1樓：封面娛樂
證明：1.當n=2時，1+1/4<2-1/2，命題成立；
2.假設n=k時，1+1/2^2+1/3^2+.....+1/k^2<2-1/k,
(k屬於自然數集且n大於等於2),那麼n=k+1時,1+1/2^2+1/3^2+.....+1/k^2+1/（k+1)^2<2-1/k+1/（k+1)^2=2-(k^2+k+1)/k(k+1)^2<2-(k^2+k)/k(k+1)^2=2-k(k+1)/k(k+1)^2=2-1/(k+1),
即n=k+1時，命題也成立；
由1、2可得對於任意整數n大於等於2都有1+1/2^2+1/3^2+.....+1/n^2<2-1/n
2樓：匿名使用者
證：n=2時，左=1/1+1/4=5/4 右=2-1/2=3/2=6/4
左《右成立。
假設當n=k(k為自然數，且k≥2）時，不等式成立，即
1/1^2+...+1/k^2≤2-1/k
則當n=k+1時
1/1^2+...+1/k^2+1/(k+1)^2≤2-1/k+1/(k+1)^2
1/(k+1)^2-1/k+1/(k+1)
=[k-(k+1)^2+k(k+1)]/[k(k+1)^2]
=-1/[k(k+1)^2]<0
1/(k+1)^2-1/k<-1/(k+1)
2-1/k+1/(k+1)^2<2-1/(k+1)
1/1^2+...+1/k^2+1/(k+1)^2<2-1/(k+1)
不等式仍成立。
綜上，1/1^2+1/2^2+1/3^2+...+1/n^2<2-(1/n)成立
3樓：匿名使用者
當n=1時顯然成立
設當為n時成立,則有當為n+1時
1/1^2+1/2^2+1/3^2+...+1/n^2+1/(n+1)^2
<2-(1/n)+1/(n+1)^2
<2-(1/n)+1/n(n+1)
=2-1/(n+1)
即對n+1也成立
所以對於大於1的任意自然數n，都有1/1^2+1/2^2+1/3^2+...+1/n^2<2-(1/n)成立
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