1樓:音符娃娃
因式分解典型例題
例1 多項式x2+ax+b因式分解為(x+1)(x-2),求a+b的值.
分析 根據因式分解的概念可知因式分解是一種恆等變形,而恆等式中的對應項係數是相等的,從而可以求出a和b,於是問題便得到解決.
解 由題意得:x2+ax+b=(x+1)(x-2),所以
x2+ax+b=x2-x-2,
從而得出
a=-1,b=-2,
所以a+b=(-1)+(-2)=-3.
點評 「恆等式中的對應項係數相等」這一知識是求待定係數的一種重要方法.
例2 因式分解6a2b+4ab2-2ab.
分析 此多項式的各項都有因式2ab,提取2ab即可.
解 6a2b+4ab2-2ab=2ab(3a+2b-1).
點評 用「提公因式法」分解因式,操作時應注意這樣幾個問題:首先,所提公因式應是各項係數的最大公約數與相同字母最低次冪的乘積,即提取的公因式應是多項式各項的最高公因式,否則達不到因式分解的要求;其次,用「提公因式法」分解因式,所得結果應是:最高公因式與原多項式各項分別除以最高公因式所得商式的乘積.如果原多項式中的某一項恰是最高公因式,則商式為1,這個1千萬不能丟掉.
本例題中,各項的公因式有2,a,b,2a,2b,ab,2ab等.其中2ab是它們的最高公因式,故提取2ab.作為因式分解後的一個因式,另一個因式則是分別用6a2b,4ab2和-2ab除以2ab所得的商式代數和,其中-2ab÷2ab=-1,這個-1不能丟.
例3 因式分解m(x+y)+n(x+y)-x-y.
分析 將-x-y變形為-(x+y),於是多項式中各項都有公因式x+y,提取x+y即可.
解 m(x+y)+n(x+y)-x-y
=m(x+y)+n(x+y)-(x+y)
=(x+y)(m+n-1).
點評 注意添、去括號法則.
例4 因式分解64x6-1.
分析 64x6可變形為(8x3)2,或變形為(4x2)3,而1既可看作12,也可看作13,這樣,本題可先用平方差公式分解,也可先用立方差公式分解.
解 方法一
64x6-1=(8x3)2-1
=(8x3+1)(8x3-1)
=[(2x)3+1][(2x)3-1]
=(2x+1)(4x2-2x+1)(2x-1)(4x2+2x+1)
方法二64x6-1=(4x2)3-1
=(4x2-1)(16x4+4x2+1)
=(2x+1)(2x-1)(16x4+8x2+1-4x2)
=(2x+1)(2x-1)[(4x2+1)2-(2x)2]
=(2x+1)(2x-1)(4x2+2x+1)(4x2-2x+1)
點評 在分解因式時,儘管採用的方法不同,但結果應是相同的.本題的兩種解法,顯然第一種方法比較簡單.
點評 分解因式時,應首先考慮各項有沒有公因式,如果有公因式,一定先提公因式,然後再考慮能否用其它方法繼續分解.本題如果先提2,應如何分解?
例6 因式分解(x+y)2-6(x+y)+9.
分析 可將x+y當作一個整體,此多項式便是關於這個整體的二次三項式,顯然它可用完全平方公式分解.
解 (x+y)2-6(x+y)+9
=(x+y)2-2×3×(x+y)+32
=(x+y-3)2.
點評 在運用公式分解因式時,一定要掌握公式的特點,尤其要注意完全平方公式中一次項係數的特點.
例7 因式分解x2+6x-7.
分析 這個二次三項不符合完全平方公式的特點,首先,二次項與常數項不同號,其次,常數項的絕對值不是一次項係數一半的平方,所以不能直接用公式分解,但經過適當的變形後,便可用公式分解.另外,這樣的二次三項式可用十字相乘法分解.
解 方法一
x2+6x-7=x2+6x+9-9-7=(x+3)2-16
=(x+3+4)(x+3-4)=(x+7)(x-1)
方法二 x2+6x-7=(x+7)(x-1)
點評 方法一叫配方法.用配方法分解二次三項式時,其前提是二次項係數為1(如果二次項係數不是1,則提取這個係數,使二次項係數轉化為1);其關鍵是,加上緊接著減去一次項係數絕對值一半的平方,這樣便達到配方的目的.在用十字相乘法分解二次三項式時,主要考慮的是十字相乘後的代數和應是一次項.
例8 因式分解3x2-7x-6.
分析 本題二次項係數不是1,如果用配方法分解,則應首先提取二次項係數3,然後再加、減一次項係數一半的平方;如果用十字相乘法分解,既要考慮好首尾兩項的分解,更要考慮到十字相乘後的代數和應是中間項(即一次項).
解 方法一
方法二 3x2-7x-6=(3x+2)(x-3).
