1樓：左手的紅繩
本質是任意角的集合與一個比值的集合的變數之間的對映。通常的三角函式是在平面直角座標系中定義的，其定義域為整個實數域。另一種定義是在直角三角形中，但並不完全。
現代數學把它們描述成無窮數列的極限和微分方程的解，將其定義擴充套件到複數系。它包含六種基本函式：正弦、餘弦、正切、餘切、正割、餘割。
由於三角函式的週期性，它並不具有單值函式意義上的反函式。三角函式在複數中有較為重要的應用。在物理學中，三角函式也是常用的工具。
銳角三角函式定義 如下圖的三點a、b、c的連線，ab、ac、bc，構成一個直角三角形，其中∠acb為直角。對於ab與ac的夾角∠bac而言：
rt△abc
對邊（opposite）a=bc
斜邊（hypotenuse）h=ab
鄰邊（adjacent）b=ac
基本函式英文縮寫表示式語言描述正弦函式sinesina/h∠a的對邊比斜邊餘弦函式cosinecosb/h∠a的鄰邊比斜邊 正切函式tangenttana/b∠a的對邊比鄰邊餘切函式cotangentcotb/a∠a的鄰邊比對邊正割函式secantsech/b∠a的斜邊比鄰邊餘割函式cosecantcsch/a∠a的斜邊比對邊 (注：tan、cot曾被寫作tg、ctg，現已不用這種寫法。)
罕見三角函式
除了上述六個常見的函式，還有一些不常見的三角函式：
versin
函式名與常見函式轉化關係正矢函式versinθ=2-cosθvercosinθ=2+cosθ餘矢函式coversinθ=2-sinθcovercosinθ=2+sinθ半正矢函式haversinθ=(2-cosθ)/3havercosinθ=(2+cosθ)/3半餘矢函式hacoversinθ=(1-sinθ)/2hacovercosinθ=(1+sinθ)/2外正割函式exsecθ=secθ-1外餘割函式excscθ=cscθ-1
任意角三角函式定義
如圖：在平面直角座標系中設o-x為任意角α的始邊，在角α終邊上任取一點p（x，y），令op=r.
三角函式
sinα=y/r secα=r/x
cosα=x/r cscα=r/y
tanα=y/x cotα=x/y
單位圓定義
六個三角函式也可以依據半徑為1中心為原點的單位圓來定義。單位圓定義在實際計算上沒有大的價值；實際上對多數角它都依賴於直角三角形。但是單位圓定義的確允許三角函式對所有正數和負數輻角都有定義，而不只是對於在 0 和 π/2 弧度之間的角。
它也提供了一個影象，把所有重要的三角函式都包含了。根據勾股定理，
三角函式
單位圓的方程是：x^2+y^2=1
影象中給出了用弧度度量的一些常見的角。逆時針方向的度量是正角，而順時針的度量是負角。設一個過原點的線，同 x軸正半部分得到一個角 θ，並與單位圓相交。
這個交點的 x和 y座標分別等於cosθ和sinθ。影象中的三角形確保了這個公式；半徑等於斜邊且長度為1，所以有 sinθ= y/1 和 cosθ= x/1。單位圓可以被視為是通過改變鄰邊和對邊的長度，但保持斜邊等於 1的一種檢視無限個三角形的方式。
對於大於 2π 或小於等於2π 的角度，可直接繼續繞單位圓旋轉。在這種方式下，正弦和餘弦變成了週期為 2π的周期函式：對於任何角度 θ和任何整數k。
周期函式的最小正週期叫做這個函式的「基本週期」。正弦、餘弦、正割或餘割的基本週期是全圓，也就是 2π 弧度或 360°；正切或餘切的基本週期是半圓，也就是 π 弧度或 180°。上面只有正弦和餘弦是直接使用單位圓定義的，其他四個三角函式的定義如圖所示。
在正切函式的影象中，在角 kπ 附近變化緩慢，而在接近角 (k+ 1/2)π 的時候變化迅速。正切函式的影象在 θ = (k+ 1/2)π 有垂直漸近線。這是因為在 θ 從左側接進 (k+ 1/2)π 的時候函式接近正無窮，而從右側接近 (k+ 1/2)π 的時候函式接近負無窮。
三角函式
另一方面，所有基本三角函式都可依據中心為 o的單位圓來定義，類似於歷史上使用的幾何定義。特別 是，對於這個圓的弦ab，這裡的 θ 是對向角的一半，sin θ是 ac（半弦），這是印度的阿耶波多介入的定義。cosθ 是水平距離 oc，versin θ=1-cosθ是cd。
tanθ是通過 a的切線的線段ae的長度，所以這個函式才叫正切。cotθ是另一個切線段 af。 secθ=oe和 cscθ=of是割線（與圓相交於兩點）的線段，所以可以看作 oa沿著 a 的切線分別向水平和垂直軸的投影。
de是 exsecθ= secθ-1（正割在圓外的部分）。通過這些構造，容易看出正割和正切函式在 θ 接近 π/2的時候發散，而餘割和餘切在 θ 接近零的時候發散。
級數定義
只使用幾何和極限的性質，可以證明正弦的導數是餘弦，餘弦的導數是負的正弦。（在微積分中，所有角度都以弧度來度量）。我們可以接著使用泰勒級數的理論來證明下列恆等式對於所有實數x都成立：
這些恆等式經常被用做正弦和餘弦函式的定義。它們經常被用做三角函式的嚴格處理和應用的起點（比如，在傅立葉級數中），因為無窮級數的理論可從實數系的基礎上發展而來，不需要任何幾何方面的考慮。這樣，這些函式的可微性和連續性便可以單獨從級數定義來確立。
