1樓：匿名使用者
^對第一個和式：
n=2p為偶數（p≥0）時(-1)^n=1，(x-π/4)的冪指數為4p+1，p≥0；
n=2p+1為奇數（p≥0）時(-1)^n=-1，(x-π/4)的冪指數為4p+3，p≥0。
對第二個和式：
n=2p為偶數（p≥0）時(-1)^n=1，(x-π/4)的冪指數為4p，p≥0；
n=2p+1為奇數（p≥0）時(-1)^n=-1，(x-π/4)的冪指數為4p+2，p≥0。
由此可見，(x-π/4)的冪指數分別為4p,4p+1,4p+2,4p+3（p≥0）連續變化時，(-1)^n分別為1,1,-1,-1。因為是連續的，冪函式那一項自然可以用(x-π/4)^n表示。
下面就是如何用n表示1,1,-1,-1。
我們知道，1和-1交替出現（1打頭）時，可以用(-1)^n,n≥0表示。現在也要想辦法，如何構造(-1)的冪指數（用n來表示），使得能夠出現1,1,-1,-1，……迴圈。
考慮序列：
偶，偶，奇，奇，偶，偶，奇，奇，……
再考慮相鄰的差值：
偶，奇，偶，奇，偶，奇，偶，……
看來，冪指數相鄰項的差值可以用n，n≥0來表示。
於是：第1項：用0表示；
第2項，用0+0=0表示；
第3項，用0+0+1=1表示；
第4項，用0+0+1+2=3表示；
第5項，用0+0+1+2+3=6表示；
第6項，用0+0+1+2+3+4=10表示；
第7項，用0+0+1+2+3+4+5=15表示；
第8項，用0+0+1+2+3+4+5+6=21表示；
……所以，第n項可以用
0+0+1+2+3+4+5+……+(n-2)=(n-1)(n-2)/2,n≥1表示
自然，如果從第0項開始算，也可以用n(n-1)/2,n≥0表示。
所以，其級數形式就是：
∞∑ (-1)^[n(n-1)/2]*(x-π/4)^n/n!
0就是你所要的結果。
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