1樓：匿名使用者
1、凹函式是一個定義在某個向量空間的凹子集c(區間)上的實值函式f。
設f為定義在區間i上的函式，若對i上的任意兩點x1，x2和任意的實數λ∈(0，1)，總有
f(λx1+(1-λ)x2)≤(≥)λf(x1)+(1-λ)f(x2), 則f稱為i上的上(下)凹函式。
判定方法可利用定義法、已知結論法以及函式的二階導數。
其二階導數在區間上恆大於0，就稱為嚴格凹函式
2、凸函式是一個定義在某個向量空間的凸子集c（區間）上的實值函式f，而且對於凸子集c中任意兩個向量x1,x2,f((x1+x2)/2)≤（f(x1)+f(x2))/2。
於是容易得出對於任意（0,1)中有理數p,f(px1+(1-p)x2）≤pf(x1)+(1-p)f(x2）。如果f連續，那麼p可以改成任意（0,1）中實數。
若這裡凸集c即某個區間i，那麼就是：設f為定義在區間i上的函式，若對i上的任意兩點x1，x2和任意的實數λ∈（0，1），總有
f（λx1+(1-λ）x2）≤λf(x1)+(1-λ）f(x2),
則f稱為i上的凸函式。
判定方法可利用定義法、已知結論法以及函式的二階導數
對於實數集上的凸函式，一般的判別方法是求它的二階導數，如果其二階導數在區間上非負，就稱為凸函式。（向下凸）
如果其二階導數在區間上恆大於0，就稱為嚴格凸函式。
什麼是凹函式，什麼是凸函式？傻傻分不清楚
2樓：demon陌
凹函式是一個定義在某個向量空間的凸集c（區間）上的實值函式f。設f為定義在區間i上的函式，若對i上的任意兩點x1數。
凸函式,是數學函式的一類特徵。凸函式就是一個定義在某個向量空間的凸子集c（區間）上的實值函式。
凸函式是一個定義在某個向量空間的凸子集c（區間）上的實值函式f，而且對於凸子集c中任意兩個向量, f((x1+x2)/2)>=(f(x1)+f(x2))/2,則f(x)是定義在凸子集c中的凸函式（該定義與凸規劃中凸函式的定義是一致的，下凸）。
擴充套件資料：
這個定義從幾何上看就是：
在函式f(x)的圖象上取任意兩點，如果函式圖象在這兩點之間的部分總在連線這兩點的線段的下方，那麼這個函式就是凹函式。 同理可知，如果函式影象在這兩點之間的部分總在連線這兩點線段的上方，那麼這個函式就是凸函式。
如果函式f(x)在區間i上二階可導，則f(x)在區間i上是凸函式的充要條件是f''(x)<=0;f(x)在區間i上是凹函式的充要條件是f''(x)>=0;
一般來說，可按如下方法準確說明：
1、f(λx1+(1-λ)x2)<=λf(x1)+(1-λ)f(x2) ， 即v型，為「凸向原點」，或「下凸」（也可說上凹），（有的簡稱凸有的簡稱凹）
2、f(λx1+(1-λ)x2)>=λf(x1)+(1-λ)f(x2) ， 即a型，為「凹向原點」，或「上凸」（下凹），（同樣有的簡稱凹有的簡稱凸）
常見的凸函式
1 指數函式 eax
2 冪函式 xa,x∈r+,1≤a或者a≤0
3 負對數函式 - log x
4 負熵函式 x log x
5 範數函式 ||x||p
如果一個可微函式f它的導數f'在某區間是單調**的，f就是凹的；即一個凹函式擁有一個**的斜率（當中**只是代表非上升而不是嚴謹的**，也代表這容許零斜率的存在。）
如果一個二次可微的函式f，它的二階導數f'(x)是正值（或者說它有一個正值的加速度），那麼它的影象是凹的；如果二階導數f'(x)是負值，影象就會是凸的。當中如果某點轉變了影象的凹凸性，這就是一個拐點。
如果凹函式（也就是向上開口的）有一個「底」，在底的任意點就是它的極小值。如果凸函式有一個「頂點」，那麼那個頂點就是函式的極大值。
如果f(x)是二次可微的，那麼f(x)就是凹的當且僅當f''(x)是非正值。如果二階導數是負值的話它就是嚴謹凹函式，但相反而言又不一定正確。
3樓：北極雪
設函式f(x)在區間i上定義，若對i中的任意兩點x1和x2,和任意λ∈(0,1)，都有
f(λx1+(1-λ)x2)<=λf(x1)+(1-λ)f(x2),則稱f為i上的凹函式.
若不等號嚴格成立，即「<」號成立，則稱f(x)在i上是嚴格凹函式。
4樓：7zone射手
一階導數是斜率，二階導數判斷凹凸性
也就是說，二階導數，是描述斜率增長快慢的
從形狀上可以區分函式的凹凸性質
二階導數大於0，凹函式
二階導數小於0，凸函式
5樓：晴天娃娃愛流淚
凸函式的定義
假設f(x)在[a,b]上連續，若對於任意的x1,x2∈[a,b]，恆有
f[(x1+x2)/2]≥[f(x1)+f(x2)]/2，則稱f(x)在[a,b]上是凸函式
凹函式的定義
假設f(x)在[a,b]上連續，若對於任意的x1,x2∈[a,b]，恆有
f[(x1+x2)/2]≤[f(x1)+f(x2)]/2，則稱f(x)在[a,b]上是凹函式
6樓：匿名使用者
所謂凹函式和凸函式，可以這樣想，
函式上取兩個點，這兩個點之間的直線段，在函式曲線之上，說明函式是凹的。兩點之間的直線段，在函式曲線之下，說明函式的是凸的。
因為直線段是直的。所以曲線在這個直的線段之上，就說明向上凸。曲線在這個直的線段之下，就說明向下凹。
7樓：zcc鬥筆
大學如果學數學專業，會有一門課叫數學分析。裡面會有介紹，相信我，跟你高中學的凹凸函式不一樣
8樓：小強海賊
函式上取兩個點，這兩個點之間的直線段，在函式曲線之上，說明函式是凸的。兩點之間的直線段，在函式曲線之下，說明函式的是凹的。
凸函式和凹函式的性質各是什麼？
9樓：摩天輪打烊了
lovesword1987的是 答非所問!
