為什麼證明數列極限的時候要取任意給定的，而不取某

1樓：戴晚竹尚胭

因為給定一個ε的話，比如等於1

，就出現當另外一個ε=2時

這個東西不成立，就是沒有極限，這不符合極限的定義

高等數學，數列的極限，數列極限的定義中的n為什麼與給定的正數ε有關？

2樓：風葟成韻

我學高數老師幫助我們理解的方法是這樣。

n和ε的關係是，假如你說這個極限xn趨近於5，怎麼證明呢？你說當我n超大的時候，大於你給出任何一個正數n的時候，你再隨便給我一個最小最小的數，我用xn-5得到的值比這個最小最小的數都小，那麼在數學上這好像就是趨近於0了，就說明xn的極限就是5了。

好理解了點嗎？

3樓：為了生活奔波

樓上的人亂講，這個數是一個精度，表示足夠小的數，例如1,100,1000明顯是很大的數，不可以取！ε是一個足夠小的數，小極了！你要問我小到什麼程度？

太小了，我說不出來有多小。這樣解釋能理解的吧？？

4樓：盛曼華鬱嫻

無窮小與有界函式的極限存在，但是極限為1的數列與極限為無窮的數列乘積不一定存在。

舉個反例an=1+1/n

當n趨於無窮時數列an的極限為1

bn=n

bn的極限為無窮

乘積anbn=n+1，極限不存在

關於數列極限定義中的任意給定的正數ε的取值範圍。

5樓：匿名使用者

樓上的人亂講，這個數是一個精度，表示足夠小的數，例如1,100,1000明顯是很大的數，不可以取！ε是一個足夠小的數，小極了！你要問我小到什麼程度？

太小了，我說不出來有多小。這樣解釋能理解的吧？？

6樓：匿名使用者

∀ε>0

當然可以100，1000

7樓：匿名使用者

如果小於1成立，當然大於1肯定成立。它可以是任意正實數

用反證法證明極限的唯一性時，為什麼取ε=(b-a)/2

8樓：angela韓雪倩

具體原因如下：

證明如下：

假設存在a，b兩個數都是函式f(x)當x→x。的極限，且a據極限的柯西定義，有如下結論：

任意給定ε>0（要注意，這個ε是對a，b都成立）。

總存在一個δ1>0，當0《丨x-x。丨<δ1時，使得丨f（x）-a丨<ε成立。

總存在一個δ2>0，當0《丨x-x。丨<δ2時，使得丨f（x）-b丨<ε成立。

上面的不等式可以等價變換為a-ε令δ=min，當0《丨x-x。丨<δ時。①，②兩個不等式同時成立。

因為①，②兩個不等式同時成立，所以①式右端必定大於或等於②式左端。

即：b-ε≤a+ε，移項得：(b-a)/2≤ε,因為(b-a)/2是一個確定大小的正數，所以這個結論與極限的定義：

ε可以任意小矛盾，所以假設不成立，因此不存在a，b兩個數都是f（x）的極限，除非a=b矛盾才不會出現。

倘若是x趨於無窮大時的唯一性證明可以參看高數書數列極限唯一性證明，證法完全一樣。

證畢。擴充套件資料：

反證法的邏輯原理是逆否命題和原命題的真假性相同。

實際的操作過程還用到了另一個原理，即：

原命題和原命題的否定是對立的存在：原命題為真，則原命題的否定為假；原命題為假，則原命題的否定為真。

若原命題：

為真先對原命題的結論進行否定，即寫出原命題的否定：p且¬q。

從結論的反面出發，推出矛盾，即命題：p且¬q 為假（即存在矛盾）。

從而該命題的否定為真。

再利用原命題和逆否命題的真假性一致，即原命題：p⇒q為真。

誤區：否命題與命題的否定是兩個不同的概念。

命題的否定只針對原命題的結論進行否定。而否命題同時否定條件和結論：

原命題：p⇒q；

否命題：¬p⇒¬q；

逆否命題：¬q⇒¬p；

命題的否定：p且¬q。

原命題與否命題的真假性沒有必然聯絡，但原命題和原命題的否定卻是對立的存在，一個為真另一個必然為假。

