1樓:匿名使用者
可以基本認為這兩個是一回事的吧
給求導之後得到的式子
再乘以dx這麼個微分符號
得到的就是微分結果
公式當然是一樣的
微分和導數是什麼關係?
2樓:匿名使用者
一元函式中可導與可微等價。導數是函式影象在某一點處的斜率,是縱座標增量(δy)和橫座標增量(δx)在δx-->0時的比值。
微分的定義:由函式b=f(a),得到a、b兩個數集,在a中當dx靠近自己時,函式在dx處的極限叫作函式在dx處的微分,微分的中心思想是無窮分割。微分是函式改變數的線性主要部分。
微積分的基本概念之一。
擴充套件資料
微分概念在整個微積分體系中佔有重要地位。理解微分概念是微積分教育的重要環節。在歷史上,微分的定義經歷了很長時間的發展。
牛頓、萊布尼茲是微積分的主要建立人,他們的微積分可以稱為第一代微積分,第一代微積分的方法是沒有問題的,而且獲得了巨大的成功,但是對微分的定義(即微分的本質到底是什麼)的說明不夠清楚。
以柯西、維爾斯特拉斯等為代表的數學家在極限理論的基礎上建立了微積分原理,可以稱之為第二代微積分,並構成當前教學中微積分教材的主要內容。
第二代微積分與第一代微積分在具體計算方法上基本相同,第二代微積分表面上解決了微分定義的說明,但是概念和推理繁瑣迂迴。
3樓:518姚峰峰
(1)起源(定義)不同:導數起源是函式值隨自變數增量的變化率,即△y/△x的極限.微分起源於微量分析,如△y可分解成a△x與o(△x)兩部分之和,其線性主部稱微分.
當△x很小時,△y的數值大小主要由微分a△x決定,而o(△x)對其大小的影響是很小的.
(2)幾何意義不同:導數的值是該點處切線的斜率,微分的值是沿切線方向上縱座標的增量,而△y則是沿曲線方向上縱座標的增量.可參考任何一本教材的圖形理解.
(3)聯絡:導數是微分之商(微商)y' =dy/dx,微分dy=f'(x)dx,這裡公式本身也體現了它們的區別.
(4)關係:對一元函式而言,可導必可微,可微必可導.
4樓:戲映煙元英
這兩者是不同的,粗略來看很多人會認為這兩者是一樣的,但是其數學含義是不同的,而且嚴格說兩者不是相等的關係。
從數學符號的意義上來說,dy與δy是不同的,dx與δx也是不同的。一般地,δ~代表做「差(分)」運算之後的結果,是一個具體精確的表達。而d~代表做「微分」運算後的結果,裡面包含有取某種極限之後的結果,是更抽象的表達。
差分僅僅是直觀的減法運算,而微分則包含有更為深刻的極限思想在裡面。甚至也可以把微分認為是差分的極限。
我們定義函式y=f(x)
δy=aδx+o(δx)來自於差分表示式:δy=y1-y0=f(x1)-f(x0),其中x1-x0=δx.
右邊f(x1)-f(x0)相當於做了一個一階(如果你學過taylor,可以聯絡起來考慮),得到線性部分aδx和殘差項o(δx),o(δx)指的是δx的高階無窮小:如果δx是一個具體的數,那麼o(δx)就是一個具體的數;如果δx趨向於零,那麼o(δx)比δx「更快地」趨向於零。a是一個與x0有關而與δx無關的量。
dy=f(x)dx就是把之前式子裡δx的高階無窮小o(δx)拿掉不考慮,但是這裡捨棄的o(δx)並不是等於零的,而且一個關於δx的函式,比如當取δx收斂到零的極限時就有limo(δx)=0。所以你可以把dy=f(x)dx看作是δy=aδx+o(δx)取某種極限後的結果。
形式上我們可以定義dy=f(x)dx為一個微分表示式,是一個相對抽象的結果。但其實質是由具體的差分形式δy=y1-y0=f(x1)-f(x0)演化而來的。或者說dy是δy在某種極限意義下的近似。
這裡相等的只有一階係數a與導數f(x),注意把上面固定的x0看做x即可。
5樓:
曲線某點的導數就是該點切線的斜率, 微分:也就是把函式分成無限小的部分,當曲線無限的被縮小後,可以近似當作直線對待,微分也就能表示為導數與dx的乘積 定積分就是求曲線與x軸所夾的面積;不定積分就是該面積滿足的方程式 ,因此後者是求定積分...
