1樓：墨汁諾
最簡單的例子：單位矩陣
e＝1 0 0
0 1 0
0 0 1
單位矩陣就是對稱正定矩陣。證明也很簡單，對於任一個非零向量x，都有x'ex=x'x＝|x|^2>0，只有當x=0向量時，x'ex才等於0，所以是正定矩陣。
如果想找一個複雜點的，那用任意一個3階可逆矩陣a，讓它與它的轉置矩陣a'相乘，得到的矩陣就是一個3階對稱正定矩陣。
正定矩陣
（1）廣義定義：設m是n階方陣，如果對任何非零向量z，都有ztmz> 0，其中zt 表示z的轉置，就稱m為正定矩陣。
例如：b為n階矩陣，e為單位矩陣，a為正實數。在a充分大時，ae+b為正定矩陣。（b必須為對稱陣）
（2）狹義定義：一個n階的實對稱矩陣m是正定的的條件是當且僅當對於所有的非零實係數向量z，都有ztmz> 0。其中zt表示z的轉置。
2樓：二胡
a=2 1 1
1 2 -1
1 -1 3
a'ans =
2 1 1
1 2 -1
-1 -1 3
a'*a
ans =
6 3 0
3 6 -6
0 -6 11
b =1 0 0
0 1 0
0 0 1
a'*b*a
ans =
6 3 0
3 6 -6
0 -6 11
什麼是對稱正定矩陣
3樓：匿名使用者
令a為 階對稱矩陣，若對任意n 維向量 x 0都有 ＞0(≥0)則稱a正定（半正定）矩陣；反之，令a為n 階對稱矩陣，若對任意 n 維向量 x≠0 ,都有 ＜0（≤ 0）， 則稱a負定（半負定）矩陣。
4樓：匿名使用者
對任意n維實向量x≠0, 數xax'>0（假設a是n乘n的）
什麼是正定矩陣
5樓：文子
廣義定義：設m是n階方陣，如果對任何非零向量z，都有ztmz> 0，其中zt 表示z的轉置，就稱m為正定矩陣。
例如：b為n階矩陣，e為單位矩陣，a為正實數。在a充分大時，ae+b為正定矩陣。（b必須為對稱陣）
狹義定義：一個n階的實對稱矩陣m是正定的的條件是當且僅當對於所有的非零實係數向量z，都有ztmz> 0。其中zt表示z的轉置。
6樓：電燈劍客
a是n階實矩陣，x是n維實的列向量。如果對任何非零的x，x^t*a*x>0，那麼稱a是正定矩陣，注意這裡x^t*a*x是一個實數(1x1矩陣)。
至於那個偏導，直接按定義求不就行了。
看上去你在看 x^t*a*x/2+b^t*x 的最值問題和方程 ax=b 的聯絡，不過你的基本功看起來缺失了不少，如果不把基本功補好的話搭空中樓閣是沒有多大意義的。
正定矩陣的幾何意義和應用舉例
7樓：匿名使用者
任意一個向量x，跟他垂直的超平面把空間分成兩部分，一部分和x在同一側，即滿足和x的內積為正的那側，一部分在異側，內積為負。
由定義，正定的線性變換把任意一個向量x都變到x的同側。
如果它有實特徵值，必定是正數，否則的話它會把這特徵向量變到另側。
一個線性變換把一組么正基e1,...,en變到另一組向量v1,...,vn，這n個新向量的端點和原點一起構成一個多面體。
這多面體的體積就是線性變換的行列式。對正定變換來說，其行列式為正，所以這個多面體非退化，且v1,...,vn確定的定向和e1,...
,en確定的定向相同。
補充:不會保持形狀不變.保持不變的必須是等距,就是說,必須是正交變換o(n).
正定變換一般最常見的情況是正定對稱變換.正定對稱變換最常見的情況是用來定義內積.即定義= x'ay為x,y的內積.歐氏空間的內積用i來定義,即=x'y.
8樓：眼淚是愛的花火
正定矩陣在對三維空間裡的圖形進行線性變換時不改變圖形的形狀，這就是它的最大意義。
如果A是正定矩陣，那麼A一定是實對稱矩陣對嗎？高手幫解釋一下，謝謝
顯然不對，比如矩陣 a 第一行 3,4 第二行 4,6.這不是對稱陣，但是它是正定矩陣.正定判回定如下 計算二次型 x1,x2 a x1,x2 答t 3 x1 2 2 x1 x2 2 x2 2 3 x1 x2 2 x2 2 0.望採納 如果a正定，則a合同與e，ctac e,ctac t et,所以...
設a是n階實對稱矩陣,則a是正定矩陣當且僅當對任意正實數k,ki a的特徵值都小於k
你好！充分性 來若有a的某特徵 值 自 0，則ki a的特徵值baik k，矛盾。du所以a的所有特徵zhi值都大於0，從而a是正定dao陣。必要性 若a是正定陣，則a的所有特徵值 都大於0，從而對任意正實數k，ki a的特徵值k 經濟數學團隊幫你解答，請及時採納。謝謝！設a是n階實對稱矩陣,證明a...
什麼是對稱矩陣,把實解釋一下，什麼是對稱矩陣,把實解釋一下
對稱矩陣是元素以對角線為對稱軸對應相等的矩陣。如果有n階矩陣a，其各個元素都為實數，且aij aji 置為其本身 則稱a為實對稱矩陣。主要性質 1.實對稱矩陣a的不同特徵值所對應的特徵向量是正交的。2.實對稱矩陣a的特徵值都是實數，特徵向量都是實向量。3.n階實對稱矩陣a必可對角化。4.可用正交矩陣...