1樓：魚要糧
無限集合是一類特殊的集合，有限集合是由有限個元素組成的集合。
一、無限集合它有下面幾種定義：
1、不是有限集的集合；
2、可與其真子集對等的非空集合；
3、既不是空集，又不與mn=，n∈n對等的集合。勢最小的無限集為可數集，即與自然數集n對等的無限集。
二、有限集合有兩種定義方式：
1、一個是說與自然數串的一個線段對等的集合，以及空集合，都叫做有限集合；不是有限集合的集合叫做無限集合。
2、不可與其自身的真子集對等的非空集合，以及空集，都叫做有限集合，不是有限集合的集合叫做無限集合。
2樓：肆雨的
1.有限集合
是由有限個元素組成的集合，也稱有窮集合。
由所有小於10000的質數所組成的集合都是有限集合。只含一個元素的集合是一種特殊的有限集合，叫做單元素集合，至少含有一個元素的集合叫做非空集合，不含任何元素的集合叫做空集，空集只有一個，一般用希臘字母φ(或{})來表示。在集合論中，約定空集φ為有限集合，空集是一切集合的子集。
2.無限集合
亦稱無窮集合，是一類特殊的集合，它有下面幾種定義：
不是有限集的集合；
可與其真子集對等的非空集合；
既不是空集，又不與mn=，n∈n對等的集合。
勢最小的無限集為可數集，即與自然數集n對等的無限集，可以證明：
無限集必含有可數子集；
無限集減去一有限子集仍為無限集；
任一無限集與一可數集之並與該無限集間存在雙射。
3樓：來自恭王府積極進取的海星
錯，構成雙射是可數集而不是有限集，無限集分為可數集與不可數集。
4樓：匿名使用者
定理1 任何有限集的任何子集為有限集。
定理2 任何含有無限子集的集合必定是無限集有限集裡的元素有有限個，如所有小於100的自然數。
無限集裡的元素有無限多個，如所有小於100的實數，只要無限多就行。
就是說一個集合的元素能夠和自然數集構成一個雙射，那麼，它 就是有限集；就像我們可以給一個集合b構造一個數列an，使得a1，a2.....都屬於這個集，且a1∪a2∪......=b,那麼b就是有限集，反之則是 無限集
無限集和有限集的本質區別是什麼？
5樓：匿名使用者
無限集是含有無限個元素的集合
有限集是含有有限個元素的集合
不明白的可追問
6樓：匿名使用者
根據集合
元bai素的多少，可以把集du合分為兩zhi大類：有
限集和無限集，有限dao集是指回集合元素的個數是有限個，無答限集是指集合元素的個數是無限個。當集合不含任何元素時，我們把這種集合稱為空集，空集也屬於有限集。所以說無限集和有限集的本質區別就是元素的個數的不同。
7樓：莘莘學子
有限集兩邊都有端點，無限集至少一端無窮
什麼叫有限集合、可列集和可列有限集。看了以下定義，我還不是很懂，請求解釋，謝謝。可以舉例說說明嗎？
8樓：匿名使用者
自然數集、 有理數集、 代數數集都是可列集。實數集、複數集、直線點集、 平面點集都是不可列集（或不可數集）。有限集都可以說是自然數的真子集，當然可列，但沒有可列有限集這個詞。
（1）有限集就是能與(n為任意自然數)建立雙射的集合。簡單的來概括就是一個一個的數總能全部數完的集合。比如(1，2，3，4……，100)就是有限集。
（2）不是有限集的集合就是無限集。
（3）可數集就是無限但是能與自然數集建立雙射的集合，又稱可列集。可數集是最小的無窮集。
（4）不可數集就是無限且又不能與自然數建立雙射的集合。
一，有限集與無限集
（1）說通俗點（但不夠科學）就是集合中元素的個數。用數字，1，2，……表示。如集合有三個元素，基數是3。
基數(cardinal number)也叫勢(cardinality)。集合的基數是任何一個具體數字時，就叫做有限集合。
（2）而當一個集合的基數超過自然數的範圍，就是說比任何一個自然數都要大時。就是無限集合。
