1樓：兔老大米奇
解：設a1=√2,a2=√(2+√2),a3= √(2+√(2+√2))。
an=√[2+a(n-1)]
數學歸納法：an
設數列為,顯然a（n+1）=√（2+an）＞0有界.數學歸納法a1＜2,設ak＜2,則a（k+1）=√（2+ak）＜√（2+2）=2成立故0＜an＜2,
最後求極限，設極限為a，有a=√(2+a)，解出a=2。
擴充套件資料數列收斂：
如果數列，如果存在常數a，對於任意給定的正數q（無論多小），總存在正整數n，使得n>n時，不等式|xn-a|證明數列收斂通常是落實到定義上或者證明數列的極限是固定值。比如數列an=a0+1/n，隨著n增大，lim(an)=a0，因此可證明數列是收斂的。
2樓：羿桂花史女
顯而易見，這個數列是遞增
然後再用數學歸納法證明這個數列是有上界的
因為有a1=√2<2,
ak=√(2+ak-1)<2
從而可證an<2
因為an是單調有界數列，所以極限存在
設極限為a
有a=√(2+a)
解出a=2
3樓：匿名使用者
易證這個是遞增數列，
且都<2
所以是遞增有界數列，
所以收斂
設極限為a
則√(2+a)=a
所以 a=2
即極限為2
4樓：強哥說數學
令x=√(2+√(2+√2)),-----＞0∴x²=2+√(2+√2)),-----=2+x∴x²-x-2=0
∴x=2或x=-1（舍）
∴數列√2,√(2+√2),√(2+√(2+√2)),-----收斂，其極限為2
求解答，證明數列根號2，根號下（2加根號2），根號下2加（根號下（2加根號2））........收斂，並求極限
5樓：陳小大大
數列單增是顯然的。
證明數列有上界，數學歸納法。
x1=√2<2；假設xk<2，下證：x(k+1)<2；x(k+1)=√(xk+2)<√(2+2)=2，因此數列中所有數均小於2，有上界；因此數列極限存在，設極限為a。
x(k+1)=√(xk+2)兩邊取極限得：a=√(a+2)，即：a²-a-2=0；解得：a=2 或 a=-1(舍)；因此數列收斂，極限為2。
傳說古希臘畢達哥拉斯（約公元前570-約公元前500年）學派的數學家經常在沙灘上研究數學問題，他們在沙灘上畫點或用小石子來表示數。比如，他們研究過：由於這些數可以用如圖1所示的三角形點陣表示，他們就將其稱為三角形數。
正方形數：類似地，被稱為正方形數，因為這些數能夠表示成正方形。因此，按照一定順序排列的一列數稱為數列。
6樓：聖虛道長很忙
你做的時候最好把xk等於多少，xk等於多少寫出來，再找找看有沒有什麼聯絡就行了的！望採納！
求解答，證明數列根號2，根號下（2加根號2），根號下2加（根號下（2加根號2））........收斂，並求極限。
7樓：丘冷萱
1、數列單增是顯然的；
2、證明數列有上界，數學歸納法
x1=√2<2
假設xk<2，下證：x(k+1)<2
x(k+1)=√(xk+2)<√(2+2)=2，因此數列中所有數均小於2，有上界
因此數列極限存在，設極限為a，
3、x(k+1)=√(xk+2)兩邊取極限得：a=√(a+2)，即：a²-a-2=0
解得：a=2 或 a=-1(舍)
因此數列收斂，極限為2.
