1樓：匿名使用者
||^^|z1|^2=x1^2+y1^2
|z1/z2|^2=|(x1+iy1)/(x2+iy2)|^2=|(x1+iy1)(x2-iy2)/(x2^2+y2^2)|^2
=|((x1x2+y1y2)+i(y1x2-y2x1))/(x2^2+y2^2)|^2
=((x1x2+y1y2)^2+(y1x2-y2x1)^2)/(x2^2+y2^2)^2
=((x1x2)^2+(y2x1)^2+(y1y2)^2+(y1x2)^2)/(x2^2+y2^2)^2
=(x1^2+y1^2)/(x2^2+y2^2)
高中數學複數怎麼算？
2樓：匿名使用者
高中數學複數運演算法則
加減法加法法則
複數的加法按照以下規定的法則進行：設z1=a+bi,z2=c+di是任意兩個複數， 則它們的和是 (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. 兩個複數的和依然是複數，它的實部是原來兩個複數實部的和，它的虛部是原來兩個虛部的和。
複數的加法滿足交換律和結合律，
即對任意複數z1,z2,z3,有： z1+z2=z2+z1; (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3). 減法法則
複數的減法按照以下規定的法則進行：設z1=a+bi,z2=c+di是任意兩個複數， 則它們的差是 (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i. 兩個複數的差依然是複數，它的實部是原來兩個複數實部的差，它的虛部是原來兩個虛部的差。
2乘除法
乘法法則
規定複數的乘法按照以下的法則進行：
設z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈r)是任意兩個複數，那麼它們的積(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i.
其實就是把兩個複數相乘，類似兩個多項式相乘，得: ac+adi+bci+bdi²，因為i²=-1，所以結果是(ac－bd)+(bc+ad)i 。兩個複數的積仍然是一個複數。 除法法則
複數除法定義：滿足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的複數x+yi(x,y∈r)叫複數a+bi除以複數c+di的商 運算方法：可以把除法換算成乘法做,在分子分母同時乘上分母的共軛.
所謂共軛你可以理解為加減號的變換,互為共軛的兩個複數相乘是個實常數. 除法運算規則：
①設複數a+bi(a，b∈r)，除以c+di(c，d∈r)，其商為x+yi(x，y∈r)， 即(a+bi)÷(c+di)=x+yi
∵(x+yi)(c+di)=(cx－dy)+(dx+cy)i. ∴(cx－dy)+(dx+cy)i=a+bi.
由複數相等定義可知 cx-dy=a，dx+cy=b
解這個方程組，得 x=(ac+bd)/(c²+d²) y=(bc-ad)/(c²+d²)
於是有:(a+bi)/(c+di)=(ac+bd)/(c²+d²)+i(bc-ad)/(c²+d²)
②利用共軛複數將分母實數化得（見右圖）：
點評：①是常規方法；②是利用初中我們學習的化簡無理分式時，都是採用的分母有理化思想方法，而複數c+di與複數c－di，相當於我們初中學習的 的對偶式，它們之積為1是有理數，而(c+di)·(c－di)=c2+d2是正實數.所以可以分母實數化.
把這種方法叫做分母實數化法。
怎麼解複平面的問題，此問題太大，就高中數學而言，和解平面解析幾何問題類似。
平面幾何問題的複數解法
複數是高中數學的重要內容之一,在中學數學中,有許多數學問題,如果我們能夠根據題目的具體特徵,將其轉化為複數問題,那麼這類數學問題往往可以得到復巧解妙證.
用複數方法解解平面幾何的基本思路是,首先運用複數表示複平面上的點,然後利用複數的模和幅角的有關性質,複數運算的幾何意義以及複數相等的條件,化幾何問題為複數問題來處理.
1.用於證三角形為正三角形
典型1.求證:若三角形重心與其外心重合,則該三角形必 為正三角形.
