1樓：匿名使用者
張錦文定理2.23的證明(用「≤」表示包含於，「┓」表示否定，「ⅴ」表示任意，「э」表示存在)
先考慮（1）即ⅴy[y∈x0->эz[z∈x0∧y∈z]]
<-> ⅴy[y∈x0->y∈∪x0]
<-> x0≤∪x0
由於x0是傳遞集因此有∪x0≤x0，所以有x0=∪x0。由序數的定義如果x0是一序數的集合則∪x0也是，但∪x0=x0不是一序數，所以x0中有元素不是序數，不妨設為ε。又由於x0∩s=0，所以┓ε∈s。
根據s的定義有┓ε∈x+∨ε不是傳遞的∨ε不是∈連線的∨ε是一個序數。由前所述，我們已經知道ε不是序數，所以┓ε∈x+∨ε不是傳遞的∨ε不是∈連線的成立。又由於ε∈x0，無論x0=x或者x0∈x都有ε∈x，因此有ε∈x+。
所以ε不是傳遞的∨ε不是∈連線的成立，任取α，β∈ε，由於ε∈x0，又由於x0是傳遞的所以α，β∈x0，再由於x0是屬於連線的，所以α∈β∨α=β∨β∈α，所以ε是∈連線的，所以ε不是傳遞的成立。即存在γ，δ，使得γ∈δ∧δ∈ε∧┓γ∈ε成立，下證┓γ∈x0。若γ∈x0，由於ε∈x0，又由於x0是∈連線的，所以γ∈ε∨γ=ε∨ε∈γ，由於┓γ∈ε，所以γ=ε∨ε∈γ，無論哪種情況都會導致書中21頁上定義的奇異集合，所以┓γ∈x0。
但同時又由於γ∈ε而ε∈x0所以有γ∈x0，矛盾。因此（1）不能成立。
我們考慮（2）即эy[y∈x0∧ⅴz[z∈x0->z∈y∨z=y]]
<-> эy[y∈x0∧ⅴz[z∈x0->z=y+]]
<-> эy[y∈x0∧x0≤y+]
b∈x0∧x0≤b+
由x0是傳遞集有 b≤x0
此外同時有 ≤x0
因此有 b∪≤x0
即 b+≤x0
因此有 b+=x0
эy[y+=x0]
эy[y+=x0]
不妨令ε+=x0，由於x0∩s=0，因此有（ε∪）∩s=0，即ε∩s∪∩s=0，也就是說ε∩s=0且∩s=0，由後式我們有┓ε∈s。同（1）中所述，我們有┓ε∈x+∨ε不是傳遞的∨ε不是∈連線的∨ε是一個序數成立。如果ε是一個序數，那麼ε+=x0也是一個序數，但x0不是，所以ε不是一個序數，所以┓ε∈x+∨ε不是傳遞的∨ε不是∈連線的成立。
而我們同樣有ε∈x0，因此無論x0=x或者x0∈x都有ε∈x，因此有ε∈x+，所以ε不是傳遞的∨ε不是∈連線的成立。仿（1）中所證，可證ε是∈連線的，所以ε是不傳遞的。即存在γ，δ，使得γ∈δ∧δ∈ε∧┓γ∈ε成立。
由於ε+=x0是傳遞的，所以ⅴxy[y∈x∧x∈ε+->y∈ε+],由於γ∈δ∧δ∈ε+，因此有γ∈ε+，即γ∈ε∨γ=ε。又由於┓γ∈ε所以γ=ε，由此我們又得到奇異集合。矛盾。
因此（2）也不能成立，因此不存在一集合x，它是傳遞的，∈連線的但不是2.7定義下的序數。因此原定理成立。
2樓：匿名使用者
序集的定義其實是歸納法的想法。x0是最小的，x的子集，滿足傳遞和連線，但不是序數的集合。
利用正則公理，x0的所有元素都是傳遞和連線的，x的子集合。所以，他們都是序數。根據序數的定義第三條，x是序數。
其實我也不太懂，除非假設所有的元素都是集合，所有的集合都是由空集生成的。
離散數學集合論問題，離散數學集合論問題
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