如何在基礎有限域的基礎上通過不可約多項式進行域的擴張

1樓：牛奶咖啡加糖

問題抄的敘述有些概念不清.要討論極小多項式必需指明是哪個元素在哪個域上的極小多項式.具體來說,若k是f的一個擴域,a是k中的元素並在f上為代數元,則a所滿足的,係數在f中的,首一不可約(在f[x]中)多項式(是唯一的)就是a在f上的極小多項式.對。

哪位高手能能解決一下近世代數（抽象代數）中有限域中的習題，不甚感激！

2樓：

如果我來做, 順序是這樣的.

易驗證f(x)在f_2上沒有零點, ∴f(x)是不可約的(∵是3次多項式).

f(x)是α滿足的首一的不可約多項式, 即為極小多項式.

∵α的極小多項式是3次多項式, ∴f_2(α)是f_2的3次擴張.

換個說法, f_2(α)是f_2上的3維線性空間, ∴元素個數為2³ = 8.

1, α, α²構成一組基, f_2(α) = .

至於α的階, ∵α屬於f_2(α)的乘法群, 這是一個7階群, ∴α^7 = 1, 又∵α ≠ 1, ∴α階為7.

直接計算α的階也是可以的.

α³+α+1 = 0, 即α = 1+α³, ∴α² = (1+α³)² = 1+α^6, ∴α^7 = α³-α = 1, 又∵α ≠ 1, ∴α階為7.

分圓多項式在z上不可約怎麼證明

3樓：百變精鋼天枰

分圓多項式指某抄個n次本原bai單位根滿足的最小次du數的首1的整係數多項式

（zhi它必定是不dao可約多項式）.

於整係數多項式我們還有一個簡單的事實:如果多項式f(x)在有理數域上可約,那麼對任意的素數p,f(x)(modp)也可約.反過來,如果存在素數p,f(x)(modp)不可約,那麼f(x)必定是不可約的.

這就為判定不可約多項式提供了另一個有效的法則,它把有理數域(整數環)上的多項式轉化到了一個有限域上去了,這個有限域正是素域$z_p$.這樣事實上我們必須要建立有限域上的多項式的理論,才能更好的應用這個方法下面的一個例子是這方面的一個典型應用:

我們將多項式$x^n-1$分解,它所分解得到的不可約多項式稱為分圓多項式.事實上,分圓多項式的定義可以用以下的方式來得到:設ε是$x^n-1=0$的一個根,即ε是n次單位根,如果對任意的自然數k

由所有n次本原單位根構成的多項式就稱為n次分圓多項式.