1樓：匿名使用者
解：空間曲線f（x,y,z）=0 繞z軸旋轉
1、解出x=f(z) , y=g(z)
2、旋轉體的方程為 xx+yy=f(z)f(z)+g(z)g(z)
其他同理
比如x+y=1繞y軸旋**
x=y-1 y=y
旋轉體的方程為 xx=(1-y)(1-y)。
體積為y-1*y。
y=-1， v1 = ∫<0,1> π[(x+1)^2-(x^2+1)^2]dx
= ∫<0,1> π(2x-x^2-x^4)dx = π[x^2-x^3/3-x^5/5]<0,1> = 7π/15
(2) 繞 x=-1， v2 = ∫<0,1> π[(√y+1)^2-(y+1)^2]dy
= ∫<0,1> π(2√y-y-y^2)dx = π[(4/3)y^(3/2)-y^2/2-y^3/3]<0,1> = π/2.
或用柱殼法， v2 = ∫<0,1> 2π(x+1)(x-x^2)dx
= ∫<0,1> 2π(x-x^3)dx = π[x^2-x^4/2]<0,1> = π/2
擴充套件資料
體積的計算公式
圓柱體的體積公式：體積=底面積×高 ，如果用h代表圓柱體的高，則圓柱＝s底×h
長方體的體積公式：體積=長×寬×高
如果用a、b、c分別表示長方體的長、寬、高則長方體體積公式為：v長=abc
正方體的體積公式：體積＝稜長×稜長×稜長
如果用a表示正方體的稜長，則正方體的體積公式為v正＝a·a·a＝a
錐體的體積=底面面積×高÷3 v 圓錐＝s底×h÷3
臺體體積公式:v=[ s上+√(s上s下)+s下]h÷3
圓臺體積公式:v=(r??+rr+r??)hπ÷3
球缺體積公式＝πh??(3r-h)÷3
球體積公式：v＝4πr/3
稜柱體積公式：v＝s底面×h＝s直截面×l （l為側稜長,h為高)
稜臺體積：v=〔s1＋s2＋開根號（s1*s2）〕／3*h
注：v：體積；s1：上表面積；s2：下表面積；h：高。
2樓：翌丨年
你可以理解為y+1=t，那麼繞y-1旋轉就相當於繞t=0旋轉（x軸是不動的，相當於y軸移動），r然後你要明白公式中（y-1）^2其實是等於f（x）的平方，這樣就好理解了
3樓：萌神
用相對思想，把y=-1想象成y=0，也就是繞x軸旋轉，v=pi*y+1的平方從1到2積分，再由y+1的平方=2-x*lnx，得題中步驟
4樓：匿名使用者
想象下幾何體，繞x軸（即y=0）時，pi*(y-0)^2是底面的圓面積，dx是高；繞(y=-1)時，底面圓面積是pi*(y-(-1))^2, 高還是dx.......
繞y=-1和繞x=-1的旋轉體體積怎麼求？請詳解！謝謝 30
5樓：甜美志偉
如：空間曲線f（x,y,z）=0 繞z軸旋轉
1、解出x=f(z) , y=g(z)
2、旋轉體的方程為 xx+yy=f(z)f(z)+g(z)g(z)
其他同理
比如x+y=1繞y軸旋**
x=y-1 y=y
旋轉體的方程為 xx=(1-y)(1-y)。
體積為y-1*y。
擴充套件資料：
體積的常用單位
立方米、立方分米、立方厘米、立方毫米
稜長是1毫米的正方體，體積是1立方毫米
稜長是1釐米的正方體，體積是1立方厘米
稜長是1分米的正方體，體積是1立方分米
稜長是1米的正方體，體積是1立方米
單位換算
1立方分米=1000立方厘米=1000000立方毫米=1升=1000毫升=0.061 立方英寸
1立方厘米=1000立方毫米=1毫升=0.000061 立方英寸
1 立方米=1000 立方分米=1000000立方厘米=1000000000立方毫米=0.353 立方英尺=1.3079 立方碼
1 立方英寸=0.016387 立方分米=16.387立方厘米=16387立方毫米
1立方英尺=28.3立方分米=28300立方厘米=28300000立方毫米
1 立方碼=27 立方英尺=0.7646 立方米=164.6立方分米=164600立方厘米=164600000立方毫米
1 立方尺 = 31.143蒲式耳(英) = 32.143 蒲式耳(美）
1 加侖(美) =0.0037854118 立方米 =0.8326741845 加侖（英）
6樓：匿名使用者
(1) 繞 y=-1， v1 = ∫<0,1> π[(x+1)^2-(x^2+1)^2]dx
= ∫<0,1> π(2x-x^2-x^4)dx = π[x^2-x^3/3-x^5/5]<0,1> = 7π/15.
