線性代數特徵值與特徵向量問題如圖

2021-03-03 20:29:00 字數 6223 閱讀 3161

1樓:匿名使用者

觀察行列式|λe-a|,你就會發現所有的λ的n-1次方項,係數都是對角線上的元素的相反數。合併後,λ的n-1次方係數就是主對角線元素的和的相反數。

然後,任意一個λ的n次多項式,一定可以轉化成(λ-λ1)(λ-λ2)……(λ-λn)的形式,令其等於0,λ1……λn就是根(在這裡就是特徵值)。注意這裡面可能存在複數。你再觀察這個多項式裡的λ的n-1次方的係數(高中排列組合知識),很容易發現,最後整理出來λ的n-1次方係數就是-(λ1+λ2+……+λn)。

對比前面兩個就知道特徵值的和,等於主對角線的和。

線性代數特徵向量問題 如圖 為什麼特徵值變化了不會影響特徵向量的改變?求點解

2樓:匿名使用者

這和特徵值,特徵向量的定義有關。

下面作一簡要介紹。

若n階矩陣a,滿足aα=λα,α≠0,則稱λ為a的特徵值,α是屬於λ的特徵向量。

已知a的特徵值λ,特徵向量α。即aα=λα

等式兩端左乘a*,考慮到a*a=|a|e

則a*α=|a|/λ α,根據定義,a*的特徵值為|a|/λ,對應的特徵向量為α

b=(e+a*)²

等式兩端左乘a*

那麼bα=(e+a*)²α=(e+2a*+a*²)α= α+2a*α+a*²α,考慮到a*α=|a|/λ α

得bα=(1+2|a|/λ+|a|²/λ²)α,根據定義,b的特徵值為(1+2|a|/λ+|a|²/λ²)

對應的特徵向量為α。

實際上,對於矩陣多項式f(a),有f(λ)滿足。

根據上述推導過程,p-1ap的特徵值是多少,特徵向量又是多少呢?

newmanhero 2023年8月8日22:12:36

希望對你有所幫助,望採納。

線性代數,求特徵值和特徵向量

3樓:dear豆小姐

||特徵值  λ = -2, 3, 3,特徵向量

: (1    0    -1)^t、(3     0     2)^t。

解:|λe-a| =

|λ-1       -1          -3|

| 0         λ-3         0|

|-2         -2           λ|

|λe-a| = (λ-3)*

|λ-1        -3|

|-2           λ|

|λe-a| = (λ-3)(λ^2-λ-6) = (λ+2)(λ-3)^2

特徵值  λ = -2, 3, 3

對於 λ = -2, λe-a =

[-3      -1      -3]

[ 0      -5       0]

[-2      -2      -2]

行初等變換為

[ 1       1         1]

[ 0       1         0]

[ 0       2         0]

行初等變換為

[ 1       0         1]

[ 0       1         0]

[ 0       0         0]

得特徵向量 (1    0    -1)^t。

對於重特徵值 λ = 3, λe-a =

[ 2      -1      -3]

[ 0       0       0]

[-2      -2      3]

行初等變換為

[ 2      -1      -3]

[ 0      -3       0]

[ 0       0       0]

行初等變換為

[ 2       0      -3]

[ 0       1       0]

[ 0       0       0]

得特徵向量 (3     0     2)^t。

答:特徵值  λ = -2, 3, 3,特徵向量: (1    0    -1)^t、(3     0     2)^t。

擴充套件資料

特徵值是線性代數中的一個重要概念。在數學、物理學、化學、計算機等領域有著廣泛的應用

設 a 是n階方陣,如果存在數m和非零n維列向量 x,使得 ax=mx 成立,則稱 m 是a的一個特徵值(characteristic value)或本徵值(eigenvalue)。

非零n維列向量x稱為矩陣a的屬於(對應於)特徵值m的特徵向量或本徵向量,簡稱a的特徵向量或a的本徵向量。

矩陣的特徵向量是矩陣理論上的重要概念之一,它有著廣泛的應用。數學上,線性變換的特徵向量(本徵向量)是一個非簡併的向量,其方向在該變換下不變。該向量在此變換下縮放的比例稱為其特徵值(本徵值)。

4樓:匿名使用者

|a-λ

e| =

1-λ 2 3

2 1-λ 3

3 3 6-λ

r1-r2

-1-λ 1+λ 0

2 1-λ 3

3 3 6-λ

c2+c1

-1-λ 0 0

2 3-λ 3

3 6 6-λ

= (-1-λ)[(3-λ)(6-λ)-18]= (-1-λ)[λ^2-9λ]

= λ(9-λ)(1+λ)

所以a的特徵值為 0, 9, -1

ax = 0 的基礎解係為: a1 = (1,1,-1)'

所以,a的屬於特徵值0的全部特徵向量為: c1(1,1,-1)', c1為非零常數.

(a-9e)x = 0 的基礎解係為: a2 = (1,1,2)'

所以,a的屬於特徵值9的全部特徵向量為: c2(1,1,2)', c2為非零常數.

(a+e)x = 0 的基礎解係為: a3 = (1,-1,0)'

所以,a的屬於特徵值-1的全部特徵向量為: c3(1,-1,0)', c3為非零常數.

