1樓：元秀珍浮娟
柯西積分定理
複變函式論的核心定理
。它討論一個區域d上的複函式在什麼條件下在d上積分與路徑無關
，最簡單的柯西積分定理的形式為：當d是單連通區域
，而f（z）是d上的解析函式時，以下3個互相等價的結論成立：①
f（z）
在d內沿任意可求長曲線積分與路徑無關。②f（z）在
d內沿任意可求長閉曲線積分為零。③f（z
）在d上有原函式
。如果在連續函式類中討論，則以上定理還是可逆的。柯西定理有以下常用的變化的形式
：①d是由幾條簡單光滑閉曲線圍成的有界區域，記l＝d，f（z）在d上解析，在image:柯西積分定理1.在dul上連續，則必有
②在上述條件下
，若l＝l0＋…＋l即d由l0，，…，l所圍成，
作為柯西積分定理的應用，有同樣可作為解析函式充要條件的柯西積分公式：f（z）在上連續
，在d內解析的充要條件是。
。柯西積分公式是證明一系列解析函式重要性質的工具，首先是證明了圓盤上的解析函式一定可展為冪級數
，從而證明了
a.-l.柯西與k.魏爾斯特拉斯關於解析函式兩個定義的等價性
，其次證明了解析函式是無限次可微的，從而其實部與虛部也是無限次可微的調和函式。柯西積
分定理已推廣到沿同
倫曲線或沿同調鏈
積分的形式。柯西積分公式在多複變函式中也有許多不同形式.
簡單的說，定義如下：
設c是一條簡單閉曲線，函式f（z）在以c為邊界的有界區域d內解析，那麼有:
f(z)對曲線的閉合積分值為零。
（注:f(z）為複函式）
（上述定義直接證明是比較困難的
在加上f(z)的導數在c上連續這個條件後，黎曼於2023年運用格林公式給出了簡明的證明過程
2023年古薩給出了正式的證明）
u是單連通的條件，意味著u沒有「洞」，例如任何一個開圓盤u
=都符合條件，這個條件是很重要的，考慮以下路徑
它是一個單位圓，則路徑積分
不等於零；這裡不能使用柯西積分定理，因為f(z)
=1/z在z
=0處沒有定義。
該定理的一個重要的結果，是在單連通域內全純函式的路徑積分可以用類似於微積分基本定理的方法來計算：設u是c的一個單連通開子集，f:u
→c是一個全純函式，並設γ是u內的一個分段連續可微分的路徑，起點為a，終點為b。如果f是f的一個複數倒數，則
從柯西積分定理可以推匯出柯西積分公式和留數定理。
柯西古薩基本定理和柯西積分公式的問題
2樓：上海皮皮龜
單連來通區域內沒有奇點，積分為
自0，如果該區域內包含一個孤立奇點，則加上一條圍繞奇點的圓周（半徑充分小），則在曲線內圓弧外的區域內積分為0(它們圍成的區域內無奇點)。而在圓周上的積分為可以計算的留數。所以可得此時的積分不為0.
