1樓:百度文庫精選
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求不定積分的方法:公式法,分項積分法,因式分解法「湊」微分法(第一換元法),第二換元法,分部微分法,有理函式的積分。
方法一:基本公式法
因為積分運算微分運算的逆運算,所以從導數公式可得到相應的積分公式。我們可以利用積分公式來算積分
例題:1.=2.=
3.4.方法二:分項積分法
將一整式分項計算積分
例題:1.
2.3.
方法三:因式分解法
分母是可因式分解的多項式,可用此方法做。
例題:1.
2.方法四:第一換元法————「湊」微分法
是求不定積分很重要的方法之一,可以解決大部分求積分的題。
例題:1.
2.3.
注:對比一下2,3,4題,他們長得很像,但解法不同,注意看規律:2——湊微分法
3——基本公式法。4——加點減點法。
5.6.
7.注;對比5,6,7題,觀察異同。5——「湊」微分;6——加點減點;7——「湊」微分和公式法。
8.9.
10.11.12.(注意:注意觀察分子和分母的關係)13.方法五:第二換元法————常用的三角恆等式:1.令x=dx=
=t=2.令(註釋:)
直接換原法:
方法六:分部積分法公式:「指 三 冪 反 對」按這個順序與結合
1.原式=這裡使用了兩次分部積分
2.3.(把被積表示式湊成的形式便可使用分部積分法
2樓:匿名使用者
答案是(2/√3)arctan[(2x+1)/√3] + c,第二類換元積分法你學了嗎?
x²+x+1 = (x²+x+1/4)+(3/4) = (x)²+2(x)(1/2)+(1/2)²+(3/4) = (x+1/2)²+(√3/2)²
∫ dx/(x²+x+1) = ∫ dx/[(x+1/2)²+(√3/2)²]
let u = x+1/2,du = dx
=> ∫ du/[u²+(√3/2)²]
let u = (√3/2)tanz,du = (√3/2)sec²zdz
=> ∫ (√3/2)sec²zdz / [(√3/2)²tan²z+(√3/2)²]
= ∫ (√3/2)sec²zdz / [(√3/2)²(tan²z+1)]
= ∫ sec²zdz / [(√3/2)sec²z] <= 恆等式1+tan²x = sec²x
= [1/(√3/2)]∫ dz
= (2/√3)z + c
= (2/√3)arctan[u/(√3/2)] + c
= (2/√3)arctan[(x+1/2)*(2/√3)] + c
= (2/√3)arctan[(2x+1)/√3] + c
3樓:匿名使用者
原式=∫dx/[(x+1/2)²+(√3/2)²]=4/3∫dx/[1+((2x+1)/√3)²]=2/√3∫d((2x+1)/√3)/[1+((2x+1)/√3)²]
=2arctan((2x+1)/√3)/√3+c
不定積分求解方法
4樓:計廷謙弭雀
說明下sinx/x的不定積分是積不出來的,或者說它積出來之後不可以用初等函式來表達,如果不是數學專業一般不會讓你去積這個的,常見不可積得函式有:
這些還是記住吧,以後別費力去求這些不定積分
不定積分求法?