比如全體自然數是第一個無限集合。它的基數叫做阿列夫零，阿列夫(aleph)，是希伯來文字母表的第一個字母。
二，可列與不可列的問題
（1）並不是所有無限集合都和全體自然數，也就是基數為(aleph)零的無限數能構成一一對應。比如，實數。當然全體實數也是無限的，但它卻和自然數之間構造不出一一對應關係。
所以，在全體實數這個無窮之上，還有更大的無窮。
也就是說，(aleph零)<2^(aleph零)，我們叫，2^(aleph零)=(aleph壹)。甚至這個問題可以接著往下數。所有這些都叫做超限數。
全體自然數是可以列舉出來的。所以，這種集合我們叫它可列。
（2）全體實數是無法列出來的，甚至用一個無限集也無法把它間接列出來。全體有理數雖然本身無法全部列舉，可是我們卻可以用全體自然數和它之間建立一個一一對映關係。
比如，把全體有理數，表示成，……q(0)，q(1)，q(2)，……，所以它也可列。這是可以嚴格證明的，但全體實數無法給出這種證明。所以，它就是不可列的。
擴充套件資料：
有限集合是由有限個元素組成的集合，也稱有窮集合。例如，由北京、天津、上海三個直轄市組成的集合，由所有小於10000的質數所組成的集合都是有限集合。只含一個元素的集合是一種特殊的有限集合，叫做單元素集合，至少含有一個元素的集合叫做非空集合，
不含任何元素的集合叫做空集，空集只有一個，一般用希臘字母φ(或{})來表示。例如，如果一個集合是以某班的某次數學測驗不及格的學生為元素，而事實上全班學生在該次數學測驗中成績都及格，那麼這個集合就是一個空集φ。
在集合論中，約定空集φ為有限集合， 空集是一切集合的子集。
有限集合還有兩種定義方式。
（1）一個是說與自然數串的一個線段對等的集合，以及空集合，都叫做有限集合；不是有限集合的集合叫做無限集合。
（2）另一個定義是：不可與其自身的真子集對等的非空集合，以及空集，都叫做有限集合，不是有限集合的集合叫做無限集合。
如果一個集合與正整數集合之間存在一一對應，則這個集合稱為可列集（或可數集）； 也就是說， 存在一個從該集合到正整數集合的雙射（也稱可逆對映）。
（1）自然數集、有理數集、代數數集都是可列集。
（2）實數集、複數集、直線點集、 平面點集都是不可列集（或不可數集）。
可列集是最小的無限集； 它的冪集是不可數集--和實數集存在一一對應（也稱同勢）。 所謂冪集， 就是原集合中所有的子集（包括全集和空集）構成的集族。
證明：有理數集q是可列集
證： 由於區間（−∞,+∞）可以表示為可列個區間（n,n+1](n∈z)的並，我們只須證明區間（0,1]中的有理數是可列集即可。
由於區間（0,1]中的有理數可惟一地表示為既約分數q/p，其中p∈n+，q∈n+，q≤p，並且p，q互質。我們按下列方式排列這些有理數：
分母p=1的既約分數只有一個： x11=1;
分母p=2的既約分數也只有一個：x21 =1/2；
分母p=3的既約分數有兩個： x31=1/3, x32 =2/3；
分母p=4的既約分數也只有兩個：x41=1/4，x42=3/4；
一般地，分母p=n的既約分數至多不超過n-1個，可將它們記為xn1，xn2，... ，xnk(n)，其中k（n）≤n。
於是區間（0,1]中的有理數全體可以排成
x11，x21，x31，x32，x41，x42，... ，xn1，xn2，... ，xnk(n)，... 。
這就證明了有理數q是可列集。
可以證明，可列集有下列重要性質：
1、 有限個可列集的並是可列集。
2、 可列個可列集的並是可列集。
3、 任何可列集的的無窮子集是可列集。
4、 任何無窮集都包含一個可列的真子集。
5、 一個無窮集並上一個可列集還與其自身等勢 。
6、 可列集的冪集與實數集等勢。
9樓：匿名使用者