微分,積分和導數是什麼關係
6樓:_深__藍
導數是函式影象在某一點處的斜率,是縱座標增量(δy)和橫座標增量(δx)在δx-->0時的比值。而微分是指函式影象在某一點處的切線在橫座標取得增量δx以後,縱座標取得的增量,一般表示為dy。
積分是微分的逆運算,即知道了函式的導函式,反求原函式。積分被大量應用於求和,通俗的說是求曲邊三角形的面積,這巧妙的求解方法是積分特殊的性質決定的。一個函式的不定積分(亦稱原函式)指另一族函式,這一族函式的導函式恰為前一函式。
微分,積分,導數推導過程:
設函式y = f(x)在x的鄰域內有定義,x及x + δx在此區間內。如果函式的增量δy = f(x + δx) - f(x)可表示為 δy = aδx + o(δx)(其中a是不不隨δx改變的常量,但a可以隨x改變),而o(δx)是比δx高階的無窮小。
那麼稱函式f(x)在點x是可微的,且aδx稱作函式在點x相應於因變數增量δy的微分,記作dy,即dy = aδx。函式的微分是函式增量的主要部分,且是δx的線性函式,故說函式的微分是函式增量的線性主部(△x→0)。
設函式y = f(x)在某區間內有定義,x0及x0+△x在這區間內,若函式的增量δy = f(x0 + δx) − f(x0)可表示為δy = aδx + o(δx),其中a是不依賴於△x的常數, o(δx)是△x的高階無窮小,則稱函式y = f(x)在點x0是可微的。 aδx叫做函式在點x0相應於自變數增量△x的微分。
7樓:匿名使用者
簡單的理解,導數和微分在書寫的形式有些區別,如y'=f(x),則為導數,書寫成dy=f(x)dx,則為微分。積分是求原函式,可以形象理解為是函式導數的逆運算。
通常把自變數x的增量 δx稱為自變數的微分,記作dx,即dx = δx。於是函式y = f(x)的微分又可記作dy = f'(x)dx,而其導數則為:y'=f'(x)。
設f(x)為函式f(x)的一個原函式,我們把函式f(x)的所有原函式f(x)+c(c為任意常數),叫做函式f(x)的不定積分,數學表示式為:若f'(x)=g(x),則有∫g(x)dx=f(x)+c。
8樓:北極雪
1、歷史發展不同:微分的歷史比積分悠久。希臘時期,人類討論「無窮」、「極限」以及「無窮分割」等概念是微分的**基礎。
而積分是由德國數學家波恩哈德·黎曼於19世紀提出的概念。黎曼的定義運用了極限的概念,把曲邊梯形設想為一系列矩形組合的極限。2、數學表達不同:
微分:導數和微分在書寫的形式有些區別,如y'=f(x),則為導數,書寫成dy=f(x)dx,則為微分。積分:
設f(x)為函式f(x)的一個原函式,我們把函式f(x)的所有原函式f(x)+c(c為任意常數),叫做函式f(x)的不定積分,數學表示式為:若f'(x)=g(x),則有∫g(x)dx=f(x)+c。3、幾何意義不同:
微分:設δx是曲線y = f(x)上的點m的在橫座標上的增量,δy是曲線在點m對應δx在縱座標上的增量,dy是曲線在點m的切線對應δx在縱座標上的增量。幾何意義是將線段無線縮小來近似代替曲線段。
積分:實際操作中可以用粗略的方式進行估算一些未知量,但隨著科技的發展,很多時候需要知道精確的數值。要求簡單幾何形體的面積或體積,可以套用已知的公式。
比如一個長方體狀的游泳池的容積可以用長×寬×高求出。4、實際應用不同:微分和積分是相反的一對運算。
微分是求變化率,積分是求變化總量。比如,求加速度,就是用微分,即對速度進行求導,如果是求路程,就是對速度在某個時間段內進行積分。
9樓:燦燦