5樓:孤狼嘯月
這道高等數學不定積分問題可以採用分子分母同時乘以e的x次方後進行求解。
計算不定積分
6樓:我是一個麻瓜啊
^常用積分公式:
1)∫0dx=c
2)∫x^udx=(x^(u+1))/(u+1)+c3)∫1/xdx=ln|x|+c
4)∫a^xdx=(a^x)/lna+c
5)∫e^xdx=e^x+c
6)∫sinxdx=-cosx+c
7)∫cosxdx=sinx+c
8)∫1/(cosx)^2dx=tanx+c9)∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c10)∫1/√(1-x^2) dx=arcsinx+c11)∫1/(1+x^2)dx=arctanx+c12)∫1/(a^2-x^2)dx=(1/2a)ln|(a+x)/(a-x)|+c
7樓:於海波司空氣
不定積分公式:∫f(x)dx=f(x)+c。其中∫叫做積分號,f(x)叫做被積函式,x叫做積分變數,f(x)dx叫做被積式,c叫做積分常數,求已知函式不定積分的過程叫做對這個函式進行積分。
不定積分的積分公式主要有如下幾類:
含ax+b的積分、含√(a+bx)的積分、含有x^2±α^2的積分、含有ax^2+b(a>0)的積分、含有√(a²+x^2) (a>0)的積分、含有√(a^2-x^2) (a>0)的積分、含有√(|a|x^2+bx+c) (a≠0)的積分。
含有三角函式的積分、含有反三角函式的積分、含有指數函式的積分、含有對數函式的積分、含有雙曲函式的積分。
8樓:聞人鬱
計算不定積分,首先要把握原函式與不定積分的概念,基本積分法只要熟記常見不定積分的原函式即可。
注意把握三種不定積分的計算方法:
直接積分法
2.換元積分法(其中有兩種方法)
3.分部積分法。
9樓:西域牛仔王
前面的過程是你自己寫的吧?該解法(令 x=sect)並不錯,
只是最後的表示式形式不同而已,本質是一樣的。
這是由於有公式 arcsinx + arccosx = π/2 。(-1 ≤ x ≤ 1)
10樓:說的人
||^∫secx=ln|secx+tanx|+c
推導:左邊=∫dx/cosx=∫cosxdx/(cosx)^2
=∫d(sinx)/[1-(sinx)^2]
令t=sinx,
=∫dt/(1-t^2)
=(1/2)∫dt/(1+t)+(1/2)∫dt/(1-t)
=(1/2)∫d(1+t)/(1+t)-(1/2)∫d(1-t)/(1-t)
=(1/2)ln|1+t|-(1/2)ln|1-t|+c
=(1/2)ln|(1+t)/(1-t)|+c
=(1/2)ln|(1+sinx)/(1-sinx)|+c //在對數中分子分母同乘1+sinx,
=(1/2)ln|(1+sinx)^2/(cosx)^2|+c
=ln|(1+sinx)/cosx|+c
=ln|1/cosx+sinx/cosx|+c
=ln(secx+tanx|+c=右邊,
∴等式成立。
提供一些給你!
∫ a dx = ax + c,a和c都是常數
∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + c,其中a為常數且 a ≠ -1
∫ 1/x dx = ln|x| + c
∫ a^x dx = (a^x)/lna + c,其中a > 0 且 a ≠ 1
∫ e^x dx = e^x + c
∫ cosx dx = sinx + c
∫ sinx dx = - cosx + c
∫ cotx dx = ln|sinx| + c
∫ tanx dx = - ln|cosx| + c = ln|secx| + c
∫ secx dx = (1/2)ln|(1 + sinx)/(1 - sinx)| + c = ln|secx + tanx| + c
∫ cscx dx = ln|tan(x/2)| + c = (1/2)ln|(1 - cosx)/(1 + cosx)| + c = - ln|cscx + cotx| + c = ln|cscx - cotx| + c
∫ sec^2(x) dx = tanx + c
∫ csc^2(x) dx = - cotx + c
∫ secxtanx dx = secx + c
∫ cscxcotx dx = - cscx + c
∫ dx/(a^2 + x^2) = (1/a)arctan(x/a) + c
∫ dx/√(a^2 - x^2) = arcsin(x/a) + c
∫ dx/√(x^2 + a^2) = ln|x + √(x^2 + a^2)| + c
∫ dx/√(x^2 - a^2) = ln|x + √(x^2 - a^2)| + c
∫ √(x^2 - a^2)dx=x/2√(x^2 - a^2)-a^2/2ln[x+√(x^2 - a^2)] + c
∫ √(x^2 +a^2)dx=x/2√(x^2 +a^2)+a^2/2ln[x+√(x^2 +a^2)] + c