複變函式中求積分的方法有哪些？
3樓：匿名使用者
1、柯西bai積分定理；
2、柯西積分du公式；
3、高階zhi導數公式；
4、複合閉路dao定理；
5、留數專定理（留數的計算屬可以用定理或洛朗），這個方法是最重要的，柯西積分公式和高階導數公式其實都是留數定理的特例。
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什麼時候用柯西積分定理什麼時候用柯西積分公式，兩者
4樓：匿名使用者
解析函式的積分用積分定理，f解析f/z-z0的積分用積分公式。高次用高階導數公式
複變函式曲線積分
5樓：heart浩皛
周線就是抄複平面內的閉曲襲線，複變函式的積分類似於高等數學中對座標的曲線積分，最一般的方法是對於複變函式f(z)=u+iv，其中u=u(x,y)，v=v(x,y)，z=x+iy，則複變函式積分 ∫f(z)dz=∫(u+iv)(dx+idy)=∫(udx-vdy)+i∫(vdx+udy)，從而轉化為兩個對座標的曲線積分。該方法雖然是通用的，對被積函式和積分曲線都沒有要求，但是一般很麻煩，不常用。複變函式中最重要的一類是所謂的解析函式，而且通常對閉曲線進行積分，如果函式f(z)在積分閉曲線內解析，則根據柯西古薩基本定理，此積分等於0，即解析函式沿閉曲線的積分等於0。
如果函式在積分閉曲線內有唯一奇點z0，則可用柯西積分公式∮f(z)dz/(z-z0)=2πif(z0)計算。對於被積函式不是f(z)dz/(z-z0)形式或積分閉曲線內有多個奇點的情況，有時可以通過變形轉為為柯西積分公式適用的形式，更一般地可以用留數定理計算。
複變函式中的周線是什麼？復積分怎麼計算？不要複製
6樓：援手
周線就是複平面內的閉曲線，複變函式的積分類似於高等數學中對座標的曲線積內分，最一般的方法是對於
容複變函式f(z)=u+iv，其中u=u(x,y)，v=v(x,y)，z=x+iy，則複變函式積分
∫f(z)dz=∫(u+iv)(dx+idy)=∫(udx-vdy)+i∫(vdx+udy)，從而轉化為兩個對座標的曲線積分。該方法雖然是通用的，對被積函式和積分曲線都沒有要求，但是一般很麻煩，不常用。複變函式中最重要的一類是所謂的解析函式，而且通常對閉曲線進行積分，如果函式f(z)在積分閉曲線內解析，則根據柯西古薩基本定理，此積分等於0，即解析函式沿閉曲線的積分等於0。
如果函式在積分閉曲線內有唯一奇點z0，則可用柯西積分公式∮f(z)dz/(z-z0)=2πif(z0)計算。對於被積函式不是f(z)dz/(z-z0)形式或積分閉曲線內有多個奇點的情況，有時可以通過變形轉為為柯西積分公式適用的形式，更一般地可以用留數定理計算。
複變函式的積分與高等數學中哪類積分類似,有什麼區別與聯絡?
7樓：就一水彩筆摩羯
周線就是複平面內的閉曲線，複變函式的積分類似於高等數學中對座標的曲線積分，最一般的方法是對於複變函式f(z)=u+iv，其中u=u(x,y)，v=v(x,y)，z=x+iy，則複變函式積分
∫f(z)dz=∫(u+iv)(dx+idy)=∫(udx-vdy)+i∫(vdx+udy)，從而轉化為兩個對座標的曲線積分。該方法雖然是通用的，對被積函式和積分曲線都沒有要求，但是一般很麻煩，不常用。複變函式中最重要的一類是所謂的解析函式，而且通常對閉曲線進行積分，如果函式f(z)在積分閉曲線內解析，則根據柯西古薩基本定理，此積分等於0，即解析函式沿閉曲線的積分等於0。
如果函式在積分閉曲線內有唯一奇點z0，則可用柯西積分公式∮f(z)dz/(z-z0)=2πif(z0)計算。對於被積函式不是f(z)dz/(z-z0)形式或積分閉曲線內有多個奇點的情況，有時可以通過變形轉為為柯西積分公式適用的形式，更一般地可以用留數定理計算。
求下面這個函式的最大值，最小值，變曲點。
8樓：匿名使用者
周線就是複平面內的閉曲線，複變函式的積分類似於高等數學中對座標的曲線積分，最一般內的方法是對於復
容變函式f(z)=u+iv，其中u=u(x,y)，v=v(x,y)，z=x+iy，則複變函式積分 ∫f(z)dz=∫(u+iv)(dx+idy)=∫(udx-vdy)+i∫(vdx+udy)，從而轉化為兩個對座標的曲線積分。該方法雖然是通用的，對被積函式和積分曲線都沒有要求，但是一般很麻煩，不常用。複變函式中最重要的一類是所謂的解析函式，而且通常對閉曲線進行積分，如果函式f(z)在積分閉曲線內解析，則根據柯西古薩基本定理，此積分等於0，即解析函式沿閉曲線的積分等於0。
如果函式在積分閉曲線內有唯一奇點z0，則可用柯西積分公式∮f(z)dz/(z-z0)=2πif(z0)計算。對於被積函式不是f(z)dz/(z-z0)形式或積分閉曲線內有多個奇點的情況，有時可以通過變形轉為為柯西積分公式適用的形式，更一般地可以用留數定理計算。