複數的複數與幾何
3樓：小青年
①幾何形式
複數 被複平面上的點 z（a，b ）唯一確定。這種形式使複數的問題可以藉助圖形來研究。也可反過來用複數的理論解決一些幾何問題。
②向量形式。複數z=a+bi用一個以原點o(0,0)為起點，點z(a,b)為終點的向量oz表示。這種形式使複數四則運算得到恰當的幾何解釋。
③三角形式。複數z=a+bi化為三角形式 z=r（cosθ+isinθ）
式中r=，是複數的模（即絕對值）
θ 是以x軸為始邊，射線oz為終邊的角，叫做複數的輻角，輻角的主值記作arg(z)
這種形式便於作複數的乘、除、乘方、開方運算。
④指數形式。將複數的三角形式z=r( cosθ+isinθ）中的cosθ+isinθ換為，複數就表為指數形式
用直線將複平面內任一點z與n相連， 必與球面相交於p點，則球面上除n點外的所有點和複平面上的所有點有一一對應的關係，而n點本身可代表無窮遠點， 記作。 這樣的球面稱作復球面。
除了複數的平面表示方法外， 還可以用球面上的點來表示複數。
擴充複數域---引進一個「新」的數；
擴充複平面---引進一個「理想點」； 無窮遠點 ∞。
約定：，，，
，。注： 若無特殊說明，平面均指有限複平面。
⑤複平面。由於一個複數z=x+iy由一對有序實數（x,y)唯一確定，所以對於平面上給定的直角座標系，複數的全體與該平面上點的全體成一一對應關係，從而複數z=x+iy可以用該平面上座標為（x,y)的點來表示，此時，x軸稱為實軸，y軸稱為虛軸，兩軸所在的平面稱為複平面或z平面。這樣，複數與複平面上的點一一對應，並且把「點z」作為「數z」的同義詞。
乘積與商
定理1 兩個複數乘積的模等於它們的模相乘，兩個複數乘積的輻角等於它們的輻角相加。
證明 設
則 因此，= 幾何意義 將複數z1按逆時針方向旋轉一個角度argz2，再將其伸縮到|z2|倍。
定理1可推廣到n 個複數的乘積。
定理2 兩個複數的商的模等於它們的模的商，兩個複數的商的輻角等於被除數與除數的輻角之差。
複數的乘冪
定義 n個相同的複數z 的乘積，稱為z 的n次冪，記作，即=（共n個）。
設z=，由複數的乘法定理和數學歸納法可證明
特別：當|z|=1時，即，
則有一棣模佛(de moivre)公式。
複數的方根
問題 給定複數，求所有的滿足的複數ω。
複數運算的幾何意義
複數a+bi、c+di分別對應複平面上以原點為起點的向量(a,b)與(c,d)。
兩者相乘相當於如下變換：
在複平面上
將向量(a,b)伸長或縮短複數c+di的模倍，然後逆時針轉過複數c+di輻角的度數，得到的新向量即是兩複數
乘積對應的向量。
如：(1+i)*(1+i)=2i。將向量(1,1)伸長為複數1+i的模倍(即根2倍)，然後逆時針轉過1+i的輻角度數(即45˙)，得到向量(0,2)，即乘積2i所對應的向量。
除法與乘法正好相反。
加法與減法的幾何意義：複數對應的向量在複平面上進行平行四邊形或三角形法則運算。
由此可見，複數的運算可以表示二維平面上的伸縮和旋轉變換。 鄰域：複平面上以z 0為中心，任意δ> 0為半徑的圓| z -z 0|<δ(或0 <| z –z 0|<δ) 內部的點的集合稱為點z 0 的δ（去心）鄰域 。
設g是一平面上點集
內點：對任意z0屬於g，若存在u(z 0 ,δ)， 使該鄰域內的所有點都屬於g，則稱z 0是g的內點。
開集：若g內的每一點都是內點，則稱g是開集。 區域：設d是一個開集，且d是連通的，稱d是一個區域。
連通是指d中任意兩點均可用完全屬於d的折線連線。
邊界與邊界點：已知點p不屬於d，若點p的任何鄰域中都包含d中的點及不屬於d的點，則稱p是d的邊界點；
閉區域 區域d與它的邊界一起構成閉區域,記為dˉ
有界區域與無界區域：若存在r > 0， 對任意z ∈d, 均有z∈g=，則d是有界區域；否則無界。 重點：
設連續曲線c：z=z(t)，a≤t≤b，對於t1∈(a，b)， t2 ∈[a, b]，當t1≠t2時，若z(t1)=z(t2)，稱z(t1)為曲線c的重點。
定義：稱沒有重點的連續曲線c為簡單曲線或jardan曲線;若簡單曲線c 滿足z(a)=z(b)時，則稱此曲線c是簡單閉曲線或jordan閉曲線。
簡單閉曲線的性質
任一條簡單閉曲線 c：z=z(t)，t∈[a，b]，把複平面唯一地分成三個互不相交的部分：一個是有界區域，稱為c的內部；一個是無界區域，稱為c的外部；還有一個是它們的公共邊界。
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