有限集和無限集不是這樣分的。問題有點複雜，先給你答案。
自然數集、 有理數集、 代數數集都是可列集。
實數集、複數集、直線點集、 平面點集都是不可列集（或不可數集）。
有限集都可以說是自然數的真子集，當然可列，但沒有可列有限集這個詞。不這到叫。
下面是分析。
區分集合的有限和無限，是根據集合的基數。
說通俗點（但不夠科學）就是集合中元素的個數。用數字，1，2，……表示。
如集合有三個元素，基數是3。基數(cardinal number)也叫勢(cardinality)。
集合的基數是任何一個具體數字時，就叫做有限集合。
而當一個集合的基數超過自然數的範圍，就是說比任何一個自然數都要大時。就是無限集合。
比如全體自然數是第一個無限集合。它的基數叫做阿列夫零，阿列夫(aleph)，是希伯來文字母表的第一個字母。很難寫，就不給你寫了。我用(aleph)表示。
無限集合和有限集合有一個本質的區別是，
每個有限集合都大於它的真子集。像比大。
而無限集合在有時候“等於”它的某些真子集。
用集合的語言就是對映，即它和它的一個子集能形成一一對應關係。
比如，全體自然數對應於，明顯，後者是前者的真子集。
但確實，你說出任何一個自然數，都有一個它的平方和它對應，而且也是自然數。
所以，阿列夫零(aleph)0有個性質，那就是，(aleph)零=(aleph)零+1。其實，你隨便加多少都一樣。
同樣你也能看到，全體整數也和自然數對應。它們有同樣的基數(aleph)零。也就是(aleph)零+(aleph)零=(aleph)零。
用專業的話叫做等勢。通俗點講就是，我去掉它的一半，它還有原來相等。這就是它的無限性。
無限下的運算不能按常規下的來，但它的運演算法則，也可以說清楚。
其實，全體自然數，整數，以及自然數中那種1，4，9，……等數列的基數都相等，就是(aleph)零，連全體有理數的基數也是(aleph)零。證明這些的關鍵是，能在這兩種集合之間的構造出一個一一對應關係的對映。
下面再解決可列與不可列的問題。
但並不是所有無限集合都和全體自然數，也就是基數為(aleph)零的無限數能構成一一對應。比如，實數。當然全體實數也是無限的，但它卻和自然數之間構造不出一一對應關係。
所以，在全體實數這個無窮之上，還有更大的無窮。其實，根據無限的定義，就可以知道，有比(aleph)零大的無窮。比如，2的(aleph)零次方（專業的叫法是它的冪集，不寫它了）。
也就是說，(aleph零)<2^(aleph零)，我們叫，2^(aleph零)=(aleph壹)。
甚至這個問題可以接著往下數。所有這些都叫做超限數。
但我們知道，全體自然數是可以列舉出來的。所以，這種集合我們叫它可列。
但我們同時知道，全體實數是無法列出來的，甚至用一個無限集也無法把它間接列出來。
全體有理數雖然本身無法全部列舉，可是我們卻可以用全體自然數和它之間建立一個一一對映關係。比如，把全體有理數，表示成，……q(0)，q(1)，q(2)，……，所以它也可列。這是可以嚴格證明的，但全體實數無法給出這種證明。
所以，它就是不可列的。
我不給你說清楚的界線，是因為目前還有些問題沒有解決。
比如，全體實數的基數是我們知道的第一個不可列無窮基數，我們叫它為c。
但它在上面(aleph)系列中對應於誰現在還沒有解決。集合論的創始人康托爾本人，認為，實數的基數c=(aleph壹)。
但在阿列夫數之間有沒有什麼超限數？比如說，有沒有一個數比阿列夫零大、比阿列夫1小？康妥確信不存在這種數。他的猜測成為著名的廣義連續統假設。
這是二十世紀最著名的數學問題之一。
這是一個今天還在發展著的前沿。
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