1樓：勤奮的
這個可以用引數積分的方法求出來。
設 f(x)=sum c_^i x^i=sum (k+i)! /(k! i!) x^i, i 從0到無窮，|x|<1。
則對 f(x)積分一次得f_1= sum (k+i)!/[k! (i+1)!] x^, (這裡我們取最簡單的那個原函式，後面的情況類似) 以此類推
對 f 積分 k 次得到
f_k=sum (k+i)!/[k! (i+k)!] x^=sum x^/k! =x^k/k! sum x^=x^k/[k! (1-x)] .
由於 (x^k-1)/(1-x)=-(x^+x^+...+x+1)，
f_k=-(x^+x^+...+x+1)/k!+1/[k! (1-x)], 再對 f_k（x）求 k 次導數, 前面的多項式項消失了，只剩下後面那一項的 k 階導數。
所以 f(x)=(f_k 求 k 次導）=1/(1-x)^ 。
2樓：巴山蜀水
是不是漏了條件？比如k與i的關係等。
高數中，請問這個級數求和是怎麼來的?
3樓：匿名使用者
用傅立葉級數可以得到
設f(x)=x²,x∈[-π,π],把它擴充套件成周期為2π的周期函式,即f(x)=(x-2kπ)²,x∈[2kπ-π,2kπ+π],k=0,±1,±2,...
擴充套件之後的f(x)在整個數軸上連續,並且在一個週期[-π,π]上只有x=0一個極值點,即滿足傅立葉級數的收斂條件
∴在[-π,π]上f(x)的傅立葉級數就收斂至f(x)
f(x)是偶函式,所以可以為餘弦級數,計算傅立葉係數:
a0=2/π*∫x²dx=2/π*π³/3=2π²/3
an=2/π*∫x²cosnxdx,利用分部積分法
令x²=u,cosnxdx=dv,則du=2xdx,v=1/n*sinnx
於是∫x²cosnxdx=uv-∫vdu=x²/n*sinnx-2/n*∫sinnx*xdx
對∫xsinnxdx再進行一次分部積分,令x=u,sinnxdx=dv,則du=dx,v=-1/n*cosnx
∫x²cosnxdx=x²/n*sinnx-2/n*∫sinnx*xdx
=x²/n*sinnx-2/n*(-x/n*cosnx+1/n*∫cosnxdx)
=x²/n*sinnx+2x/n²*cosnx-2/n³*sinnx+c
把上下限代入得∫x²cosnxdx=2π/n²*cosnπ=(-1)^n*2π/n²
於是an=2/π*(-1)^n*2π/n²=(-1)^n*4/n²
∴f(x)=a0/2+∑(n=1→∞)ancosnx=π²/3+∑(n=1→∞)(-1)^n*4/n²*cosnx,x∈[-π,π]
f(x)在x=π處左連續,∴π²=π²/3+∑(n=1→∞)(-1)^n*4/n²*cosnπ
2π²/3=4∑(n=1→∞)1/n²
∑(n=1→∞)1/n²=2π²/(3*4)=π²/6
4樓：數學劉哥
計算方法不是唯一的，還可以利用傅立葉級數計算，這個問題叫巴塞爾問題，你搜一下會得到很多解答
冪級數求和
5樓：波動**
冪級數是微積分中十分重要的內容之一，而求冪級數的和函式是一類難度較高、技巧性較強的問題。求解冪級數的和函式時，常通過冪級數的有關運算（恆等變形或分析運算）把待求級數化為易求和的級數（即常用級數，特別是幾何級數），求出轉化後的冪級數和函式後，再利用上述運算的逆運算，求出待求冪級數的和函式。
對1/n^2求和，這個級數為何是收斂的？
6樓：
因為這個是個p-級數，因為p>1,所以是收斂的。具體我給你證明一下p-級數的斂散性，比你這倒題目本身更有意義。具體看我的空間，給我5分鐘做**！
7樓：
1/n^2<=1/(n-1)-1/(n)
1/n^2求和<=1-1/n
n趨於無窮時1/n^2之和<=1，>0
又f（n)=1/n^2之和，是單增的
故單調有界必收斂
8樓：
目前只能算到n趨於無窮大的極限=pai^2/6
具體的算式還沒能求出
而且在實際應用中也是沒有意義的
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級數收斂的必要條件是一般項趨於0。這個級數的一般項不趨於0 分子分母同除以e n就知道它是無窮大量 所以級數是發散的。求一道高數題怎樣證明一個交錯級數是發散能 一般的用萊布尼茨判別法,其他的方法有泰勒級數 先考慮通項是否趨於0,其次取絕對值以後利用柯西判別法或達朗貝爾判別法去判定結果是否大於1.如果...