1樓：帥傅香漢戌
舉一個簡單的例子：
y''+3y'+2y=1
(1)其對應的齊次方程的特徵方程為：
s^2+3s+2=0
(2)因式分解：
(s+1)(s+2)=0
(3)兩個根為：
s1=-1
s2=-2
(4)齊次方程的通解：
y1=ae^(-x)+be^(-2x)
(5)非奇方程(1)的特解：y*=
1/2(6)
於是（1）的通解為：
y=y1+y*
=1/2
+ae^(-x)
+be^(-2x)
(7)其中：a、b由初始條件確定。
2樓：委德孔女
通解是一個解集……包含了所有符合這個方程的解n階微分方程就帶有n個常數，與是否線性無關通解只有一個，但是表達形式可能不同，y=c1y1(x)+c2y2(x)是通解的話，y=c1y1(x)+c2y2(x)+y1也是通解，但y=c1y1就是特解
就你所抄的那句話來看是錯的，不是二階線性方程，而是二階線性齊次方程；在這樣的條件下成立的原因是，[y1(x)+y2(x)]'=y1(x)'+y2(x)'，c1y1(x)與c2y2(x)分別滿足方程，則自然c1y1(x)+c2y2(x)也滿足方程
否則如果非齊次方程的話，應該可以從c1y1(x)與c2y2(x)均為方程的解推出y1(x)=ky2(x)
2階常係數齊次線性微分方程的通解。為什麼用特徵方程來求，這方法是怎麼來的？
3樓：神的味噌汁世界
特徵方程只是源於e^(ax)'=ae^(ax)這個特殊性質。如果你覺得這太「巧合」了，我有一個看似更令人信服的解法，即分解降解
二階線性齊次微分方程通解求法 5
4樓：墨汁諾
一、解：
求特徵方程r^2+p(x)r+q(x)=0，解出兩個特徵根r1,r2 若r1≠r2且r1,r2為實數，
則y=c1*e^(r1*x)+c2*e^(r2*x) 若r1=r2且r1,r2。
二、r是微分方程的特徵值，它是通過方程r^2-2r+5=0來求出的。
將其看成一元二次方程，判別式=4-20=-16<0,說明方程沒有實數根，但在複數範圍內有根，根為： r1=1+2i r2=1-2i；
在複數領域中，z1=a+bi 和z2=a-bi, 及兩個複數的實數部分相等，虛數部分互為相反數的複數稱為共軛複數；所以本題的兩個特徵值符合這一關係，故謂共軛復根。
擴充套件資料：
對於二階線性遞推數列，可採用特徵方程法：
對於數列
，遞推公式為
其特徵方程為
1、 若方程有兩相異根p、q ，則
2、 若方程有兩等根p ，則
5樓：情感迷茫者的解讀人
以下方法，可以參考一下
1.解: 求特徵方程r^2+p(x)r+q(x)=0,解出兩個特徵根r1,r2 若r1≠r2且r1,r2為實數, 則y=c1*e^(r1*x)+c2*e^(r2*x) 若r1=r2且r1,r2。
2.r是微分方程的特徵值,它是通過方程r^2-2r+5=0來求出的。 將其看成一元二次方程,判別式=4-20=-16<0,說明方程沒有實數根,但在複數範圍內有根,根為:
r1=1+2i r2=1-2i
只是希望能有所幫助
6樓：匿名使用者
你可以按照這個去做就可以了。如果你想具體的瞭解這些是怎麼來的，你可能要去看書本上的知識。
求二階微分方程的通解
7樓：晴天擺渡
先求對應的齊次方程2y''+y'-y=0的通解特徵方程為2r²+r-1=0
(2r-1)(r+1)=0
r=1/2或r=-1
故通解為y=c1 e^(x/2)+c2 e^(-x)因為1不是特徵根，所以設原方程的特解為y*=ae^x則y*'=y*''=ae^x
代入原方程得，2ae^x=2e^x
a=1故y*=e^x
所以原方程的通解為y=y+y*
即y=c1 e^(x/2)+c2 e^(-x)+e^x
一二階線性微分方程的通解公式
8樓：匿名使用者
解：齊次方程y''-2y'-3y=0的特徵方程是λ-2λ-3=0，解得：
λ1=3，λ2=-1。
所以齊次方程得通解是：y=ae^(3x)+be^(-x)。
只需求其特解y*。
根據右邊4e^x，可設y*=ke^x，代入左邊得：ke^x-2ke^x-3ke^x=4e^x。
解得k=-1。
特徵根方程r^2+r-2=0r=2，-1y=ae^(2x)+be^(-x)。
然後找特解待定係數，因為右端項為x^2猜測：
x^2-2ax^2+(2a-2b)x+2a+b-2c=x^2-2a=12a-2b=02a+b-2c=0a=-1/2。
9樓：匿名使用者
二階線性微分方程是指未知函式及其一階、二階導數都是一次方的二階方程，簡單稱為二階線性方程。二階線性微分方程的求解方式分為兩類，一是二階線性齊次微分方程，二是線性非齊次微分方程。
