1樓：匿名使用者
2k-1=k^2-(k-1)^2
k屬於z,k-1屬於z
所以2k-1屬於m
4k-2是偶數,只能是2個偶數的平方差,或是2個奇數的平方差設2個偶數是2x,2y.
(2x)^2-(2y)^2
=4(x^2-y^2)是4倍數
4k-2=2(2k-1)不是4倍數,不成立設2個奇數是2x+1,2y+1.
(2x+1)^2-(2y+1)^2
=4(x^2+x-y^2-y)是4倍數
4k-2=2(2k-1)不是4倍數,不成立所以k4-2不屬於m
(2n+1)(2m+1)
=4mn+2m+2n+1
所以屬於m的兩個整數的積仍屬於m
2樓：落葉無痕
證:1.(n+1)^2-n^2=2n+1
因為n可任意取,所以所有自然數均包含在m中
3樓：我不是他舅
1、即證明所有的奇數都能寫成平方差
x²-y²=(x+y)(x-y)
若x+y是奇數，則x-y也是奇數
設a是奇數，則a=a*1
只要令x+y=a,x-y=1
則x=(a+1)/2,y=(a-1)/2
a是奇數，
所以x和y都是整數
即所有的奇數都可以寫成兩個整數的平方差
即一切奇數屬於m
4k-2=2(2k-1)
即2乘以一個奇數
假設2(2k-1)屬於m
則不妨設x-y=2,x+y=2k-1
則x=(2k+1)/2,y=(2k-3)/22k+1和2k-3都是奇數
所以x和y都不是整數
和x、y屬於z矛盾
所以偶數4k-2(k屬於z）不屬於m
假設a=p^2-q^2和b=k^2-n^2屬於m則ab=(p^2-q^2)(k^2-n^2)=p^2k^2-p^2n^2-k^2q^2+q^2n^2=(p^2k^2+2pqkn+q^2n^2)-(p^2n^2+2pqkn+k^2q^2)
=(pk+qn)^2-(pn+kq)^2
即ab也能寫成
兩個整數的平方差
所以ab屬於m
4樓：
證明:1.只要證對任意的奇數k,x^2-y^2=k有整數解x^2-y^2=(x-y)(x+y)=k
可以令x-y=1
x+y=k
那麼x=(1+k)/2
y=(k-1)/2
由k是奇數,1+k,k-1都能被2整除,x,y都是整數，得證2.4k-2也可以寫成4k+2
由x^2-y^2=(x-y)(x+y)
x-y,x+y同奇偶
討論:x-y=4k,x+y=4k+2或4k+4,x^2-y^2=4kx-y=4k+1,x+y=4k+3或者4k+1,x^2-y^2=4k+3或4k+1
x-y=4k+2,x+y=4k或者4k+2,x^2-y^2=4kx-y=4k+3,x+y=4k+1或者4k+3,x^2-y^2=4k+3或者4k+1
無論什麼情況x^2-y^2都不可能為4k+2,得證3.設a,b∈m
a=x1^2-y1^2,b=x2^2-y2^2ab=x1^2x2^2+y1^2y2^2-x1^2y2^2-x2^2y1^2
=(x1x2-y1y2)^2-(x1y2-x2y1)^2令x=x1x2-y1y2,b=x1y2-x2,y1,ab也∈m得證
5樓：匿名使用者
1、a=x²-y²=(x+y)(x-y)
因為x,y為任意整數，所以，可令x=n+1,y=n,n為整數那麼a=(n+1)²-n²=2n+1必為奇數。
2、對於整數x，x²被4除的餘數為0或1，同理，y²被4除的餘數也只能為0或1，所以a=x²-y²被4除的餘數可以為1或3，而4k-2被4除餘數為2，所以4k-2不屬於m。
3、設m,n屬於m，且有m=x1²-y1²，n=x2²-y2²,則mn=(x1²-y1²)(x2²-y2²) =(x1x2-y1y2)²-(x1y2-x2y1)²
所以mn也屬於m.
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