點評 用十字相乘法分解因式,在排列算式時,應想到同行不應有公因式(如本題二次項所分出的3x與常數項所分出的3不能放在同行,只能與分解出的另一個因式2放在同行)這是因為,如果同行有公因式,此公因式在開始分解時就應提出.掌握這一點會簡化操作過程.從上述兩例可以明顯看出,在有理數範圍內分解二次三項式ax2+bx+c用十字相乘法比較方便,但隨著數的範圍的擴大,就看出配方法的重要了.於是便出現這樣的問題:在分解二次三項式ax2+bx+c時,何時用公式法?何時用十字相乘法?
何時用配方法?我們可用b2-4ac的結果來判別:
b2-4ac=0時,用完全平方公式分解;
b2-4ac>0且是一個完全平方數時,用十字相乘法分解;
b2-4ac>0但不是完全平方數時,用配方法分解;
b2-4ac<0時,在有理數範圍內和將來學到的實數範圍內都不能分解.
至於為什麼可用b2-4ac的結果來作上述判斷,這個問題在今後的學習中會得到解決.
例9 因式分解2ax-10ay+5by-bx.
分析 用分組分解法.可將
一、二兩項和
四、三兩項分別作為一組,這樣不僅每組可分解,而且確保繼續分解.
解 2ax-10ay+5by-bx
=2ax-10ay-bx+5by
=(2ax-10ay)-(bx-5by)
=2a(x-5y)-b(x-5y)
=(x-5y)(2a-b).
點評 本題還可以
一、四兩項一組,二、三兩項一組,但不能
一、三項和
二、四項分組,可見分組要恰當.分組是否恰當,以能否達到因式分解的目的為標準.所以,分組後各組係數成比例則是恰當分組的重要條件.
例10 因式分解:
(1)x2-2xy+y2-1 (2)x2-2y-y2-1
分析 這兩小題都不能平均分組,因為平均分組後,各組係數不可能成比例,從而達不到因式分解的目的,但經過觀察可知,如果將(1)題前三項和第四項分組,將(2)題第一項和後三項分組,則可先用完全平方公式繼而用平方差公式將其分解.
解 (1)x2-2xy+y2-1
=(x2-2xy+y2)-1
=(x-y)2-1=(x-y+1)(x-y-1)
(2)x2-2y-y2-1=x2-y2-2y-1
=x2-(y2+2y+1)
=x2-(y+1)2=(x+y+1)(x-y-1)
點評 在分解四項式時,也應首先考慮是否有公因式,如果有,要先提公因式然後再考慮分組,在分組時,又有兩兩分組、一三分組和三一分組三種不同分法,這就需要做到具體問題具體分析.對某些特殊的四項式也可直接用完全立方公式分解,即a3±3a2b+3ab2±b3=(a±b)3.對五項式或五項以上的多項式也採用分組分解法.
例11 因式分解x2+4xy+3y2+x+3y.
分析 本題的前三項可以分解為(x+y)(x+3y),其中(x+3y)正好與後兩項完全一樣,所以本題作三二分組,問題便得到解決.
解 x2+4xy+3y2+x+3y
=(x2+4xy+3y2)+(x+3y)
=(x+y)(x+3y)+(x+3y)
=(x+3y)(x+y+1).
例12 因式分解:
(1)a2+2ab+b2+2a+2b+1,
(2)a2+2ab+b2+2a+2b-3,
(3)a2+3ab+2b2+2a+b-3.
分析 這三道題都不能平均分組,經觀察,它們都可以三二一分組,分組後,(1)題可經過兩次完全平方公式分解,(2)題可經過一次公式和一次十字相乘分解,而(3)題則可經過兩次十字相乘分解.
解 (1)a2+2ab+b2+2a+2b+1
=(a2+2ab+b2)+(2a+2b)+1
=(a+b)2+2(a+b)+1=(a+b+1)2.
(2)a2+2ab+b2+2a+2b-3
=(a2+2ab+b2)+(2a+2b)-3
=(a+b)2+2(a+b)-3
=(a+b+3)(a+b-1).
(3)a2+3ab+2b2+2a+b-3
=(a2+3ab+2b2)+(2a+b)-3
=(a+b)(a+2b)+(2a+b)-3
=(a+b-1)(a+2b+3).
例13 已知4x2+4xy+y2-4x-2y+1=0,求證:
2x2+3xy+y2-x-y=0
分析 要證明一個多項式的值為零,通常是將此多項式分解因式.若分解後的因式中有一個值為零,則原多項式的值為零.經過分組分解,可知2x2+3xy+y2-x-y=(x+y)(2x+y-1),若x+y或2x+y-1為零,則原多項式的值為零.為達此目的,就要從條件入手.
證明 因為4x2+4xy+y2-4x-2y+1=0,所以
(2x+y)2-2(2x+y)+1=0,
(2x+y-1)2=0.