如果一個二階方程中，未知函式及其一階、二階導數都是一次方的，就稱它為二階線性微分方程，簡單稱為二階線性方程。
二階線性微分方程的求解方式分為兩類，一是二階線性齊次微分方程，二是線性非齊次微分方程。前者主要是採用特徵方程求解，後者在對應的齊次方程的通解上加上特解即為非齊次方程的通解。齊次和非齊次的微分方程的通解都包含一切的解。
二階微分方程求通解
10樓：匿名使用者
求微分方程 y''+2y'+y=5e^(-x)的通解
解：齊次方程 y''+2y'+y=0的特徵方程 r²+2r+1=(r+1)²=0的根r₁=r₂=-1；因此齊次方程的
通解為：y=[e^(-x)](c₁+c₂x);
因為原方程右邊的5e^(-x)中的指數所含 -1正好是特徵方程的重根，因此要設特解為：
y*=ax²e^(-x)..........①
y*'=2axe^(-x)-ax²e^(-x)=a(2x-x²)e^(-x)............②
y*''=a(2-2x)e^(-x)-a(2x-x²)e^(-x)=a(2-4x+x²)e^(-x)............③
將①②③代入原式得：a[(2-4x+x²)+2(2x-x²)+x²]e^(-x)=5e^(-x)
即有 2a=5，故a=5/2；∴特解 y*=(5/2)x²e^(-x)；
故原方程的通解為：y=[(c₁+c₂x+(5/2)x²]e^(-x);
11樓：匿名使用者
y''+2y'+y=5e^-x
齊次特徵方程
r^2+2r+1=0
r=-1
所以齊次通解是
y=(c1+c2x)e^(-x)
由於等號右邊包含在通解中
所以設非齊次特解為
y=ax^2e^(-x)
y'=2axe^(-x)-ax^2e^(-x)y''=2ae^(-x)-2axe^(-x)-2axe^(-x)+ax^2e^(-x)
=2ae^(-x)-4axe^(-x)+ax^2e^(-x)代入原方程得
2ae^(-x)-4axe^(-x)+ax^2e^(-x)+2[2axe^(-x)-ax^2e^(-x)]+ax^2e^(-x)
=2ae^(-x)=5e^-x
a=5/2
所以特解是y=5/2x^2e^(-x)
所以非齊次通解是
y=(c1+c2x)e^(-x)+5/2x^2e^(-x)
二階常係數非齊次線性微分方程的通解公式 5
12樓：匿名使用者
這類微分方程來
有固定解法自
ay''+by'+cy=f(x)
1、先解bai
對應du的齊次方程zhiay''+by'+cy=0的通解y1解法：根據特徵方程at^2+bt+c=0的解t1,t2的是單根重根和虛根dao來組解，具體的你查書吧，我手頭沒書，得到y1=y1(t1,t2)
2、求得一組特解y*
根據f(x)的形式設計試探特解，求出試探特解的係數，得到y*3、ay''+by'+cy=f(x)的通解：y=y1+y*
13樓：水岸落日
做變數替換u = y'，則方程變為2u +5ü= 15x ^ 2 +2 x +6
在一個固定的公式與積分符號的原型大量的這種形式是非常複雜的，自己開啟的書上線
三階常係數微分方程的通解怎麼求，微分方程的通解怎麼求？
常係數線性微分方程 y 2y y 2y 0，對應的特徵方程為 3 2 2 2 0，將 化簡得 2 1 2 0，求得方程 的特徵根分別為 1 2，2 i，於是方程 的基本解組為 e2x，cosx，sinx，從而方程 的通解為 y x c1e2x c2cosx c3sinx，其中c1，c2，c3為任意常...
高數二階常係數非齊次線性微分方程問題第二種情況，為什麼Q（x怎麼來的
看懂第一行就可以了。如果是單根，那麼第二個圈中是0.特解中，qm x 必定沒有常數項，因此可提出因子x 因為在計算齊來次式的通解時，源 二階常係數齊次線性微分方程特解是怎麼得到的 150 標準形式 y py qy 0 特徵方程 r 2 pr q 0 通解兩個不相等的實根 y c1e r1x c2e ...
高等數學小練習題求二階線性常係數微分方程的通解
特徵方程 r 2 5r 6 0,特徵根 r 2,r 3 對於微分方程 y 5y 6y 4,得特解 y 2 3 對於微分方程 y 5y 6y 3e 2x 2 是單特徵值，則 特解形式應設為 y axe 2x 代入微分方程得 a 3，則特解是 y 3xe 2x 於是 原微分方程的通解是 y ae 2x ...