故(73;1847)=(2;73)*(11;73)=-1
(365;1847)=(5;1847)*(73; 1847)=1
故同餘式x^2≡365 (mod1847) 有解
外一則：
可參考我的博文 二次剩餘及其速演算法，摘要如下：
legendre符號計算要點：
計算要點
(aa/p)=1, 當a,p互質時;
同餘性：(a/p)=((a modp) /p)；
因子分解：(ab/p)=(a/p)(b/p)及其向多因子分解的推廣。
二次互反律簡化形式：
即當且僅當p與q均為-1 mod 4時，(p/q)=-(q/p).否則(p/q)=(q/p).
易見當其中出現p amr 4=1，即p==1 mod 4時，即有(p/q)=(q/p)；當出現 p amr 4=-1時，即有(p/q)=(q/p)*(q amr 4)
二次互反律的兩個充分且必要的補充(由此原則上可以方便的計算所有的(p/q)，其中p/q為奇素數)
補充計算式一：
(-1/p)=(-1)^((p-1)/2)=(-1)^[p/2]=(-1)^[(pmod4)/2]，這個我們在上面對二次互反律進行簡化時曾見到過。
現在我們看到，(p/q)=(q/p)*(-1/p)^ [q/2] =(q/p)*(-1/q)^ [p/2]
補充計算式二：
(2/p)=(-1)^((pp-1)/8)
(2/p)=(-1)^([p/2]+[p/4])
=(-1)^([(pmod8)/2]+[(pmod8)/4]) 注，此式利於速算。
=(-1)^([(pmod4)/2]+[(pmod8)/4])
=(p amr 4)*(-1)^.[(pmod8)/4]) 注，此式利於速算。
由上二者還可以得到 (-2/p)=(-1)^[p/4]==(-1)^[(pmod8)/4]
ccc其它特殊值的計算：(以下p指奇素數)
(3/p)=(p amr 3)(p amr 4) 注：此式利於速算。
證明一：
(3/p)=(p/3)*(-1)^ [p/2]=((p mod 3)/3)*(-1)^ [(p mod4)/2]=((p mod 3)/3) * (p amr 4)
因為(1/3)=1, (-1/3)=-1, 故((p mod 3)/3)=(p amr 3)
得證。證明二，列舉檢驗法。
將質數p按模12=3*4可分為四類(注意12以下與12互質的只有四個)，p=1,5,7,11 mod 12
例如質數p=13;5;7;11，分別代入(p/3)=((p mod 3)/3)*(-1)^ [(p mod4)/2]得到
(3/p)=1*(-1)^0, -1*(-1)^0, 1*(-1)^1, (-1)*(-1)^1=1*1, -1*1, 1*(-1), (-1)*(-1)
即p=1,5,7,11mod12時，(3/p)分別取值1,-1,-1,1
由前述amr的定義，易見：
(3/p)=(p amr 3)(p amr 4)
另一種演算法(計算不太方便，可能方便表述與研究)：
(3/p)=(-1)^⌈(p+1)/6⌉=(-1)^upint((p+1)/6), 這裡upint(x)即向上取整，即不小於x的最小整數。在某些程式語言中（包括數學軟體）用ceiling(x)函式。excel軟體中是ceiling(x,1)，手寫常寫成⌈x⌉.
(5/p)=(p/5)=(1 if p==1,4 mod 5; -1 if p==2,3 mod 5)
注：其實(p/5)很簡單的，因為p的既約剩餘僅有1,2,3,4四個，並且必定有且只有一半數量為平方剩餘，即有兩個。很顯然就是1,4.
證明：由二次互反律，(5/p)=(p/5)*(-1)^([p/2]*[5/2])=(p/5).
在明白上面的過程後我們知道(p/5)計算很簡單。
另一種演算法(計算不太方便，可能方便表述與研究)：
(-1)^⌊(p-2)/5⌋=(-1)^ int((p-2)/5)， 這裡int(x)是向下取整函式，即不大於x的最大整數。在某些程式語言中（包括數學軟體）用floor(x)函式。excel軟體中是floor(x,1)，手寫常寫成⌊x⌋.
(7/p)=( 1 if p==±1,±9,±25=±(1, 3^2, 5^2) mod 28 ; -1 if p==±(1-14), ±(9-14), ±(25-14)=±(13, 5, 11) mod 28)
上式很好記。從小到大寫即是 (7/p)=( 1 if p==1,3,9,19,25,27 mod 28 ; -1 if p==5, 11, 13, 15, 17, 23 mod 28)
證：引1：(7/p)=(p/7)*(-1)^([p/2]*[7/2])=(p/7)*(-1)^[p/2]=(p/7)*(p amr 4)
引2：當且僅當p=1,2,4mod7時，(p/7)=1,即7的二次剩餘有三個，即1, 4, 9==2，也即1,2,4. 其二次非剩餘即3,5,6==-4,-2,-1；也可以由(-1/7)=-1, 直接將-1乘1,2,4得到7的二次非剩餘為-1,-2,-4.
當(p/7)=1且p==1 mod 4，或(p/7)=-1且p=-1 mod 4時，得(7/p)=1，分說如下：
由p==1,2,4 mod 7及p==1 mod 4得p==1,9,25 mod 28;
由p==-1,-2,-4 mod 7及p==-1 mod 4得p==-1,-9,-25 mod 28，即p=27,19,3 mod 28.
當(p/7)=-1且p==1 mod 4，或(p/7)=-1且p=1 mod 4時，得(7/p)=-1，下略。
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