1樓：
因為a+b的列向量可以由向量組線性表示，而可以由向量組線性表示、可以由向量組線性表示。 因此，a+b的列向量可以由向量組線性表示。
（1）若αi與βj線性無關，（a,b）的極大線性無關組為αi,βj，r（a,b）=r+t。
（2）若αi也βj線性相關，則αi,βj的向量數肯定小於r+t，即r（a,b）≤r+t=r(a)+r(b)
因此，a+b列向量組中極大線性無關組的向量個數不大於α(i1),α(i2),...,α(ir),β(j1),β(j2),...,β(jt)中的向量個數，即r(a+b)≤r+t=r(a)+r(b)。
擴充套件資料
1、轉置後秩不變
2、r(a)<=min(m,n),a是m*n型矩陣
3、r(ka)=r(a),k不等於0
4、r(a)=0 <=> a=0
5、r(ab)<=min(r(a),r(b))
6、r(a)+r(b)-n<=r(ab)
7、當r(a)<=n-2時，最高階非零子式的階數<=n-2，任何n-1階子式均為零，而伴隨陣中的各元素就是n-1階子式再加上個正負號，所以伴隨陣為0矩陣。
8、當r(a)<=n-1時，最高階非零子式的階數<=n-1，所以n-1階子式有可能不為零，所以伴隨陣有可能非零（等號成立時伴隨陣必為非零）。
2樓：
證明：設，a的列向量中α(i1),α(i2),...,α(ir)是其中一個極大線性無關組；
β(j1),β(j2),...,β(jt)是b的列向量的一個極大線性無關組。
那麼，a的每一個列向量均可以由α(i1),α(i2),...,α(ir)線性表示；
b的每一個列向量均可以用β(j1),β(j2),...,β(jt)線性表示；
於是，a+b的每一個列向量α(k)+β(k)都能用α(i1),α(i2),...,α(ir),β(j1),β(j2),...,β(jt)線性表示。
因此，a+b列向量組中極大線性無關組的向量個數不大於α(i1),α(i2),...,α(ir),β(j1),β(j2),...,β(jt)中的向量個數，即r(a+b)≤r+t=r(a)+r(b)。
r(a+b)<=r(a)+r(b)是矩陣的秩的重要推論。
3樓：匿名使用者
證明方法一：
設 【αi】(i=1,2,...,r)為a的極大線性無關組，有r個向量；
【βj】(j=1,2,...,t)為b的極大線性無關組，有t個向量。
由極大線性無關組的性質可知，
【αi】與a等價，【βj】與b等價。
且r（a）=r（αi）=r，r（b）=r（βj）=t。
現在有矩陣（a，b），其秩為矩陣的極大線性無關組的向量個數。
則：（1）若【αi】與【βj】線性無關，（a,b）的極大線性無關組為【αi,βj】，r（a,b）=r+t。
（2）若【αi】也【βj】線性相關，則【αi,βj】的向量數肯定小於r+t，即r（a,b）≤r+t=r(a)+r(b)
所以：r(a，b)<=r(a)+r(b) 即r(a+b)<=r(a)+r(b)
證明方法二：（高等教育出版社《工程數學線性代數-第六版》）
4樓：老表你真好嘢
因為他們都是相加的，所以成了一個等立式，
5樓：匿名使用者
由最大線性無關組的定義可知,a和b中每一列向量都可由其線性無關組線性表出:
a(i)=s1*a(1)+s2*a(2)+.....+sp*a(p);
b(i)=t1*b(1)+t2*b(2)+....+tq*b(q);
故友a(i)+b(i)=s1*a(1)+s2*a(2)+.....+sp*a(p)+t1*b(1)+t2*b(2)+....+tq*b(q).
那麼說明a+b中的每一列向量均可由
a(1),a(2)....a(p),b(1),b(2)....b(q)線性表出,因此a+b的秩必然小於或等於a(1),a(2)....
a(p),b(1),b(2)....b(q)的秩.