導數是函式切線的斜率,微分是函式的切線的函式,然後積分就是原來的函式。
求導是方法是原理,可以有很多種實現方法,也即每個地方可以有不同的斜率,是一堆斜率集。 微分是具體加工,就是對某一處進行例項化,是具體某一個斜率結果。 積分是傢俱部件相當於斜率的切點,這一堆切點就組成回原來的函式即是傢俱。
10樓:匿名使用者
導數:如果是在某點處
的導數的話,那導數有幾何意思,那就是在該點處的切線的斜率。如果是函式和導數,就是因變數y對自變數x的變化率。結合後面的微分知識知道,導數其實是微商,即因變數的增量與自變數的增量的比值的極限,寫成公式就是f'(x)=dy/dx,
微分:如果函式在某點處的增量可以表示成
△y=a△x+o(△x) (o(△x)是△x的高階無窮小)
且a是一個與△x無關的常數的話,那麼這個a△x就叫做函式在這點處的微分,用dy表示,即dy=a△x
△y=a△x+o(△x),兩邊同除△x有
△y/△x=a+o(△x)/△x,再取△x趨於0的極限有
lim△y/△x=lim[a+o(△x)/△x]=lima+lim[o(△x)/△x]=a+0
f'(x)=lim△y/△x=a
所以這裡就揭示出了,導數與微分之間的關係了,
某點處的微分:dy=f'(x)△x
通常我們又把△x叫自變數的微分,用dx表示 所以就有
dy=f'(x)dx.證明出了微分與導數的關係
正因為f'(x)=dy/dx,所以導數也叫做微商(兩個微分的商)
不定積分:求積分的過程,與求導的過程正好是逆過程,好加與減,乘與除的關係差不多。求一個函式f(x)的不定積分,就是要求出一個原函式f(x),使得f'(x)=f(x),
而f(x)+c(c為任意常數)就是不定積分∫f'(x)dx的所有原函式,
不定積分其實就是這個表示式:∫f'(x)dx
定積分與不定積分的區別是,定積分有上下限,∫(a,b)f'(x)dx
而不定積分是沒有上下限的,因而不定積分的結果往往是個函式,定積分的結果則是個常數,這點對解積分方程有一定的幫助。
11樓:門板
微積分的發展歷史,先有積分後有導數,最後才有極限
用導數定義求導和用微分法導數公式求導的區別和聯絡
12樓:絕味薯片
對於一元函式,求導和微分是等價的
而對於多元函式這個性質不成立,因為多元函式求導是對各個元的偏導,而微分是對所有元的全微分
微分和導數是什麼關係導數和微分的區別？
一元函式中可導與可微等價。導數是函式影象在某一點處的斜率，是縱座標增量 y 和橫座標增量 x 在 x 0時的比值。微分的定義 由函式b f a 得到a b兩個數集，在a中當dx靠近自己時，函式在dx處的極限叫作函式在dx處的微分，微分的中心思想是無窮分割。微分是函式改變數的線性主要部分。微積分的基本...
導數和微分深層次本質關係是什麼,微分和導數是什麼關係？
對於一元函式下的微分，由 y a x 0 x 記得dy a x,a即為其相對應的導。對於函式f x 在某點處可導是其可微的充要條件。也可以說導數是相應函式微分dy與自變數微分dx的商。所以導數又稱微商。而對於兩者的幾何意義而言，導數是函式在過相應點切線的斜率，而相應微分就是這條切線縱座標的改變數。導...
微分和導數之間為什麼相等？他們有什麼關係？為什麼這個式子的l xl趨於零的時候有下面那個式子存在
微分和導數之間並不相等 他們之間的關係是變數與比 值的關係 如果兩個變數x和y的微分dx和dy成比例關係 dx kdy那麼我們就把這個比例數k叫做x對y的導數 那麼微分又是什麼呢？微分dx是對變數x的一種運算 具體地說就是變數由x變到x 的差值 x x x當這個差值足夠小，達到某種穩定狀態 見後述 ...