所以2x+y-1=0.
又因為2x2+3xy+y2-x-y=(x+y)(2x+y-1).
而2x+y-1=0,
所以2x2+3xy+y2-x-y=0.
例14 已知3x2-4xy-7y2+13x-37y+m能分解成兩個一次因式的乘積,求m的值.並將此多項式分解因式.
分析 根據因式分解的概念和乘法法則可知,原多項式所分解得的兩個因式必然都是三項式,而原多項式的前三項可分解為(3x-7y)(x+y),於是可設原多項式分解為(3x-7y+a)(x+y+b),再根據恆等式中的對應項係數相等,便能使問題得到解決.
解 設3x2-4xy-7y2+13x-37y+m
=[(3x-7y)+a][(x+y)+b]
=3x2-4xy-7y2+(a+3b)x+(a-7b)y+ab.
對應項係數相等,所以
由(1)(2)解得a=-2,b=5.將a=-2,b=5代入(3),得
m=-10.
所以 3x2-4xy-7y2+13x-37y+m
=3x2-4xy-7y2+13x-37y-10
=(3x-7y+a)(x+y+b)
=(3x-7y-2)(x+y+5).
例15 已知|x-3y-1|+x2+4y2=4xy,求x與y的值.
分析 在通常情況下,由一個方程求兩個未知數的值,條件是不夠的,但在特殊條件下又是可行的,這「特殊條件」包括非負數的和等於零的性質.本題已有一個明顯的非負數,即|x-3y-1|,而另一個非負數可由因式分解得到.於是問題能夠解決.
解 因為|x-3y-1|+x2+4y2=4xy,所以
|x-3y-1|+x2-4xy+4y2=0
即|x-3y-1|+(x-2y)2=0
所以解這個方程組,得
x=-2,y=-1.
例16 因式分解:
(1)x4+4y4; (2)x3+5x-6.
分析 這兩個多項式既無公因式可提,也不能直接用公式或直接分組分解.經過觀察:(1)題若加上4x2y2,隨之減去4x2y2,這樣既保證多項式的值不變,又可先用完全平方公式繼而用平方差公式分解.(2)題如果將5x拆成-x+6x便可分組分解.或者,將-6拆成-1-5也可分組分解.
解 (1)x4+4y4=x4+4x2y2+4y4-4x2y2
=(x2+2y2)2-(2xy)2
=(x2+2xy+2y2)(x2-2xy+2y2).
(2)x3+5x-6=x3-x+6x-6
=(x3-x)+(6x-6)
=x(x+1)(x-1)+6(x-1)
=(x-1)(x2+x+6)
點評 若將-6拆成-1-5,應如何分解?
例17 已知x2-2xy-3y2=5,求整數x和y的值.
分析 原式左端可分解為兩個一次因式的乘積,由題意可知,這兩個因式都表示整數,這樣只能是一個因式為1(或-1),而另一個因式為5(或-5).於是便可列出方程組求出x和y的值.
解 因為x2-2xy-3y2=5,所以
(x-3y)(x+y)=5.
依題意x,y為整數,所以x-3y和x+y都是整數,於是有:
解上述方程組得:
例18 已知a=(x+2)(x-3)(x+4)(x-5)+49(x為整數),求證:a為一個完全平方數.
證明 因為a=(x+2)(x-3)(x+4)(x-5)+49
=(x2-x-6)(x2-x-20)+49
=(x2-x)2-26(x2-x)+169
=(x2-x-13)2
所以a是一個完全平方數.
這裡是些基本題
事實上我覺得因式分解什麼的最簡單了 你應該找點難的 學分式會有很大用的
利用因式分解計算,利用因式分解計算
1.1297 5 987 5 1297 987 5 2.869 36 869 64 869 0.36 0.64 869 3.758 758 258 258 758 258 758 258 1016 500 4.6.4 6.4 3.6 3.6 2 6.4 3.6 6.4 3.6 2 100 1.129...
關於因式分解,關於因式分解的方法
a 2b 2 a 2b 2 a 2b a 2b a 2b a 2b 4b 2a 8ab 你好像記錯什麼了吧。a 2 b 2 a b a b 這就是平方差公式你需要的結果是什麼樣的 8ab確實是結果,但是你得看你用什麼方法來得出這個結果!你用的是平方差,那這個結果就是正確的答案。你要是用的是 a 2b...
幾道因式分解求解,幾道因式分解題,求解
1 x 2 5x 3 x 5 2 2 13 4 x 5 2 2 13 2 2 x 5 2 13 2 x 5 2 13 2 1 4 2x 5 13 2x 5 13 2 x 2 2 2.x 3 x 2 2 5 x 2 5 x 2 5 3 3x 2 4xy y 2 0 x 4 28 6 y 2 7 3 y...