1樓：麻花疼不疼
chadi和cohen最早提出了這種特殊點的數學基礎[1]。考慮一個光滑函式，我們可以將其展為傅立葉級數：
假設另有一個擁有體系全部對稱性（對稱性用對稱群表示）的函式，滿足條件 ，則 我們可以將用如下：
其中是對稱群的階數。設，將上式的求和順序重新組合可以得到
其中是距離原點第近鄰的球半徑，按升序排列，且 。需要注意的是限制條件 具有球對稱性，也即高於的對稱性，所以滿足限制條件的格點集合並不一定都是等價的——或說可以通過中的操作聯絡起來的——格點。方程(3)中的函式滿足下列條件：
上式中是倒格矢，是滿足條件的格點數。五個方程分別表明函式在第一布里淵區內成奇函式、具有正交性、週期性、體系對稱性和完備性。對於特殊點法而言，前兩條更為重要。
注意到上面公式中的求和從1開始，因此需要對的情況進行單獨定義。我們定義，則函式的平均值為：
那麼該如何得到呢？注意方程(3)，如果存在這樣的特殊點，使其滿足：
>那麼立刻可以得到，這樣的點被稱為「平均值點」。但是普遍的講，滿足上述條件的點並不存在。對這個問題的解決辦法就是不用單個點，而採用滿足一定條件的k點的集合，利用這些點上函式值的加權平均計算。
也即：其中可以取有限值。
利用方程(3)左右端的兩個式子，可以得到：
根據方程(7)，可以得到
考慮到隨的增大迅速減小的性質，我們可以近似的得到的平均值：
而將方程(9)的第二項作為可控誤差。因此，如果我們可以找到一組點，使得(1)集合中的點儘量少；(2)這些點在儘量大的情況下滿足方程(7)，則我們進行布里淵區積分的時候可以儘可能快的得到精度較高的結果。這正是特殊點方法的要點所在。
反過來講，這也表明進行具體計算的時候我們需要對計算精度進行測試，也即保證所取點使得上式的第二項足夠小。
chadi-cohen方法
上一節證明了點的可行性。chadi和cohen首先提出了一套可以得出這些特殊點的方法[1]。
首先找出兩個特殊點——，二者分別在和的情況下滿足
然後通過這兩個點構造新的點集合：
且權重為。下面證明在的情況下仍然滿足方程(7)：
根據和的定義，可知對於和，
也即上式等價於
因此可以用這種方法產生一系列點，用以計算布里淵區內的積分。如果此時的精度不夠，則利用同樣的方法繼續生成新的點集合：
其中為在情況下滿足的特殊點。從而改進精度。
事實上，如果考慮體系的對稱性，則中的點數目可以極大的減小。也就是說，對於給定的點，可以找出其波矢群，階數為，那麼實際上按上述方法構造出來的只有個不同的點，此時各點上的權重為。更進一步，通過點群的全部對稱操作，可以將全部的點轉入第一布里淵區的不可約部分。
如果點的重疊度（即第一布里淵區不可約部分中佔有同樣位置的點個數）是，則在最後的計算中，這個點的權重為 上述chadi-cohen方法非常巧妙，但是在具體的應用上必須首先確定23個效能比較好的點，由此構建出的點集合才擁有比較高的效率和精度。因此，對於每一個具體問題，在計算之前都必須經過相當的對稱性上的分析。對於編寫程式而言，這是一件很麻煩的事情。
那麼，是否存在一種比較簡易的產生點網格的方法，同時又滿足方程(7)呢？答案是肯定的，這就是通常所說的monkhorst和pack方法[2]。
晶體中的格點總可以表述為，其中是實空間三個方向上的基矢。monkhorst和pack建議按如下方法劃分布里淵區 將點寫為分量形式，則可得到如下表示式
其中是倒空間的基矢。與chadi-cohen方法相似，monkhorst和pack定義函式為：
>則相應於chadi-cohen方法中的，我們可以計算在如方程(12)所生成的離散化的網格點的相同的量：
其中注意到都是整數，因此可以算出：
其中第三種情況是因為是奇函式。引入限制條件： <; < 則可得：
也即在點網格上是正交的。與chadi-cohen方法類似，將函式用：
同時左乘並在布里淵區內積分，可得
因為，所以從方程(19)可得