5樓:匿名使用者

你好,滿意請採納哦!

|a-λe|=

2-λ 3 2

1 8-λ 2

-2 -14 -3-λ

= -(λ-1)(λ-3)^2=0

解得特徵值為1,3,3

1對應的特徵向量:

(a-e)x=0

係數矩陣:

1 3 2

1 7 2

-2 -14 -4

初等行變換結果是:

1 0 2

0 1 0

0 0 0

所以特徵向量是[-2 0 1]^t

3對應的特徵向量:

(a-3e)x=0

係數矩陣:

-1 3 2

1 5 2

-2 -14 -6

初等行變換結果是:

1 1 0

0 2 1

0 0 0

所以特徵向量是[1 -1 2]^t

6樓:

一個基本結論:

矩陣所有特徵值的和為主對角線上元素的和。

所以,兩個特徵值之和為

1+3=4

7樓:匿名使用者

λ||λ|λe-a| =

|λ-1 -1 -3|| 0 λ-3 0||-2 -2 λ||λe-a| = (λ-3)*

|λ-1 -3|

|-2 λ|

|λe-a| = (λ-3)(λ^2-λ-6) = (λ+2)(λ-3)^2

特徵值 λ = -2, 3, 3

對於 λ = -2, λe-a =

[-3 -1 -3]

[ 0 -5 0]

[-2 -2 -2]

行初等變換為

[ 1 1 1][ 0 1 0][ 0 2 0]行初等變換為

[ 1 0 1][ 0 1 0][ 0 0 0]得特徵向量 (1 0 -1)^t對於重特徵值 λ = 3, λe-a =

[ 2 -1 -3]

[ 0 0 0]

[-2 -2 3]

行初等變換為

[ 2 -1 -3]

[ 0 -3 0]

[ 0 0 0]

行初等變換為

[ 2 0 -3]

[ 0 1 0]

[ 0 0 0]

得特徵向量 (3 0 2)^t.

8樓:豆賢靜

題目給的條件是a的秩為2,所以在特徵值為-2的時候,最多隻有兩個特徵向量。

9樓:小樂笑了

|λi-a| =

λ-1    -1    -3

0    λ-3    0

-2    -2    λ

= (λ-1)(λ-3)λ-2×3×(λ-3) = (λ-3)(λ+2)(λ-3) = 0

解得λ=-2,3(兩重)

10樓:匿名使用者

求 λ-2 2 0

2 λ-1 2

0 2 λ

行列式值為0的解。

得特徵值為 -2,1,4。

對λ^3-3λ^2-6λ+8進行因式分解。

一般求特徵值時的因式分解步驟都不難, 上式容易看出1是它的一個零點,提取出λ-1,得到

λ^3-3λ^2-6λ+8=(λ-1)(λ^2-2λ-8)

11樓:匿名使用者

一個線性方程組的基礎解系是這樣的一個解向量組:

12樓:徐臨祥

1.首先讓我們來了解一下特徵值和特徵向量的定義,如下:

2.特徵子空間基本定義,如下:

3.特徵多項式的定義,如下:

13樓:蒯懿靖迎夏

此題中,由於是實對稱矩陣,特徵向量互相垂直,所以η·η1=0,所以

x2+x3=0。在滿足該條件的基礎上任取互相垂直的向量選作η2、η3(只要滿足該條件,就屬於

λ=1對應特徵向量的解空間),即可。

對矩陣a,方程

ax=λx(x待求向量,λ待求標量),的解x稱為a的特徵向量,

λ為對應的特徵值,特徵值特徵向量問題是線性代數學習、研究的一個重要模組。

一般求解辦法:

第一步,求解方程:det(a-λe)=0

得特徵值

λ第二步,求解方程:(a-λe)x=0

得對應特徵向量

x特徵值特徵向量問題的應用比較廣泛:

線性代數領域——化簡矩陣(即矩陣對角化、二次型標準化等),計算矩陣級數

高等數學領域——解線性常係數微分方程組、判斷非線性微分方程組在奇點處的穩定性

物理——矩陣量子力學

……以上僅僅是筆者接觸到的一些應用。

14樓:洛德業劇溫

線性代數是數學的一個分支,它的研究物件是向量,向量空間(或稱線性空間),線性變換和有限維的線性方程組。向量空間是現代數學的一個重要課題;因而,線性代數被廣泛地應用於抽象代數和泛函分析中;通過解析幾何,線性代數得以被具體表示。線性代數的理論已被泛化為運算元理論。

由於科學研究中的非線性模型通常可以被近似為線性模型,使得線性代數被廣泛地應用於自然科學和社會科學中。

特徵值是線性代數中的一個重要概念。在數學、物理學、化學、計算機等領域有著廣泛的應用。

數學上,線性變換的特徵向量(本徵向量)是一個非退化的向量,其方向在該變換下不變。該向量在此變換下縮放的比例稱為其特徵值(本徵值)。一個線性變換通常可以由其特徵值和特徵向量完全描述。

特徵空間是相同特徵值的特徵向量的集合。

設a為n階矩陣,根據關係式ax=λx,可寫出(λe-a)x=0,繼而寫出特徵多項式|λe-a|=0,可求出矩陣a有n個特徵值(包括重特徵值)。將求出的特徵值λi代入原特徵多項式,求解方程(λie-a)x=0,所求解向量x就是對應的特徵值λi的特徵向量。

線性代數特徵值特徵向量問題求解,線性代數特徵值與特徵向量問題如圖?

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