在區間內隨機取兩個數分別記為a,b,則使得函式f x x 2 2ax b 22有零點的概率為

2021-09-10 16:01:46 字數 765 閱讀 7430

1樓:匿名使用者

f(x)是一個二次函式,有零點的等價條件為判別式大於等於零,即:

4a^2-4(-b^2+π^2)≥0整理得:

a^2+b^2-π^2≥0.即:a^2+b^2≥π^2。

這是一個半徑為π的圓的外部。而[-π,π]內隨機取兩個數構成的是一個正方形的內部。公共部分的面積為:

4π^2-π^3。

所以概率為:(4π^2-π^3)/4π^2=1-π/4.

2樓:匿名使用者

這是求f(x)=0存在實數根的概率.

f(x)=0存在實數根的條件為δ=4ac-b²≥0.

即4×1×(-b²+π²)-(2a)²≥0.

即4π²-4b²-4a²≥0.

化簡得π²-b²-a²≥0.

即a²+b²≤π².

以a為橫座標,b為縱座標建立平面直角座標系,則當a,b滿足f(x)=0時,座標(a,b)落在以原點為圓心,π為半徑的圓外(包括邊界).

所有(a,b)的點構成的圖形為一正方形,正方形的左邊界為直線a=-π,右邊界為直線a=π,上邊界為直線b=π,下邊界為直線b=-π.此正方形正好是上面所說的圓的外切正方形.

所求的概率為點(a,b)落在正方形上但不在圓上的概率與落在正方形上的概率之比,等價於(正方形面積-圓的面積)與正方形的面積之比.這個比值為(2π×2π-π×π²)/(2π×2π)=1-π/4.

這就是所求的概率.

3樓:匿名使用者

用面積法計算就可以了!

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