8樓：匿名使用者
很顯然它是遞增的，用數學歸納法證明有上界
證明數列√2,√(2*√2)，√[2*√(2*√2)]…是收斂的，並求其極限
9樓：西域牛仔王
首先，每項均為正數，
其次，由歸納法可證明 un < 2 ，
最後，un = √[2u(n-1)] > u(n-1) ，因此數列單調遞增有上界，
所以存在極限，令極限為 a ，
在 un = √[2u(n-1)] 兩邊取極限得 a = √(2a) ，解得 a = 2 。
證明數列x1=√2,x2=√(2+√2),x3=√(2+√(2+√2))...的極限存在並求出極限。
10樓：烏雅微蘭戢緞
先證明極限存在，單增是顯然的，因此只要證明有上界就行了。
遞推公式為：x(n+1)=√(2+xn)
這裡n和n+1都是下標
下面證明xn<2，用數學歸納法
x1=√2<2，假設xk<2
則x(k+1)=√(2+xk)
<√(2+2)=2
因此數列單增有上界，
則極限存在。
設極限為a，則x(n+1)=√(2+xn)兩邊取極限得：a=√(2+a)
即a^2-a-2=0，解得a=2或-1(舍)因此極限為2
如何證明數列：√2， √(2+√2)， √(2+√(2+√2))，。。。有界？
11樓：良駒絕影
[a(n＋1)]²=an＋2，利用數學歸納法證明an<2即可。
12樓：匿名使用者
設a1=√2， a2=√(2+√2)，a3= √(2+√(2+√2))，。。。
an=√[2+a(n-1)]
數學歸納法：an<=2
n=1時，a1<=2
設a(n-1)<=2，則an=√[2+a(n-1)]<=√[2+2]=2得證
證明數列√2,√(2+√2),√(2+√(2+√2)),。。。。收斂,並求其極限
13樓：兔老大米奇
解：設a1=√2,a2=√(2+√2),a3= √(2+√(2+√2))。
an=√[2+a(n-1)]
數學歸納法：an
設數列為,顯然a（n+1）=√（2+an）＞0有界.數學歸納法a1＜2,設ak＜2,則a（k+1）=√（2+ak）＜√（2+2）=2成立故0＜an＜2,
最後求極限，設極限為a，有a=√(2+a)，解出a=2。
擴充套件資料數列收斂：
如果數列，如果存在常數a，對於任意給定的正數q（無論多小），總存在正整數n，使得n>n時，不等式|xn-a|證明數列收斂通常是落實到定義上或者證明數列的極限是固定值。比如數列an=a0+1/n，隨著n增大，lim(an)=a0，因此可證明數列是收斂的。
14樓：老伍
1，先證數列遞增
數列遞增顯而易見，也可以用第二數學歸納法證明這個數列遞增因為a1=√2<√(2+√2)=a2即a1 則當n=k+1時 ak=√(2+a(k-1))<√(2+ak) 所以數列an遞增 2、再證數列有界 再用數學歸納法證明這個數列是有上界的 因為有a1=√2<2, 假設當n=k時ak<2 則當n=k+1時 a(k+1)=√(2+ak)<√(2+2)=2從而an<2 因為an是單調有界數列，所以極限存在 3、最後求極限 設極限為a 有a=√(2+a) 解出a=2 證明數列x1=√2,x2=√(2+√2),x3=√(2+√(2+√2))...的極限存在並求出極限。 15樓：丘冷萱 先證明極限存在，單增是顯然的，因此只要證明有上界就行了。 遞推公式為：x(n+1)=√(2+xn) 這裡n和n+1都是下標 下面證明xn<2，用數學歸納法 x1=√2<2，假設xk<2 則x(k+1)=√(2+xk) <√(2+2)=2因此數列單增有上界， 則極限存在。 設極限為a，則x(n+1)=√(2+xn)兩邊取極限得：a=√(2+a) 即a^2-a-2=0，解得a=2或-1(舍)因此極限為2 16樓：匿名使用者 xn*xn=xn-1 + 2 所以xn/xn-1=xn/(xn*xn-2)=1/(xn-2/xn) 這個證明教材上有的，一般有兩種證法，一是反證法，一是同一法，僅證後一種 已知liman a，若還有 liman b。則對任意 0，存在 n z，當 n n時，有 an a an b 此時，a b an a an b 2 由 0的任意性，得知 a b。收斂數列的 極限的唯一性證明，詳細過程 證明 假設... 這個證明教材上有的 一般有兩種證法，一是反證法，一是同一法，僅證後一種 已專知liman a，若還有屬 liman b。則對任意 0，存在 n z，當 n n時，有 an a an b 此時，a b an a an b 2 由 0的任意性，得知 a b。這個bai 證明教材上有的,一般有兩種 du證... nk這個數列是自然數列n的子列，由於自然數列n是遞增的，所以其子列當然也遞增。nk不是數列中的某個數，那是xnk才能扯上單調性，nk只是一個角標的數字，表示順序而已 nk是指原數列的第nk項 高數，收斂數列與其子數列的關係，那個證明過程中為什麼要取k n啊？如果不這麼取呢 你要明白要證的是什麼，要證...如何證明收斂數列的極限唯一,收斂數列的極限的唯一性證明，詳細過程
收斂數列極限唯一證明,收斂數列的極限的唯一性證明，詳細過程
為什麼在這個收斂數列與其子數列的關係證明中說當k K時，nk nK，又沒有說nk這個數列具有遞增性