(2) 繞 x=-1， v2 = ∫<0,1> π[(√y+1)^2-(y+1)^2]dy
= ∫<0,1> π(2√y-y-y^2)dx = π[(4/3)y^(3/2)-y^2/2-y^3/3]<0,1> = π/2.
或用柱殼法， v2 = ∫<0,1> 2π(x+1)(x-x^2)dx
= ∫<0,1> 2π(x-x^3)dx = π[x^2-x^4/2]<0,1> = π/2
7樓：匿名使用者
這個問題吧，我在那見過，我再去看看。
求圓盤（x-2）^2+y^2<=1繞y軸旋轉一週所得旋轉體的體積？ 用積分的方法！
8樓：裘珍
解：見下圖：這是用微元面積與旋轉半徑x*2π之積，用的是周長公式；考慮到圖形以x軸為對稱。用半圓做積分。√√√√
v=4π∫(1,3)xydx=4π∫(1,3)x√[1-(x-2)^2dx
=-2π∫(1,3)[(x-2)+2]√[1-(x-2)^2]d[1-(x-2)^2]
=-2π(2/3)√[1-(x-2)^2]^3](1,3)+8π∫(1,3)√[1-(x-2)^2d(x-2)
=0+4π(1,3)
=4π[0+arcsin1-arcsin(-1)]=4π[π/2-(-π/2)]=4π^2
9樓：可可西里洪世賢
體積相當於是 圓盤外圍轉一圈－圓盤與y軸夾的那部分轉一圈
10樓：970334725李
直接可以用圓心乘以圓心旋轉距離，公式！！
11樓：匿名使用者
該旋轉體就是一個圓環的形狀，求體積元dv可以用截面s乘以弧元dl，然後對sdl沿著圓周求積分得v=∫dv=∫sdl，由於s是常量，所以v=s*∫dl=s*2πr=π*4π=4π²。
積分中的旋轉體求體積問題 y=(x^2)+1, y=0 , x=0, x=1, 繞著y軸轉
12樓：匿名使用者
思路：畫出積分割槽域，然後使用以前學過的計算體積的公式計算微元體積即可。如下圖所示，取微元，繞y旋轉後得到一個圓筒，圓筒的上底面後近似為長方形：
長為圓周長 2πx，寬為dx，所以面積 2πxdx。而圓筒的高為 y，所以體積 dv = 2πxdx * y = 2πx(x^2+1)dx
過程：參考下圖
求圓盤（x-2）2+y2≤1繞y軸旋轉所成的旋轉體體積
13樓：
圓盤(x-2)^2+y^2≤1繞y軸旋轉所成的旋轉體體積為4π^2。
解：因為由(x-2)^2+y^2=1，可得，
x=2±√(1-y^2)。
又(x-2)^2+y^2≤1，那麼可得1≤x≤3，-1≤y≤1。
那麼根據定積分求旋轉體體積公式，以y為積分變數，可得體積v為，
v=∫(-1,1)(π*(2＋√(1-y^2))^2-π*(2-√(1-y^2))^2)dy
=8π∫(-1,1)√(1-y^2)dy
令y=sint，由於-1≤y≤1，那麼-π/2≤t≤π/2，那麼
v=8π∫(-1,1)√(1-y^2)dy
=8π∫(-π/2,π/2)costdsint
=4π∫(-π/2,π/2)(cos2t+1)dt
=4π∫(-π/2,π/2)1dt+2π∫(-π/2,π/2)(cos2t)d(2t)
=4π*(π/2-(-π/2))+2π*(sinπ-sin(-π))
=4π^2+0
=4π^2
擴充套件資料：
1、定積分∫(a,b)f(x)dx的性質