其他級數可見於：
注：un是n次上/下數，
bn是n次伯努利數，
三角函式線
依據單位圓定義，我們可以做三個有向線段（向量）來表示正弦、餘弦、正切的值。
如圖所示，圓o是一個單位圓，p是α的終邊與單位圓上的交點，m點是p在x軸的投影，s(1,0)是圓o與x軸正半軸的交點，過s點做圓o的切線l。
那麼向量mp對應的就是α的正弦值，向量om對應的就是餘弦值。op的延長線（或反向延長線）與l的交點為t，則向量st對應的就是正切值。向量的起止點不能顛倒，因為其方向是有意義的。
藉助線三角函式線，我們可以觀察到第二象限角α的正弦值為正，餘弦值為負，正切值為負。
1．銳角三角函式定義
銳角角a的正弦（sin），餘弦（cos）和正切（tan），餘切（cot）以及正割（sec），（餘割csc）都叫做角a的銳角三角函式。
正弦（sin）等於對邊比斜邊；
餘弦（cos）等於鄰邊比斜邊；
正切（tan）等於對邊比鄰邊；
餘切（cot）等於鄰邊比對邊；
正割（sec)等於斜邊比鄰邊；
餘割(csc)等於斜邊比對邊。
2．互餘角的三角函式關係
sin(90°-α)=cosα， cos(90°-α)=sinα,
tan(90°-α)=cotα， cot(90°-α)=tanα。
3．同角三角函式間的關係
商數關係：
sina/cosa=tana
·平方關係：
sin^2(a)+cos^2(a)=1
·積的關係：
sina=tana·cosa
cosa=cota·sina
cota=cosa·csca
tana·cota=1
·倒數關係：
直角三角形abc中
角a的正弦值就等於角a的對邊比斜邊，
餘弦等於角a的鄰邊比斜邊
正切等於對邊比鄰邊,
餘切等於鄰邊比對邊
4.三角函式值
（1）特殊角三角函式值
（2）0°～90°的任意角的三角函式值，查三角函式表
（3）銳角三角函式值的變化情況
（i）銳角三角函式值都是正值
（ii）當角度在0°～90°間變化時，
正弦值隨著角度的增大（或減小）而增大（或減小）
餘弦值隨著角度的增大（或減小）而減小（或增大）
正切值隨著角度的增大（或減小）而增大（或減小）
餘切值隨著角度的增大（或減小）而減小（或增大）
（iii）當角度在0°≤∠a≤90°間變化時，
0≤sinα≤1, 1≥cosa≥0
當角度在0°<∠a<90°間變化時，
tana>0, cota>0
特殊的三角函式值
a 0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°a弧度0π/6π/4π/3π/22π/33π/45π/6π3π/2sina01/2√2/2√3/21√3/2√2/21/20-1cosa1√3/2√2/21/20-1/2-√2/2-√3/2-10tana0√3/31√3none-√3-1-√3/30nonecotanone√31√3/30-√3/3-1-√3none0a15°75°a弧度π/125π/12sina(√6-√2)/4(√6+√2)/4cosa(√6+√2)/4(√6-√2)/4tana2-√32+√3cota2+√32-√3「銳角三角函式」屬於三角學，是《數學課程標準》中「空間與圖形」領域的重要內容。從《數學課程標準》看，中學數學把三角學內容分成兩個部分，第一部分放在義務教育第三學段，第二部分放在高中階段。在義務教育第三學段，主要研究銳角三角函式和解直角三角形的內容，本套教科書安排了一章的內容，就是本章「銳角三角函式」。
在高中階段的三角內容是三角學的主體部分，包括解斜三角形、三角函式、反三角函式和簡單的三角方程。無論是從內容上看，還是從思考問題的方法上看，前一部分都是後一部分的重要基礎，掌握銳角三角函式的概念和解直角三角形的方法，是學習三角函式和解斜三角形的重要準備。
怎樣學好三角函式？公式怎麼背，數學 三角函式的公式怎麼背啊，有什麼技巧麼
如何學好三角函式 本章教學目標1.1 任意角的概念以及弧度制.正確表示象限角 區間角 終邊相同的角，熟練地進行角度制與弧度制的換算.2 任意角的三角函式定義，三角函式的符號變化規律，三角函式線的意義.2.1 同角三角函式的基本關係和誘導公式.2 已知三角函式值求角.3.函式y sinx y cosx...
什麼是三角函式的性質，三角函式的性質是什麼？
從影象 定義域 值域 奇偶性 最小正週期 單調區間等等來了解。課本應該有 同角三角函式間的基本關係式 平方關係 sin 2 cos 2 1 tan 2 1 sec 2 cot 2 1 csc 2 商的關係 tan sin cos cot cos sin 倒數關係 tan cot 1 sin csc ...
同角三角函式的基本關係是啥，同角三角函式關係式有哪些？
三類 一 同角三角函式的基本關係 sin 2 cos 2 1 tan cot sin csc cos sec 1 sec 2 tan 2 csc 2 cos 2 1 二 誘導公式，在360 內的變換 角度制 取值sin cos tan sin cos tan sin cos tan 180 sin ...