忽略前面的常數因子，可以看到monkhorst-pack方法中的表示式與chadi-cohen方法完全一樣。現在將的表示式代入上述方程，則
因此其中
與我們在chadi-cohen方法中看到的一樣，在第一布里淵區的平均值可以用近似（在chadi-cohen方法中是）。而且誤差（方程右邊第二項）可控，即可以通過增加點密度的方法提高精度。這是因為增大，根據上面所述的取值可知，在更大的時候仍能保證方程(7)成立。
但是根據方程(3)可得
如果值取得比較大，那麼所需計算的點數目就會非常大，如何提高monkhorst-pack方法的效率呢？考慮到體系的對稱性，則點的數目會大大的減少。重新寫出如下：
其中是體系所屬點群階數與點的波矢群階數的比值：。是對所有點進行對稱及平移操作後第一布里淵區中所有不重合的點數。進一步考慮不可約部分，那麼通過改變（變為,其中定義見上節）可以進一步減少。
因為處於高對稱位置上的點其波矢群階數也比較高，因此相應的這些高對稱點的權重就比較小。這也是為什麼在vasp的outcar檔案中高對稱的點權重比較小的理論根本，也是特殊點法儘量避開高對稱點的原因所在。與chadi-cohen方法一樣，的大小是monkhorst-pack方法效率高低的重要標誌。
文獻中給出了bcc以及fcc兩種格子中的：
bcc:
fcc:
可以看出，即使對於較大的值，也是比較小的，因此monkhorst-pack方法效率是比較高的。
應該注意的是，monkhorst-pack方法的關鍵一點是將三維空間的問題轉化為三個獨立的一維問題。因此，對於六角格子或者單斜格子，基矢之間不正交，上述monkhorst-pack方法並不適用，而必須加以修改[3]。以六角格子為例，pack指出點網格應按下述方法生成[4]：
也即軸和軸分別設定。相應的，的大小可計算如下：
上述生成點的方法對應於vasp手冊中對於點設定的建議「對於六方體系應該將點置於原點處」。
需要強調的是，我們在以上所討論的所有對稱性均指純旋轉操作，也即點群對稱性。因此，對於同屬一種晶系而屬於不同空間群的兩種體系而言，其操作可能並不一致。 實空間和倒空間的基矢及格點座標分別為：
選擇（或為奇數時）以及（或為奇數時）這個格子的對稱操作為，按照chadi-cohen方法，可以構建點如下：
每個點的權重。 將上例中的，則四方格子轉變為正方格子。兩種情況最主要的不同是布里淵區不可約部分有了變化，從上式可以看出，在正方格子下，,和重合。
因此只有三個不同的點，每個點的權重為，而且。
利用特殊點計算電荷密度
將bloch函式用wannier函式，有[6]：
則在給定點的電荷密度為：
而我們重寫如下：
其中求和號中的表明而且。因此，考慮到對稱性，又可寫為：
上式中，第一項與和無關，相當於chadi-cohen方法中的。而第二項中因為對所有的求和，因此可以將這一項寫為如下形式：
上式中與無關，且隨增大而遞減，相當於。因此可寫為
如果存在，滿足，則立即可以得到
但是普遍的講，這樣的並不存在。例如，在fcc格子中考慮第
一、二、三近鄰，寫出：
不存在單獨的點同時滿足上述三個方程。因此，需要尋找一系列特殊的點，滿足
則。chadi和cohen[6]採用、和三個點計算的值：，取得了較好的結果。而在文獻1中，他們利用和改進了計算結果：。
布里淵區的概念
2樓：無名之人
布里淵區（brillouin zone） ，在數學和固體物理學中，第一布里淵區是動量空間中晶體倒易點陣的魏格納-塞茲原胞（wigner-seitz cell）。
固體的能帶理論中，各種電子態按照它們的波矢分類。在波矢空間中取某一倒易陣點為原點，作所有倒易點陣向量的垂直平分面，這些面波矢空間劃分為一系列的區域：其中最靠近原點的一組面所圍的閉合區稱為第一布里淵區。
在第一布里淵區之外，由另一組平面所包圍的波矢區叫第二布里淵區；依次類推可得第
三、四、…等布里淵區。
3樓：佛蒙特的紅葉
......難道學固體.....