（1）當a=b時，∫(a,b)f(x)dx=0。
（2）當a>b時，∫(a,b)f(x)dx=-∫(b,a)f(x)dx。
（3）常數可以提到積分號前。即∫(a,b)k*f(x)dx=k*∫(a,b)f(x)dx。
2、定積分的解答方法
（1）換元積分法
如果f(x)∈c([a,b])，且x=ψ(t)在[α,β]上單值、可導，那麼當α≤t≤β時，a≤ψ(t)≤b，且ψ(α)=a，ψ(β)=b，則∫(a,b)f(x)dx=∫(α,β)f(ψ(t))*ψ′(t)dt。
（2）分部積分法
設u=u(x)，v=v（x)均在區間[a,b]上可導，且u′，v′∈r（[a,b])，則有分部積分公式為，
∫(a,b)uv′dx=uv(a,b)-∫(a,b)vu′dx。
3、利用定積分求旋轉體的體積
（1）找準被旋轉的平面圖形，它的邊界曲線直接決定被積函式。
（2）分清端點。
（3）確定幾何體的構造。
（4）利用定積分進行體積計算。
14樓：北
據對稱性，所求旋轉體體積是上半圓盤繞y軸旋轉所成的旋轉體體積v1的2倍，因此
v＝2(∫10
πx22(y)dy?∫10
πx21(y)dy)
=2π∫
π/20
(2+cost)
costdt?2π∫
π/2π
(2+cost)
costdt
=2π∫π0
(2+cost)
costdt=4π2．
15樓：榕花麗潔心
上半圓：y1=2+√(1-x²); 下半圓：y2=2-√(1-x²);
v=2[∫π*y1²dx - ∫π*y2²dx](上式 上限為1，下限為-1)
=4*π* ∫[ (2+√(1-x²))² - (2-√(1-x²))² ]dx
(上式 上限為1，下限為0,以下相同)
=16*π*∫√(1-x²)dx
令x=sint dx=cost dt(以下式子上限為π/2，下限為0)
∴v=16*π*∫cos²tdt
=8*π*∫(cos2t+1)dt 二倍角公式=4*π*∫cos2t d(2t) + 8*π*∫dt=4*π²
求繞x軸旋轉的旋轉體體積，高數定積分
y x 4 y x 1 3 旋轉體的體積 0,1 x 2 3 x 8 dx 有疑問歡迎追問。高數定積分的應用，求繞x軸旋轉體體積 計算旋轉體的體積分情況可以有兩種方法 扁柱體法和薄殼法，教材上有例題的，這裡怎麼說都不如教材清楚，翻翻書如何？大一高等數學求旋轉體體積定積分表示式 有些符號不好打，我給你...
求y2x,yx2,繞y軸所產生的旋轉體的體積，要過程
y 2 x,y x 2聯立解得交點是 0,0 1,1 旋轉體的體積 0,1 y 2 y 2 2 dy y 2 2 y 5 5 0,1 3 10 求由曲線y x 2及x y 2所圍圖形繞x軸旋轉一週所生成的旋轉體的體積。最好有圖形和計算的詳細過程，謝謝。15 解 易知圍成圖形為x定義在 0，1 上的兩...
關於定積分幾何應用求繞x 2旋轉體積繞x軸我會但是繞x 2就不會了求指點
題主給出 bai的解法被稱為微元法，而du 且是在橫座標為x處取zhi的寬為daodx的圓環薄片，此時薄片的高專等於上面的曲線對應的函屬數 2x x 2 減去下面的曲線對應的函式x，而圓環薄片的半徑是 2 x 所以體積微元 dv 2 2 x 2x x 2 x dx.而所求體積自然是上述微元從0到1積...