比如:設x1,x2,x3,...,xn>0,求證:
1/n *(1/x1 + 1/x2 + ...1/xn)≥n/(x1+x2+...+xn)
那麼凹函式的性質[f(x1)+f(x2)+……+f(xn)]/n≥f[(x1+x2+……+xn)/n],可就用上了!
凸函式和凹函式的性質各是什麼？匿名的你不是已經寫了一個凸函式的了嗎?
可能你是問凸函式和凹函式的定義?那麼,一種簡單容易的是
凸函式；x1,x2在其定義域上有，f(x1)+f(x2)f(x1+x2/2)
不易明白的是
若f(x)在(a,b)有定義，在定義域內取x1,x2，非負數q1,q2，q1+q2=1
有f(q1x1+q2x2)<=q1f(x1)+q2f(x2)
則f(x)在(a,b)內下凸，為凸函式。
10樓：匿名使用者
凹函式2階導數大於0~凸的<0~
11樓：段幹桂枝莫媚
比如:設x1,x2,x3,...,xn>0,求證:
1/n*(1/x1
+1/x2
+...1/xn)≥n/(x1+x2+...+xn)那麼凹函式的性質[f(x1)+f(x2)+……+f(xn)]/n≥f[(x1+x2+……+xn)/n],可就用上了!
因為f(x)=1/x
,就是凹函式.
另一個凸函式的
[f(x1)+f(x2)+……+f(xn)]/n≤f[(x1+x2+……+xn)/n]
12樓：陳榮花須俏
凸導數的增減性:單調遞減
凹導數的增減性:單調遞增
即若f(x)在(a,b)有定義，在定義域內取x1,x2，非負數q1,q2，q1+q2=1
有f(q1x1+q2x2)<=q1f(x1)+q2f(x2)則f(x)在(a,b)內下凸，為凸函式。
否則相反
經濟學中函式的凹凸性為什麼和數學中的凹凸性不一樣啊？
13樓：解智先
但高等數學從來沒bai有引入過凹函式
du、凸函式的概念zhi
，在高等數學裡dao只有曲線的凹凸，沒有內函式的凹凸，容學習高等數學的人關於凸函式的概念純粹是自己的牽強附會，不是從書上學來的！
在凸函式理論裡，凸函式是以二階導數大於0定義的，一般數學分析教材上也是這樣定義的，例如華東師範大學的《數學分析》，你的經濟學中關於凸函式的定義與數學裡關於凸函式的定義是一致的。
14樓：斐冬刑浩宕
關於曲線bai凹、凸的描述，說du法實在太多了，有凹、凸、上zhi凹dao、向上凹，下凹，向下版凹，上凸、向上權
凸，下凸，向下凸，……，等等等等，至於它們表達的到底什麼形狀的曲線，需要看那本書上的定義，不能憑自己從字面意思去的想象。
為了簡單，沒有必要在這樣的問題上耗費精力，高等數學教材大多采用比較簡單的說法，例如同濟教材把二階導數在某區間大於0的曲線稱為在該區間凹，把二階導數在某區間小於0的曲線稱為在該區間凸，而廢棄了其它各種說法，這無疑是有益於學習者的。
但高等數學從來沒有引入過凹函式、凸函式的概念，在高等數學裡只有曲線的凹凸，沒有函式的凹凸，學習高等數學的人關於凸函式的概念純粹是自己的牽強附會，不是從書上學來的！
在凸函式理論裡，凸函式是以二階導數大於0定義的，一般數學分析教材上也是這樣定義的，例如華東師範大學的《數學分析》，你的經濟學中關於凸函式的定義與數學裡關於凸函式的定義是一致的。
凹函式和凸函式的定義到底是什麼？
15樓：喵喵喵啊
凹函式是一個定義在某個向量空間的凸集c（區間）上的實值函式f。設f為定義在區間i上的函式，若對i上的任意兩點x1凸函式是數學函式的一類特徵。凸函式就是一個定義在某個向量空間的凸子集c（區間）上的實值函式。
凸函式是指一類定義在實線性空間上的函式。
擴充套件資料
每一個在內取值的線性變換都是凸函式，但不是嚴格凸函式，因為如果f是線性函式，那麼f(a + b) = f(a) + f(b）。如果我們把「凸」換為「凹」，那麼該命題也成立。
每一個在內取值的仿射變換，也就是說，每一個形如f(x) = atx + b的函式，既是凸函式又是凹函式。
每一個範數都是凸函式，這是由於三角不等式。
如果f是凸函式，那麼當t > 0時，g(x,t) = tf(x / t）是凸函式。
單調遞增但非凸的函式包括和g(x) = log(x）。
非單調遞增的凸函式包括h(x) = x2和k(x) = − x。
函式f(x) = 1/x2，f(0)=+∞，在區間（0,+∞）內是凸函式，在區間（-∞，0）內也是凸函式，但是在區間（-∞，+∞）內不是凸函式，這是由於x = 0處的奇點。
16樓：西域牛仔王
這幾個定義等價，應該結合具體函式來記憶。
如 f(x)＝x²，影象上任意兩點的連線都在這兩點之間影象的上方，因此是凹函式(又叫下凸函式)。
同理 f(x)＝ - x² 是凸函式。
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