1樓：匿名使用者
設q^(-1)aq=d=diag(a1e,a2e,...,ake),
其中a1,a2,...,ak是a的不同特徵值,
對應重數即為l1,l2,...,lk.
在ab=ba中左乘q^(-1),右乘q得dq^(-1)bq=q^(-1)bqd,
對q^(-1)bq對應分塊,比較可知,此時q^(-1)bq=diag(b1,b2,...,bk),
且由於b可對角化,b1,...,bk也可對角化,
因此令p=diag(p1,...,pk),
其中pi^(-1)bipi為對角陣.
這時可得(qp)^(-1)a(qp)為對角陣,(qp)^(-1)b(qp)為對角陣,
因此(qp)^(-1)(a+b)(qp)是對角陣.
首先特徵空間子相同並不意味著特徵值對應相等.
所以由(λe - a)x = 0推出(λe - b)x = 0是不可行的.
其次特徵空間未必是相同的.
例如a = e,屬於1的特徵子空間是全空間,但一般不是b的特徵子空間.
這道題一般是這樣證的.
設λ是a的特徵值,v是a的屬於λ的特徵子空間.
對於任意x∈v,有ax = λx.
可得λbx = bax = abx = a(bx),即有bx∈v.
我們得到v是b的不變子空間.
由a可對角化,全空間可以分解為a的特徵子空間的直和v1⊕v2⊕...⊕vk.
已證v1,v2,...,vk都是b的不變子空間.
有個定理保證:若b可對角化,則b在不變子空間上的限制也可對角化.
在v1,v2,...,vk中分別取一組基,使b的限制對角化,它們組成全空間的一組基.
在這組基下a,b同時對角化.
以上其實是將a,b視為線性變換來證明的.
對於條件中的矩陣a,b.任取線性空間的一組基,則有兩個線性變換以a,b為其矩陣.
不妨仍將這兩個線性變換分別記為a,b,則由矩陣a,b可交換可知線性變換a,b可交換.
矩陣可對角化當且僅當其對應的線性變換在一組基下的矩陣為對角陣.
要證矩陣a,b可由同一個可逆矩陣s對角化,只要證線性變換a,b在同一組基下的矩陣同為對角陣.
如果不用線性變換的語言,可以改用分塊矩陣來證明.
由a可對角化,存在可逆矩陣t使c = t^(-1)at是對角陣,且相同特徵值排在一起.
即c可以寫成分塊對角形式,對角線上依次是λ1e,λ2e,...,λke,其中λi兩兩不等.
由a,b可交換,c與d = t^(-1)bt可交換.
作為與對角矩陣可交換的矩陣,可知d為準對角矩陣,並與c有相同的分塊.
對角線上依次為d1,d2,...,dk,其它分塊為0.
然後上面用到的定理變為:
若一個準對角矩陣可對角化,則對角線上各分塊均可對角化.
證明可以用幾何重數等於代數重數.
設可逆矩陣p1,p2,...,pk分別使d1,d2,...,dk對角化.
則以它們為對角分塊的準對角矩陣p滿足p^(-1)dp為對角陣.
同時,p^(-1)cp = c.
於是取s = tp,有s^(-1)as與s^(-1)bs都為對角陣.
2樓：匿名使用者
i為單位矩陣
(a-i)(b-i)
=a(b-i)-i(b-i)
=ab-a-b+i
=i因此,(a-i)和(b-i)互為逆矩陣因此(b-i)(a-i)=i
即ba-a-b+i=i
ba=a+b=ab
設n階矩陣a，b均可對角化，且ab=ba，證明存在可逆矩陣t使t^-1at，t^-1bt同時是對交 5
3樓：匿名使用者
樓
線性代數 如果a和b都為nxn矩陣且都可被p對角化證明ab=ba
4樓：閒庭信步
因為d,s為對角矩陣，所以ds=sd
從而，ab=pdp^-1psp^-1=pdsp^-1=psdp^-1=ps^-1pdp^-1=ba
證明:如果方陣a和b都可相似對角化且有相同的特徵多項式，則a~b
5樓：
a、b特徵多項式相同,設特徵多項式的根為 λ1,λ2,……,λn （可能有重根）.
由於a、b都可對角化,則都相似於d=diag,設 p1^ a p1 =d,p2^ b p2 =d,則 p1^ a p1 = p2^ b p2,故 a p1 = (p2*p1^)^ b (p2*p1^) = p^ b p ,（p= p2*p1^）
即a~b.
6樓：匿名使用者
利用相似有傳遞性，證明a～c，b～c，所以a～b。
矩陣ab=ba a,b對角化,怎麼證明a b也對角化
7樓：電燈劍客
把a和b同時對角化就行了（存在可逆陣p使得p^ap和p^bp都是對角陣）
矩陣ab=ba a,b對角化,怎麼證明a+b也對角化 40
8樓：匿名使用者
有一個定理：ab=ba ，a,b都相似於對角陣。則存在公共的滿秩方陣p.使p^（-1）ap與p^（-1）bp同時為對角
形。這個定理還可以推廣到｛a1,a2.……，ak｝的情況：
aiaj＝ajai（i.j＝1,2,……。k）,且每個ai都相似於對角陣。則存在公共的滿秩方陣p.使每個p^（-1）aip
全部都為對角形。
有此定理；
p^（-1）[a+b]p＝p^（-1）ap+p^（-1）bp當然是對角形了。
（這個定理的證明，在數學專業的「線性代數」都可以找到。在「不變子空間」部分。）
設a,b均為n階矩陣，且ab=ba,證明： 1）如果a有n個不同的特徵值，則b相似於對角矩陣；
9樓：電燈劍客
(1) ab=ba等價於(p^ap)(p^bp)=(p^bp)(p^ap)
把p^ap取成對角陣即可，接下去自己動手算
(2) 方法同上，取p1使得p1^ap1是對角陣，並且額外地把p1^ap1按特徵值排列成diag，然後用分塊乘法驗證p1^bp1也是分塊對角陣，再把每塊都對角化即可
設a,b可對角化,則ab=ba當且僅當存在可逆矩陣t，使得t^(-1)at，t^(-1)bt為對角矩陣。
10樓：匿名使用者
設p使得p^-1ap是對角陣c,則ab=pcp^-1b=ba=bpcp^-1因此cp^-1bp=p^-1bpc.因為c是對角陣,設為diag其中專ii是ki階方陣.令p^-1bp=(bij)是對應c的分塊矩屬陣,則可證i≠j時,bij是零矩陣.
令pi使得pi^-1biipi是對角陣,則令q=diag,可證(pq)^-1bpq是對角陣,而q^-1cq也是對角陣,於是t=pq使得t^(-1)at，t^(-1)bt都是對角陣
已知n階矩陣a有n個不同的特徵值且n階矩陣ab=ba，證明b可對角化
11樓：電燈劍客
取p使得p^ap=d為對角陣，記x=p^bp
那麼ab=ba等價於dx=xd，然後比較元素得x是對角陣
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