1樓：匿名使用者
數列中兩數差的差,例如1,4,9,16,25
階差是3,5,7,9
二次階差是2,2,2
2樓：帥的嚇死笨拉燈
一、基本知識
1.定義：對於一個給定的數列，把它的連結兩項an+1與an的差an+1-an記為bn，得到一個新數列，把數列bn稱為原數列的一階差數列，如果**=bn+1-bn，則數列是的二階差數列依此類推，可得出數列的p階差數列，其中pîn
2.如果某數列的p階差數列是一非零常數列，則稱此數列為p階等差數列
3.高階等差數列是二階或二階以上等差數列的統稱
4.高階等差數列的性質：
(1)如果數列是p階等差數列，則它的一階差數列是p-1階等差數列
(2)數列是p階等差數列的充要條件是：數列的通項是關於n的p次多項式
(3) 如果數列是p階等差數列，則其前n項和sn是關於n的p+1次多項式
5.高階等差數列中最重要也最常見的問題是求通項和前n項和，更深層次的問題是差分方程的求解，解決問題的基本方法有：
(1)逐差法：其出發點是an=a1+
(2)待定係數法：在已知階數的等差數列中，其通項an與前n項和sn是確定次數的多項式(關於n的)，先設出多項式的係數，再代入已知條件解方程組即得
(3)裂項相消法：其出發點是an能寫成an=f(n+1)-f(n)
(4)化歸法：把高階等差數列的問題轉化為易求的同階等差數列或低階等差數列的問題，達到簡化的目的
二、例題精講
例1.數列的二階差數列的各項均為16，且a63=a89=10，求a51
解：法一：顯然的二階差數列是公差為16的等差數列，設其首項為a,則bn=a+(n-1)×16,於是an= a1+
=a1+(n-1)a+8(n-1)(n-2)
這是一個關於n的二次多項式，其中n2的係數為8，由於a63=a89=10,所以
an=8(n-63)(n-89)+10，從而a51=8(51-63)(51-89)+10=3658
解：法二：由題意，數列是二階等差數列，故其通項是n的二次多項式，又a63=a89=10，故可設an=a(n-63)(n-89)+10
由於是二階差數列的各項均為16，所以(a3-a2)-(a2-a1)=16
即a3-2a2+a1=16，所以
a(3-63)(3-89)+10-2[a(2-63)(2-89)+10]+a(1-63)×(1-89)+10=16
解得：a=8
an=8(n-63)(n-89)+10，從而a51=8(51-63)(51-89)+10=3658
例2.一個三階等差數列的前4項依次為30,72,140,240，求其通項公式
解：由性質(2)，an是n的三次多項式，可設an=an3+bn2+**+d
由a1=30、a2=72、a3=140、a4=240得
解得：所以an=n3+7n2+14n+8
例3.求和：sn=1×3×22+2×4×32+…+n(n+2)(n+1)2
解：sn是是數列的前n項和，
因為an=n(n+2)(n+1)2是關於n的四次多項式，所以是四階等差數列，於是sn是關於n的五次多項式
k(k+2)(k+1)2=k(k+1)(k+2)(k+3)-2k(k+1)(k+2)，故求sn可轉化為求
kn= 和tn=
k(k+1)(k+2)(k+3)= [ k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)-(k-1) k(k+1)(k+2)(k+3)]，所以
kn= =
tn= =
從而sn=kn-2tn=
例4.已知整數列適合條件：
(1)an+2=3an+1-3an+an-1,n=2,3,4,…
(2)2a2=a1+a3-2
(3)a5-a4=9,a1=1
求數列的前n項和sn
解：設bn=an+1-an,**=bn+1-bn
**=bn+1-bn= (an+2-an+1)-( an+1-an)=an+2-2an+1+an=(3an+1-3an+an-1) -2an+1+an=an+1-2an+an-1
=**-1 (n=2,3,4,…)
所以是常數列
由條件(2)得c1=2,則是二階等差數列
因此an=a1+
由條件(3)知b4=9，從而b1=3，於是an=n2
例5.求證：二階等差數列的通項公式為
證明：設的一階差數列為，二階差數列為，由於是二階等差數列，故為常數列
又c1=b2-b1=a3-2a2+a1
所以 例6.求數列1,3+5+7,9+11+13+15+17,…的通項
