1樓：匿名使用者
1、解：
作變換 u = x²，則積分限變為[0²,1²]有：
[0,1]∫x(√1-x^4)dx
= [0,1]∫1/2 *(√1-x^4)dx²
= 1/2*[0,1] ∫(√1-u²)du
顯然 y = √1-u² 表示的是以原點(0,0)為圓心，半徑為1圓的在y>=0區域的半圓；
積分式[0,1]∫(√1-u²)du 表示位於第一想象限的1/4 圓的面積，因此：
1/2*[0,1] ∫(√1-u²)du = 1/2 * 1/4*π*1² =π/8
2、解：
[0,3]∫t*g(t²)dt = 1/2 *[0,3]∫g(t²)dt²
作變換 u = t², 則 積分限變為 [0²，3²]，有
[0,3]∫t*g(t²)dt = 1/2 *[0，9] ∫g(u)du
= 1/2 *5 =5/2
3、解：
(1)作變換 u = π/2 – x，則x = π/2–u，有：
[0,π/2]∫f(cosx)dx = -[0,π/2]∫f(cos(π/2-u))d(π/2-u)
= -[0,π/2]∫f(sinu)(-du)
= [0,π/2]∫f(sinu)du
由於定積分的積分變數只是形式變數，積分結果與積分變數用什麼字元無關，因此：
[0,π/2]∫f(cosx)dx = [0,π/2]∫f(sinx)dx
(2)設 f(x) = x²，則 f(cosx) = cos²x，f(sinx)= sin²x，由(1)的結論可知：
[0,π/2]∫cos²x*dx = [0,π/2]∫sin²x*dx
而：[0,π/2]∫cos²x*dx + [0,π/2]∫sin²x*dx
= [0,π/2]∫(cos²x+ sin²x )*dx
= [0,π/2]∫dx =π/2
因此：[0,π/2]∫cos²x*dx = [0,π/2]∫sin²x*dx =π/4；
4、解：
(a) 由分部積分公式：∫u*dv = u*v - ∫v*du
令 u = f(x)，v =x, 則 du = f』(x)dx
∫f(x)*dx = f(x)*x - ∫x*d(f(x))
= x*f(x) - ∫x* f』(x)dx
(b) 由(a)中結論，可有：
[a,b]∫f(x)*dx = x*f(x)|[a,b] – [a,b]∫x* f』(x)dx
= [b*f(b) – a*f(a)] - [a,b]∫x* f』(x)dx
對後一項作變換 y =f(x)，則積分限變為[f(a),f(b)]；dy = f』(x)dx
x = f^(-1)(y),則有：
[a,b]∫f(x)*dx = [b*f(b) – a*f(a)] - [a,b]∫x* f』(x)dx
= [b*f(b) – a*f(a)] - [f(a),f(b)]∫f^(-1)(y)dy
(c)如圖所示
積分式所表示的是點 aabb構成的曲邊梯形的面積；
b*f(b) 表示o、b、b、f(b) 四點構成的矩形面積；
a*f(a) 表示o、a、a、f(a) 四點構成的矩形面積；
[f(a),f(b)]∫f^(-1)(y)dy 表示的是陰影部分的面積，這部分以y為被積變數f^(-1)(y)為被積函式的曲邊梯形的面積；
那麼原積分式表示的面積就等於bf(b)面積去掉af(a)面積，再減去陰影部分面積；
這就是(b)中結論所表達的幾何意義；
(d)設 f(x) = lnx，則f^(-1)(y) = e^y，由(b)結論有
[1,e]∫lnx*dx = [e*ln(e) – 1*ln(1)] - [ln(1),ln(e)]∫e^y*dy
= e – 0 – e^y|[0,1] = 1
2樓：匿名使用者
答：具體的解答過程見下面的**，點選**可以放大，有問題可以追問，謝謝
3樓：袁澤睿
是不是小朋友呢，這個問題應該去寫，哪怕是寫的不好也要去寫，多寫幾次就好了。學習上沒有偷懶啊！
4道簡單高數題，微積分，定積分的湊微分法
4樓：匿名使用者
1.洛必達法則，等價代換
=limln(1+2x)/2x=1
2.定積分偶倍奇零
=2∫(0.1)x²-√(1-x²)dx
(三角換元脫根號)
=2x³/3-2∫(0.π/2)cosudsinu=2/3-∫1+cos2udu
=2/3-(u+sin2u/2)
=2/3-π/2
3.φ(x)=∫(0.x)2tdt=x²(0≤x≤1)=∫(0.
