1樓：匿名使用者
如果矩陣a與b相似，記為a~b，則矩陣a與b一定具有相同的特徵值(λ1- - - λn)，但a與b的特徵向量一般不相同。當a~b時有等式b＝(q逆)aq成立，式中q是隨機選定的可逆矩陣，一般情況下b不是對角陣。特殊地，由a的n個特徵向量組成的矩陣用p表示，此時(p逆)ap＝b，矩陣b一定是對角陣λ(b＝λ)。
與a相似的矩陣b有很多，而b＝λ則是無窮相似矩陣中最簡潔的(不考慮λ在對角線順序)，a的特徵值就是λ的對角元素，這種簡潔形式特別方便數學研究。特徵值一般反映物理系統的運動屬性，因此特徵值有較多工程應用。例如多自由度彈簧振子的振動頻率，人臉計算機識別，化學溶液的主成份分析，線性系統理論等。
另: 線代為什麼要討論二次型函式？因為二次函式可表述為矩陣的相乘，即 f(x1，ⅹ2)=(ⅹ^t)ax，a為二次型係數矩陣，x為列向量，(x^t)是列向量轉置(行向量)。
不同的二次型得到不同的a矩陣。求a的對角陣 = 求a的特徵值，特徵值=二次項係數，且全部的交叉項係數=0，即消除了交叉項，二次函式更簡潔。∵矩陣屬線性代數內容，∴二次型放其中研究。
已知a矩陣可求出特徵值和特徵向量；反之已知特徵值和特徵向量也能求出原矩陣: pλ(p逆)=a。
線性代數問題，相似矩陣和二次型，問21題中為什麼特徵向量不用單位化，正交化，但是22題中需要！求解
2樓：匿名使用者
22題的特徵向量不需要正交化
如果題目要求用正交變換將二次型化為標準型
就要將特徵向量正交話
否則的話，如21，22
只是求矩陣a，就沒必要正交話
正交化的好處是不用求變換矩陣的逆矩陣
正交矩陣的逆矩陣＝它的轉置矩陣
計算結果是一樣的
因為，正交化的計算量比較大
特別是幾重特徵值的時候
所以，沒必要的化，不需要正交
3樓：琅琊邢氏
21題沒說是對稱矩陣，但不同特徵值對應的特徵向量必無關，對角化不要求正交變換，求特徵向量構成的矩陣的逆，只能用一般方法。
22題說是對稱矩陣，實對稱矩陣互異特徵值對應的特徵向量正交，單位化後得到正交矩陣，正交矩陣的逆等於其轉置，這時就很方便。
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