已知某命題：若a，則b，則此命題有4種情況：

1.當a為真，b為真，則a⇒b為真，得¬b⇒¬a為真；

2.當a為真，b為假，則a⇒b為假，得¬b⇒¬a為假；

3.當a為假，b為真，則a⇒b為真，得¬b⇒¬a為真；

4.當a為假，b為假，則a⇒b為真，得¬b⇒¬a為真；

∴一個命題與其逆否命題同真假。

即反證法是正確的。

假設¬b，推出¬a，就說明逆否命題是真的,那麼原命題也是真的。

但實際推證的過程中，推出¬a是相當困難的，所以就轉化為了推出與¬a相同效果的內容即可。這個相同效果就是與a（已知條件）矛盾，或是與已知定義、定理、大家都知道的事實等矛盾。

9樓：林清他爹

我告訴你怎麼來的

證明如下：

假設存在a，b兩個數都是函式f(x)當x→x。的極限，且a，根據極限的柯西定義，有如下結論：

任意給定ε>0（要注意，這個ε是對a，b都成立）。

總存在一個δ1>0，當0《丨x-x。丨<δ1時，使得丨f（x）-a丨<ε成立。

總存在一個δ2>0，當0《丨x-x。丨<δ2時，使得丨f（x）-b丨<ε成立。

上面的不等式可以等價變換為a-ε

令δ=min，當0《丨x-x。丨<δ時。①，②兩個不等式同時成立。

因為①，②兩個不等式同時成立，所以①式右端必定大於或等於②式左端。

即：b-ε≤a+ε，移項得：(b-a)/2≤ε,因為(b-a)/2是一個確定大小的正數，所以這個結論與極限的定義：

ε可以任意小矛盾，所以假設不成立，因此不存在a，b兩個數都是f（x）的極限，除非a=b矛盾才不會出現。

倘若是x趨於無窮大時的唯一性證明可以參看高數書數列極限唯一性證明，證法完全一樣。證畢。

10樓：匿名使用者

這樣a與b的ε=(b-a)/2鄰域正好無交集，取得更小點也行，但最大隻能取這個，否則兩個鄰域的交非空，證不出

高數的柯西極限存在準則必要性證明中為什麼用數列極限定義時是ε/2，而不是ε？

11樓：西域牛仔王

那是為了湊定義，最後要 ＜ ε。

如果直接用定義，最後是 ＜ 2ε，

但這絲毫不影響定義和證明，同樣是完美的。

證明收斂數列的極限唯一時，為什麼取ε=b-a/2或更小，若取ε大於b-a/2有何

12樓：

這樣a與b的ε=(b-a)/2鄰域正好無交集，取得更小點也行，但最大隻能取這個，否則兩個鄰域的交非空，證不出

數列極限定義中，ε的取值

13樓：思念那條魚

這樣理解不全面。因為表達無限接近，不能用一個確定的數。要理解這個問題，關鍵是理解ε的實質。

（1）：ε具有任意性，因為既然表達任意接近，那麼ε可以任意取正值，惟其可以任意取值，才可準確表達極限定義中「無限接近」的含義。但為了突出「無限接近」通常取0<ε<1，這是因為，多說人對用0<ε<1表示無限接近，心理上比較容易認可，便於接受；再者，既然0<ε<1時成立，毫無疑問，ε>=1時也成立。

（2）ε具有確定性，一旦取定了某個ε的值，就把它暫時看做確定的，以便由它確定相應的⊿(應為小寫希臘字母德爾塔）。

至於你說的「如果ε取大於1的數，不能表達無限接近的意思」，這個問題本身就值得商榷，因為，證明函式的極限是某個常數時，不能把ε取定為某個具體的正數，不管它大於0小於1，還是大於等於1，只要取定一個具體數，就是不允許的，也是錯誤的。但如果是證明某個常數不是某個函式的極限，卻可以取定一個具體正數ε（比如，取ε=1/2，1/3,甚至ε=2，3……也未嘗不可）。

既然你沒有把它當成一個具體數，那麼根據你的需要，你可以作任何假設，因為它可以代表任意的正數。

關於數列極限的問題。對於任意給定的ε>0,存在n屬於n+,當n>n時,不等式|xn-a|