∫ √(a^2 - x^2)dx=x/2√(a^2 - x^2)+a^2/2arcsin(x/a) + c
學習進步!望採納,o(∩_∩)o~
11樓:匿名使用者
^^令u=x+1/x
u'=1-1/x^2
注意到(x-1/x^3)/(1-1/x^2)=(x^4-1)/(x^3-x)=(x^2+1)/x=x+1/x=u
故原式=∫ue^udu
簡單的分佈積分
=ue^u+e^u+c
將u=x+1/x帶入即可。
ps:積分中含e^f(x),或是sinf(x),cosf(x)一般都需要將f(x)令為u來解。
12樓:匿名使用者
∫sin^4x dx
=∫(1-cos^2x )sin^2xdx=∫sin^2xdx-1/4∫(sin2x)^2dx=1/2∫(1-cos2x)dx-1/8∫(1-cos4x)dx=1/2x-1/2sin2x-1/8x+1/4sin4x+c=3/8x-1/2sin2x+1/4sin4x+c
13樓:匿名使用者
^^∫sinx/(1+sinx) dx
=∫[1- 1/(1+sinx)] dx
=x -∫dx/(1+sinx)
=x -∫(1-sinx)/[1-(sinx)^2] dx=x -∫(1-sinx)/(cosx)^2 dx=x -∫(secx)^2 dx +∫ [sinx/(cosx)^2] dx
=x -tanx +(1/cosx) +c
14樓:陸淩水鶴
軟體:mathematica,專解符號算式
15樓:秋葉靜美
第一題,(sint+cost)'=cost-sint。所以d(sint+cost)=(cost-sint)dt。
16樓:御巧蠻水凡
^解:(1)
設x=sint
,t=arcsinx,根號1-x^2=cost,dx=costdt
原式=∫[sint(arcsinsint)^2]/[cost]×costdt
=∫sint(arcsinsint)^2dt
=-∫(cost)'(arcsinsint)^2dt
=-(cost(arcsinsint)^2-∫2arcsinxdt)
=∫2arcsinxdarcsinx-cost(arcsinsint)^2
=(arcsinx)^2-[根號(1-x^2)](arcsinsinx)^2+c
(2)原式=1/3∫(e^3x)'(sinx)^2dx
=1/3((e^3x)(sinx)^2-∫(e^3x)2sinxcosxdx)
=1/3((e^3x)(sinx)^2-∫(e^3x)sin2xdx)①
=1/3((e^3x)(sinx)^2-1/3∫(e^3x)'sin2xdx)
=1/3((e^3x)(sinx)^2-1/3((e^3x)sin2x-2∫(e^3x)cos2xdx)
=1/3(e^3x)(sinx)^2-1/9(e^3x)sin2x+2/9∫(e^3x)cos2xdx
=1/3(e^3x)(sinx)^2-1/9(e^3x)sin2x+2/27∫(e^3x)'cos2xdx
=1/3(e^3x)(sinx)^2-1/9(e^3x)sin2x+2/27((e^3x)cos2x+2∫(e^3x)sin2xdx)②
①=②1/3((e^3x)(sinx)^2-∫(e^3x)sin2xdx)=1/3(e^3x)(sinx)^2-1/9(e^3x)sin2x+2/27((e^3x)cos2x+2∫(e^3x)sin2xdx)
所以∫(e^3x)sin2xdx=-27/13(1/3(e^3x)(sinx)^2-1/9(e^3x)sin2x+2/27(e^3x)cos2x-1/3(e^3x)(sinx)^2)
所以原式=1/3((e^3x)(sinx)^2--27/13(1/3(e^3x)(sinx)^2-1/9(e^3x)sin2x+2/27(e^3x)cos2x-1/3(e^3x)(sinx)^2)+c
xlnx不定積分,dxxlnx不定積分
點選檢視這張 訪問驗證碼是 994903請妥善保管 dx xlnx dlnx lnx dlnlnx lnlnx c 高數求不定積分 dx xlnxlnlnx 具體如圖所示 如果f x 是f x 在區間i上的一個原函式,那麼f x c就是f x 的不定積分,即 f x dx f x c。因而不定積分 ...
不定積分問題,不定積分問題?
這可以通過integration by parts得來的來。我這裡簡單做 自其中一個 c1 x e 2x sinx 2 dx e 2x e 2x sinx dx but e 2x sinx dx i 1 2 sinx de 2x 1 2 sinx e 2x 1 2 e 2x cosx dx 1 2 ...
不定積分問題,不定積分問題的?
中間的時候令x lnt,因為t 0,因此最後絕對值可以去掉,最後再換回來,望採納 不定積分問題?這可以通過integration by parts得來的來。我這裡簡單做 自其中一個 c1 x e 2x sinx 2 dx e 2x e 2x sinx dx but e 2x sinx dx i 1 ...