1樓：董骷髏
n階幻方的填法(n≥3) 收藏
幻方，亦稱縱橫圖。臺灣稱為魔術方陣。將自然數1，2，3，……n*n排列成一個n*n方陣，使得每行、每列以及兩對角線上的各個數之和都相等，等於n/2*(n*n+1)，這樣的方陣稱為幻方。
例如：把1，2，3，4，5，6，7，8，9填入3*3的格子，使得：每行、每列、兩條對角線的和是15。
8 1 6
3 5 7
4 9 2
n是它的階數，比如上面的幻方是3階。n/2*(n*n+1)為幻方的變幻常數。數學上已經證明，對於n>2，n階幻方都存在。
目前填寫幻方的方法，是把幻方分成了三類，每類又有各種各樣的填寫方法。這裡對於這三類幻方，僅舉出一種方便手工填寫的方法。
1、奇數階幻方
n為奇數 (n=3，5，7，9，11……) (n=2*k+1，k=1，2，3，4，5……)
奇數階幻方最經典的填法是羅伯特法(也有人稱之為樓梯方)。填寫方法是這樣：
把1(或最小的數)放在第一行正中； 按以下規律排列剩下的n*n-1個數：
(1)、每一個數放在前一個數的右上一格；
(2)、如果這個數所要放的格已經超出了頂行那麼就把它放在底行，仍然要放在右一列；
(3)、如果這個數所要放的格已經超出了最右列那麼就把它放在最左列，仍然要放在上一行；
(4)、如果這個數所要放的格已經超出了頂行且超出了最右列，那麼就把它放在前一個數的下一行同一列的格內；
(5)、如果這個數所要放的格已經有數填入，處理方法同(4)。
這種寫法總是先向「右上」的方向，象是在爬樓梯。
2、雙偶階幻方
n為偶數，且能被4整除 (n=4，8，12，16，20……) (n=4k，k=1，2，3，4，5……)
先說明一個定義：
互補：如果兩個數字的和，等於幻方最大數和最小數的和，即 n*n+1，稱為互補。
先看看4階幻方的填法：將數字從左到右、從上到下按順序填寫：
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15 16
這個方陣的對角線，已經用藍色標出。將對角線上的數字，換成與它互補的數字。
這裡，n*n+1 = 4*4+1 = 17；
把1換成17-1 = 16；把6換成17-6 = 11；把11換成17-11 = 6……換完後就是一個四階幻方。
16 2 3 13
5 11 10 8
9 7 6 12
4 14 15 1
對於n=4k階幻方，我們先把數字按順序填寫。寫好後，按4*4把它劃分成k*k個方陣。因為n是4的倍數，一定能用4*4的小方陣分割。
然後把每個小方陣的對角線，象製作4階幻方的方法一樣，對角線上的數字換成互補的數字，就構成幻方。 下面是8階幻方的作法：
(1) 先把數字按順序填。然後，按4*4把它分割成2*2個小方陣
1 2 3 4 5 6 7 8
9 10 11 12 13 14 15 16
17 18 19 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29 30 31 32
33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48
49 50 51 52 53 54 55 56
57 58 59 60 61 62 63 64
(2) 每個小方陣對角線上的數字，換成和它互補的數。
64 2 3 61 60 6 7 57
9 55 54 12 13 51 50 16
17 47 46 20 21 43 42 24
40 26 27 37 36 30 31 33
32 34 35 29 28 38 39 25
41 23 22 44 45 19 18 48
49 15 14 52 53 11 10 56
8 58 59 5 4 62 63 1
3、單偶階幻方
n為偶數，且不能被4整除 (n=6，10，14，18，22……) (n=4k+2，k=1，2，3，4，5……)
這是三種裡面最複雜的幻方。
以n=10為例。這時，k=2
(1) 把方陣分為a，b，c，d四個象限，這樣每一個象限肯定是奇數階。用樓梯法，依次在a象限，d象限，b象限，c象限按奇數階幻方的填法填數。
a b
c d
17 24 1 8 15 67 74 51 58 65
23 5 7 14 16 73 55 57 64 66
4 6 13 20 22 54 56 63 70 72
10 12 19 21 3 60 62 69 71 53
11 18 25 2 9 61 68 75 52 59