1)2tdt+∫(1.x)0dt=t²=1(x>1)4.=∫1/(e^x+1)d(e^x+1)=ln(e^x+1)
=ln(e+1)-ln2
5樓：巴山蜀水
^ 解：第1題，x→0時，屬「0/0」型，用洛必達法則，
∴原式=(1/2)lim(x→0)ln(1+2x)/x=lim(x→0)1/(1+2x)=1。
第2題(12題)，∵∫(-1,1)[x^2+(x^3)sin(x^4)-√(1-x^2)]dx=∫(-1,1)x^2dx+∫(-1,1)(x^3)sin(x^4)dx-∫(-1,1)√(1-x^2)dx，
而∫(-1,1)x^2dx=2∫(0,1)x^2=2/3、因(x^3)sin(x^4)在積分割槽間是奇函式，根據定積分的性質，∫(-1,1)(x^3)sin(x^4)dx=0、∫(-1,1)√(1-x^2)其幾何意義表示的是半徑為1的半圓的面積，其值是π/2，∴原式=2/3-π/2。
第3題，當x<0時，φ(x)=∫(0,x)f(t)dx=∫(0,-∞)0dt=0；當0≤x<1時，φ(x)=∫(0,x)f(t)dt=∫(0,x)f(t)dx=x^2；當1≤x 第4題(11題)，原式=∫d(e^x)/(e^x+1)=ln(e^x+1)+c。 供參考。 6樓：aa故事與她 給你寫了一遍 望採納~~ 高等數學 微積分 求4道題 做不全也行t.t 7樓：匿名使用者 25） 令 x = tanu，原積分 i = ∫《下0, 上π/2>(u/secu)du = ∫<0,π/2>ucosudu = ∫<0,π/2>udsinu = [usinu]<0,π/2> - ∫<0,π/2>sinudu = π/2 + [cosu]<0,π/2> = π/2 + 1 27） 令 √(1-x) = u，則 x = 1-u^2, 原積分 i = ∫《下1, 上0>(-2du/(1+u^2) = 2 ∫<0,1>du/(1+u^2) = 2[arctanu]<0,1> = π/2 3. i= ∫<0,+∞>x^ne^(-x)dx = - ∫<0,+∞>x^nde^(-x) = [-x^n/e^x]<0,+∞> +n ∫<0,+∞>x^(n-1)e^(-x)dx = 0 +n i= n i 5. s = ∫<0,+∞>xe^(-2x^2)dx = (-1/4)∫<0,+∞>e^(-2x^2)d(-2x^2) = (-1/4)[e^(-2x^2)]<0,+∞> = 1/4 高數題，一元微積分，這4道題選什麼 8樓：巴山蜀水 解：07題，f(x)=x^2+1 滿足以下條件"在閉區間 [-1,1] 上連續、在開區間 (-1,1) 內可導、f(-1)=f(1)」的羅爾定版理的條件，存在x=0∈(-1,1)，使得權 f'(x)=0。∴選b。 08題，屬「0/0」型，用洛必達法則，得a/(-2c)=2，∴a=-4c，選d。 09題，對f(x)求導，有f'(x)=(5/3)(x-1)(x+1)^(-1/3)，顯然，選b。 10題，原式=lim(x→0)(cosx/sinx-1/x)=lim(x→0)(xcosx-sinx)/(xsinx)，屬「0/0」型，用洛必達法則， ∴原式=-lim(x→0)(xsinx)/(xcosx+sinx)=-lim(x→0)(sinx)/(cosx+sinx/x)=0。選a。 供參考。 9樓：錚骨戰馬 這麼難，為你默哀一分鐘 在一個方程中，bai令一個新的函du數等於其中zhi的常數，這種方 dao法類似於微 內分方程中的常數變易法，注容意原則上建構函式是非常任意的，令一個函式等於常數是完全允許的，這樣可以為解決問題帶來方便，這樣構成輔助函式的原因是可以理解的，由於構造的函式在某區間內為常數，所以自然能找到兩個點使它們的... 這個不是很難，分bai子分母都有理化 du就可以 x 0 lim zhi 1 tanx 1 sinx x 1 sinx dao2 1 lim 1 tanx 1 sinx 1 sinx 2 1 lim2 tanx sinx 2x 3 lim tanx sinx x 3 因為tanx x x 3 3 o... 5 6 5 1 1 3 平方米。2 設甲原有x噸，乙有 560 x 噸。2 1 1 4 x 560 x 80 x 256 這是甲的。560 256 304噸 這是乙的。乙倉庫又放入80噸在倉庫裡 如果這兒沒錯的話。第二題 設甲倉庫為x噸，乙倉庫為 560 x 噸。2 x 1 4x 560 x 80 ...一道定積分裡關於微分方程的問題,微積分中的定積分問題和常微分方程問題如下圖常微分方程是如何得到下一步的
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