6樓：匿名使用者
設a,b為m × n矩陣，對矩陣（a+b,b）作列變換可得：（a+b,b）~（a,b）
於是r（a+b）<=r(a+b,b)=r(a,b)<=r（a)+r(b)
7樓：茹翊神諭者
簡單計算一下即可，答案如圖所示
線性代數秩r(a,b)<=r（a)+r(b)為什麼。注意是（a,b）不是（a+b）
8樓：揭桂花池月
肯定的啊，這是書上的定理啊！
要證明的話，這樣做：
設a為m*n，b為a*b，（a，b）為c*d可以肯定的說c≤min（m，a）
所以r（a，b）≤min（m，a）≤r（a)+r(b
9樓：
秩是極大線性無關組所含向量個數。
取a與b各自的一個的極大線性無關組組成一個向量組，則這個向量組個數為r（a）+r（b），且可以表達a,b中的所有向量，那r（a）+r（b）就大於等於r（a,b），當這個向量組線性無關的時候取等。
矩陣裡的秩更多的是求法和一些性質，你想更多地去理解要看向量組部分裡面的線性無關相關那些知識才好理解。
線性代數中關於r(a+b)<=r(a)+r(b)的證明！
10樓：情猶月光
用a表示阿法用抄b表示貝塔:
由最襲大線性無關組的定bai義可知,a和b中每一列向量都可由du其線性無關組zhi線性表出:
a(i)=s1*a(1)+s2*a(2)+.....+sp*a(p);b(i)=t1*b(1)+t2*b(2)+....+tq*b(q);
故友daoa(i)+b(i)=s1*a(1)+s2*a(2)+.....+sp*a(p)+t1*b(1)+t2*b(2)+....+tq*b(q).那麼說明a+b中
的每一列向量均可由a(1),a(2)....a(p),b(1),b(2)....b(q)線性表出,因此a+b的秩必然小於或等於
a(1),a(2)....a(p),b(1),b(2)....b(q)的秩.
11樓：匿名使用者
這是因為a+b的列bai
向量可以由向量組
du線性zhi表示，而可以由dao向量版組線性表示、可以由向量組線性表示。權 因此，a+b的列向量可以由向量組線性表示。
為什麼r（a,b)=r(b,a)?有幾種理解方法？
12樓：麻木
因為初等列變換不改變矩陣的秩，兩個矩陣中的最高階非零子式，只是交換了一下列的關係。
設矩陣a=(aij)sxn的列秩等於a的列數n，則a的列秩，秩都等於n。
當r(a)<=n-2時，最高階非零子式的階數<=n-2，任何n-1階子式均為零，而伴隨陣中的各元素就是n-1階子式再加上個正負號，所以伴隨陣為0矩陣。
當r(a)<=n-1時，最高階非零子式的階數<=n-1，所以n-1階子式有可能不為零，所以伴隨陣有可能非零（等號成立時伴隨陣必為非零）。
線性代數關於r(ab)>=r(a)+r(b)-n的證明，最後一步，為什麼r(最後一個矩陣)>=r( 20
13樓：匿名使用者
按列來看，對
於最後一個矩陣，如果沒有en，那麼它的秩就是r(a)+r(b)有了en以後，對於各個列向量，由版於a所在的列向量組權有了en的分量以後，不管原來是否線性無關，有了en以後一定是線性無關的，因此整個矩陣的秩總不至於減小，所以就是≥r(a)+r(b)了
擴充套件資料：重要定理
每一個線性空間都有一個基。
對一個 n 行 n 列的非零矩陣 a，如果存在一個矩陣 b 使 ab = ba =e（e是單位矩陣），則 a 為非奇異矩陣（或稱可逆矩陣），b為a的逆陣。
矩陣非奇異（可逆）當且僅當它的行列式不為零。
矩陣非奇異當且僅當它代表的線性變換是個自同構。
矩陣半正定當且僅當它的每個特徵值大於或等於零。
矩陣正定當且僅當它的每個特徵值都大於零。
解線性方程組的克拉默法則。
判斷線性方程組有無非零實根的增廣矩陣和係數矩陣的關係。
14樓：匿名使用者
按列來看，對bai於最後du一個矩陣，如果沒zhi有en，那麼它的秩dao就是r(a)+r(b)
有了en以後
版，對於各個列向量，權由於a所在的列向量組有了en的分量以後，不管原來是否線性無關，有了en以後一定是線性無關的，因此整個矩陣的秩總不至於減小，所以就是≥r(a)+r(b)了
15樓：匿名使用者
考查最後一個矩陣行向量的秩即可
16樓：匿名使用者
a列向量
的一個極大無關組中每個向量加上對應的後置分量(0,0,...,0,1,0,...,0)^t，b列向量的極大無關版組每個權向量加上前置分量(0,0,...
,0)^t，這樣生成兩組新的向量組，可以證明這兩組合並起來的向量組是線性無關的。
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