92 99 76 83 90 42 49 26 33 40
98 80 82 89 91 48 30 32 39 41
79 81 88 95 97 29 31 38 45 47
85 87 94 96 78 35 37 44 46 28
86 93 100 77 84 36 43 50 27 34
(2) 在a象限的中間行、中間格開始，按自左向右的方向，標出k格。a象限的其它行則標出最左邊的k格。
>>>17 24 1 8 15 67 74 51 58 65
23 5 7 14 16 73 55 57 64 66
4 6 13 20 22 54 56 63 70 72
10 12 19 21 3 60 62 69 71 53
11 18 25 2 9 61 68 75 52 59
92 99 76 83 90 42 49 26 33 40
98 80 82 89 91 48 30 32 39 41
79 81 88 95 97 29 31 38 45 47
85 87 94 96 78 35 37 44 46 28
86 93 100 77 84 36 43 50 27 34
(3) 將這些格，和c象限相對位置上的數，互換位置。
92 99 1 8 15 67 74 51 58 65
98 80 7 14 16 73 55 57 64 66
4 6 88 95 22 54 56 63 70 72
85 87 19 21 3 60 62 69 71 53
86 93 25 2 9 61 68 75 52 59
17 24 76 83 90 42 49 26 33 40
23 5 82 89 91 48 30 32 39 41
79 81 13 20 97 29 31 38 45 47
10 12 94 96 78 35 37 44 46 28
11 18 100 77 84 36 43 50 27 34
(4) 在b象限任一行的中間格，自右向左，標出k-1列。(注：6階幻方由於k-1=0所以不用再作b、d象限的資料交換)
<<<92 99 1 8 15 67 74 51 58 65
98 80 7 14 16 73 55 57 64 66
4 6 88 95 22 54 56 63 70 72
85 87 19 21 3 60 62 69 71 53
86 93 25 2 9 61 68 75 52 59
17 24 76 83 90 42 49 26 33 40
23 5 82 89 91 48 30 32 39 41
79 81 13 20 97 29 31 38 45 47
10 12 94 96 78 35 37 44 46 28
11 18 100 77 84 36 43 50 27 34
(5) 將b象限標出的這些數，和d象限相對位置上的數進行交換，即可完成。
92 99 1 8 15 67 74 26 58 65
98 80 7 14 16 73 55 32 64 66
4 6 88 95 22 54 56 38 70 72
85 87 19 21 3 60 62 44 71 53
86 93 25 2 9 61 68 50 52 59
17 24 76 83 90 42 49 51 33 40
23 5 82 89 91 48 30 57 39 41
79 81 13 20 97 29 31 63 45 47
10 12 94 96 78 35 37 69 46 28
11 18 100 77 84 36 43 75 27 34
2樓：童真白馬
是一個八階幻方，採用馬步走法構造出來的，挺不錯的。
01 48 31 50 33 16 63 1830 51 46 03 62 19 14 3547 02 49 32 15 34 17 6452 29 04 45 20 61 36 1305 44 25 56 09 40 21 6028 53 08 41 24 57 12 3743 06 55 26 39 10 59 2254 27 42 07 58 23 38 11其實還有一種叫法就是尤拉方陣。例如下面的正交拉丁方陣：
4 1 3 2
2 3 1 4
1 4 2 3
3 2 4 1
這種方陣的特點是每行每列對角線都不出現重複。
不知道還有什麼需要補充的嗎？期待。
3樓：匿名使用者
三十六軍官問題,尤拉在晚年時一直牽掛的問題,但他沒有解決
幻方和數陣有什麼區別?幻方和數獨有什麼區別？
4樓：童真白馬
主要是概念上和數字構成上的區別：
（1）幻方和數陣有什麼區別?