解：問題等價於：將正奇數1,3,5,…按照「第n個組含有2n-1個數」的規則分組：
(1)、(3,5,7)、(9,11,13,15,17),… 然後求第n組中各數之和an
依分組規則，第n組中的數恰好構成以2為公差的項數為2n-1的等差數列，因而確定了第n組中正**這一項，然後乘以(2n-1)即得an
將每一組的正**一項依次寫出得數列：1,5,13,25,…這個數列恰為一個二階等差數列，不難求其通項為2n2-2n+1，故第n組正**的那一項為2n2-2n+1，從而
an=(2n-2n+1)(2n-1)
例7.數列的二階差數列是等比數列，且a1=5,a2=6,a3=9,a4=16,求的通項公式
解：易算出的二階差數列是以2為首項，2為公比的等比數列,則**=2n,
的一階差數列設為，則b1=1且
從而 例8.設有邊長為1米的正方形紙一張，若將這張紙剪成一邊長為別為1釐米、3釐米、…、(2n-1)釐米的正方形，愉好是n個而不剩餘紙，這可能嗎？
解：原問題即是是否存在正整數n，使得12+32+…+(2n-1)2=1002
由於12+32+…+(2n-1)2=[12+22+…+(2n)2]-[22+42+…+(2n)2]= 隨著n的增大而增大，當n=19時 =9129<10000，當n=20時 =10660>10000
故不存在…
例9.對於任一實數序列a=，定義da為序列，它的第n項為an+1-an，假設序列d(da)的所有項均為1，且a19=a92=0,求a1
解：設序列da的首項為d,則序列da為,它的第n項是d+(n-1)，因此序列a的第n項
顯然an是關於n的二次多項式，首項等比數列為
由於a19=a92=0，必有
所以a1=819
二次求導等於零的幾何意義是什麼比如說二階求導y『』
3樓：為你寫歌金牛
二階導數，是原函式導數的導數，將原函式進行二次求導。一般的，函式y=f（x）的導數y『=f』（x）仍然是x的函式，則y』=f『（x）的導數叫做函式y=f（x）的二階導數。二階導數記作y『『=d²y/dx²即y''=（y'）'。
例如：y=x²的導數為y『=2x,二階導數即y』=2x的導數為y『』=2。（1）切線斜率變化的速度（2）函式的凹凸性（例如加速度的方向總是指向軌跡曲線凹的一側）這裡以物理學中的瞬時加速度為例:
根據定義有a=（v'-v）/δt=δv/δt可如果加速度並不是恆定的某點的加速度表示式就為：a=limδt→0δv/δt=dv/dt(即速度對時間的一階導數)又因為v=dx/dt所以就有a=dv/dt=d²x/dt²即元位移對時間的二階導數將這種思想應用到函式中即是數學所謂的二階導數f'(x)=dy/dx(f(x)的一階導數）f''(x)=d²y/dx²=d(dy/dx)/dx(f(x)的二階導數)如果一個函式f(x)在某個區間i上有f''(x)（即二階導數）>0恆成立，那麼對於區間i上的任意x,y，總有：f(x)+f(y)≥2f[(x+y)/2]，如果總有f''(x)0恆成立，那麼在區間i上f(x)的圖象上的任意兩點連出的一條線段，這兩點之間的函式圖象都在該線段的下方，反之在該線段的上方。
二階導數是比較理論的、比較抽象的一個量，它不像一階導數那樣有明顯的幾何意義，因為它表示的是一階導數的變化率。在圖形上，它主要表現函式的凹凸性，直觀的說，函式是向上突起的，還是向下突起的。定理：
設f(x)在[a,b]上連續，在（a,b)內具有一階和二階導數，那麼，（1）若在（a,b)內f''(x)>0,則f(x)在[a,b]上的圖形是凹的；（2）若在（a,b)內f』『(x)<0,則f(x)在[a,b]上的圖形是凸的。若在定義域內一階導數為0，則該點是原函式定義域內的極值點或拐點。如在定義域內二階導數為0，則該點內的極值點或拐點是一階函式定義域。
在一定情況下，二階導數為0時的點，有可能為原函式的零點。
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負二次冪實際上就是二次冪的倒數。任何數的負次冪，我們通常可以將其負號先行處理，也就是把括號內的數字做倒數，之後就可以不考慮負號的問題直接開冪。一個數的負次方即為這個數的正次方的倒數。a x 1 a x例 2的 1次方 1 2的一次方。1 2的 1次方 2的一次方。5的 2次方 1 5的二次方，1 5...