就是倒格子的原胞，也就是wigner-seitz原胞。
至於概念,說說第一布里淵區就是倒格點陣中從某一格點出發，做與相鄰格點的垂直平分面,所圍成的空間就是第一布里淵區。
由於引入布里淵區是因為x-ray衍射實驗，所以還可以說在k空間中，從原點出發，不穿過布拉格衍射面的所有能選取的點的集合。這個還算 第一布里淵區比較正規的概念
性質兩條：週期介質在brillouin zone中可以完全確定所有的bloch波矢，
所有brillouin zone的體積（包括2維晶格確定的面積）第一，第二
第三........ 都相等
黃昆書上有這樣一句話：如果在k空間內把原點和所有倒格子格矢g之間的聯線的垂直平分面都畫出來，k空間被分成許多區域，在每個區域內e對k是連續變化的，而在這些區域的邊界處e（k）函式發生突變 這些區域常稱為布里淵區
可算標準了...
這句話前半部分就是告訴你怎麼畫布裡淵區...主要掌握第一就行了
什麼是布里淵區？其有什麼物理意義？
4樓：匿名使用者
晶體電子
狀態用波矢k描述，一個k就表示一個狀態；用kx、ky、kz構成一個k空間（屬於
倒格子），晶體電子的所有狀態對應的全部k，都將均勻分佈在倒格子的一個w-s原胞中，這個原胞就稱為布里淵區。參見「http://blog.
163.***/xmx028@126/」中微電子物理的有關說明。
5樓：瀟灑奉節
固體的能帶理論中，各種電子態按照它們的波矢分類。在波矢空間中取某一倒易點陣為原點，作所有倒易點陣向量的垂直平分面，這些面波矢空間劃分為一系列的區域：其中最靠近原點的一組面所圍的閉合區稱為第一布里淵區；在第一布里淵區之外，由一組平面所包圍的波矢區叫第二布里淵區；依次類推可得第
三、四、…等布里淵區。
布里淵區和能帶的對應關係
6樓：匿名使用者
能帶的多少很難確定。如果兩個布里淵區
的能量沒有交疊，則兩個布里淵區對應的能量各自形成能帶。但是一個布里淵區裡，還要考慮有多少個原子外層電子能量進行微繞計算。若有兩個電子，則形成兩個能級，經過微繞形成兩個能帶。
如果si原子的外層4電子軌道雜化，詳見 黃昆 固體物理的能帶論章節。
六角晶格的第一布里淵區的頂點為什麼分成兩類
晶體電子狀bai 態用波矢k描述du，一個 zhik就表示一個狀態 dao用kx ky kz構成一個k空間 屬於專 倒格子 屬，晶體電子的所有狀態對應的全部k，都將均勻分佈在倒格子的一個w s原胞中，這個原胞就稱為布里淵區。參見 xmx028 126 中微電子物理的有關說明。轉動不變性使得六個頂點分...
機器人布里茨是誰做出來的，lol機器人布里茨是誰做出來的
是機械先驅 希望能幫到你 蒸汽機器人背景故事 祖安是個被魔法和科學雙重扭曲的城市。沒有節制的實驗毀壞了這座城市。然而，祖安政策靈活，研究者和發明家有靈活的空間。這麼做可以推動科學的快速發展，儘管其目的有好有壞。在這種條件下，來自祖安科技魔法大學的一群博士生在智慧蒸汽自動化領域有所創新，他們發明了蒸汽...
廣告的燈箱分內不打燈與拉燈箱布。各有什麼區別
一般廣告燈箱分兩種 1.內打燈 2.外打燈所謂內打燈就是從燈箱內部發出燈光，光源在燈箱裡面，通常是led模組或t4燈管。同理，而外打燈就是燈光從燈箱外部照向畫面，即光源在外部，通常選用射燈。拉燈箱布又是什麼意思呢？燈箱布是燈箱面罩的一種材料，做好了外框，排好了裡面的燈，你總的把它罩起來吧，這樣上面的...