幻方：在一個由若干個排列整齊的陣列成的正方形中，圖中任意一橫行、一縱行及對角線的幾個數之和都相等
數陣：數陣是由幻方演化出來的另一種數字圖。幻方一般均為正方形。
圖中縱、橫、對角線數字和相等。數陣則不僅有正方形、長方形，還有三角形、圓、多邊形、星形、花瓣形、十字形，甚至多種圖形的組合。
從上面可看出幻方和數陣既有區別也有聯絡，因為當數陣的數字邊為不等的1~n²（n≥3，且n為整數）個數時，就可以用來構成幻方。
主要區別：數字構成不同。幻方數字組成由不同的或相同的n²個數（n≥3，且n為整數）組成，而數陣一般由形狀決定。
常見的是尤拉方陣，例如4階方陣，1,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4。
組成的方陣如下：
1，2，3，4
4，3，2，1
2，1，4，3
3，4，1，2
由來：大數學家尤拉曾提出一個問題：即從不同的6個軍團各選6種不同軍階的6名軍官共36人，排成一個6行6列的方隊，使得各行各列的6名軍官恰好來自不同的軍團而且軍階各不相同，應如何排這個方隊？
如果用(1，1)表示來自第一個軍團具有第一種軍階的軍官，用(1，2)表示來自第一個軍團具有第二種軍階的軍官，用(6，6)表示來自第六個軍團具有第六種軍階的軍官，則尤拉的問題就是如何將這36個數對排成方陣，使得每行每列的數無論從第一個數看還是從第二個數看，都恰好是由1、2、3、4、5、6組成。歷史上稱這個問題為三十六軍官問題。
三十六軍官問題提出後，很長一段時間沒有得到解決，直到20世紀初才被證明這樣的方隊是排不起來的。儘管很容易將三十六軍官問題中的軍團數和軍階數推廣到一般的n的情況，而相應的滿足條件的方隊被稱為n階尤拉方。尤拉曾猜測：
對任何非負整數t，n=4t+2階尤拉方都不存在。t=1時，這就是三十六軍官問題，而t=2時，n=10，數學家們構造出了10階尤拉方，這說明尤拉猜想不對。但到2023年，數學家們徹底解決了這個問題，證明了n=4t+2(t≥2)階尤拉方都是存在的。
這種方陣在近代組合數學中稱為正交拉丁方，它在工農業生產和科學實驗方面有廣泛的應用。現已經證明，除了2階和6階以外，其它各階3，4，5，7，8，……各階正交拉丁方都是作得出來的。
（2）幻方和數獨有什麼區別？
數獨：是一種運用紙、筆進行演算的邏輯遊戲。玩家需要根據9×9盤面上的已知數字，推理出所有剩餘空格的數字，並滿足每一行、每一列、每一個粗線宮內的數字均含1-9，不重複。
每一道合格的數獨謎題都有且僅有唯一答案，推理方法也以此為基礎，任何無解或多解的題目都是不合格的。
而說到方陣就想到九宮格（三階幻方）。
拉丁方塊的規則：每一行（row）、每一列（column）均含1-n（n即盤面的規格），不重複。這與前面提到的標準數獨非常相似，但少了一個宮的規則。
所以說數獨與幻方和數陣也有聯絡；數獨起源於尤拉方陣。
主要區別：規則不同，數字構成不同。幻方數字組成由不同的或相同的（n²個數，n≥3，且n為整數）組成，要求行，列，對角線數字和相等，數獨由n×n行列，且分割成n個盤面，每個盤面的數字均為1~n，填寫的數字只要求行和列上的數字不能重複。
什麼是三階幻方
三階幻方是最簡單的幻方，是由9個數字組成的一個三行三列的矩陣，其每一行 每一列和兩條對角線的數字的和 稱為幻和值 都相等。如用1 3 5 9 11 13 17 19 21這9個數字組成的三階幻方 19 1 13 5 11 17 9 21 3 幻和值 33。最簡單的三階幻方是用1 2 3 4 5 6 ...
九階幻方和數獨有什麼區別,幻方和數陣有什麼區別幻方和數獨有什麼區別？
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unity四元數為什麼轉尤拉,unity用四元數怎麼平滑的旋轉
四元數是一個比較複雜的數學知識。為了讓開發者不需要懂太深奧的數學知識，也能操作角度。所以才有了尤拉角，只需要三個值就確定旋轉角度。但其實旋轉的內部計算方式，是通過四元數實現的。但用尤拉角操作旋轉角度，會產生一個問題，就是在特定情況下，會出現一種叫做 萬向節死鎖 的錯誤。為了避免這種錯誤產生，有時則需...