怎麼理解用語言所敘述的定積分的定義

2022-06-28 03:45:15 字數 5106 閱讀 7624

1樓:熊貓咪咪

定積分就是一個極限,是建立在無限分割--以不變代變--近似求和--取極限步驟上的

定義法求定積分,過程用簡單的語言解釋一下,書上看不懂?

2樓:愛菡

第一步:定積分的幾何意義,就是求在區間[0,1]上函式f(x)=x與x軸圍成的面積。

由上圖可知,圍成的圖形為三角形,底為1,高為1,其面積為1/2。

第二步:定積分的定義:其實就是把區間[0,1]分為n等份(即n+1個點),每份底寬1/n;過這些等分點作與y軸平行的線與y=x相交。

然後求以1/n為底,以交點至x軸距離為高的矩形條,求矩形條的面積。當n足夠大時,將這n條的面積加起來就是定積分的值。

注意:可過小區間內任何一點作平行y軸的線與y=x相交,不侷限於等分點;也不必侷限於矩形條,可以作梯形條。

定積分的概念

3樓:會固體

概念如下:

設函式f(x) 在區間[a,b]上連續,將區間[a,b]分成n個子區間[x0,x1], (x1,x2], (x2,x3], …, (xn-1,xn],其中x0=a,xn=b。

可知各區間的長度依次是:△x1=x1-x0,在每個子區間(xi-1,xi]中任取一點ξi(1,2,...,n),作和式

設λ=max(即λ是最大的區間長度),如果當λ→0時,積分和的極限存在,則這個極限叫做函式f(x) 在區間[a,b]的定積分,記為

幾何意義是:

由 y=0,x=a ,x=b,y=f(x)所圍成圖形的面積,即下圖中的s區域面積。

擴充套件資料

定積分與不定積分之間的關係:

若定積分存在,則它是一個具體的數值(曲邊梯形的面積),而不定積分是一個函式表示式,它們僅僅在數學上有一個計算關係(牛頓-萊布尼茨公式)。

一個函式,可以存在不定積分,而不存在定積分;也可以存在定積分,而不存在不定積分。

一個連續函式,一定存在定積分和不定積分。

若只有有限個間斷點,則定積分存在。

若有跳躍間斷點,則原函式一定不存在,即不定積分一定不存在。

4樓:lhr啊哈哈哈

定積分定義:

設函式f(x) 在區間[a,b]上連續,將區間[a,b]分成n個子區間[x0,x1], (x1,x2], (x2,x3], …, (xn-1,xn],其中x0=a,xn=b。

並稱函式f(x)在區間[a,b]上可積。

其中:a叫做積分下限,b叫做積分上限,區間[a, b]叫做積分割槽間,函式f(x)叫做被積函式,x叫做積分變數,f(x)dx 叫做被積表示式,∫ 叫做積分號。

幾何意義是:由 y=0,x=a ,x=b,y=f(x)所圍成圖形的面積。這個圖形稱為曲邊梯形。

擴充套件資料:

定積分是把函式在某個區間上的圖象[a,b]分成n份,用平行於y軸的直線把其分割成無數個矩形,再求當n→+∞時所有這些矩形面積的和。習慣上,我們用等差級數分點,即相鄰兩端點的間距是相等的。但是必須指出,即使不相等,積分值仍然相同。

常用積分法:

一、換元積分法

如果:(2)x=ψ(t)在[α,β]上單值、可導;

(3)當α≤t≤β時,a≤ψ(t)≤b,且ψ(α)=a,ψ(β)=b,

二、分部積分法

設u=u(x),v=v(x)均在區間[a,b]上可導,且u′,v′∈r([a,b]),

5樓:小圳軍

這個問題是可以解決的,

下面具體介紹一下:

1、定積分就是求函式f(x)在區間[a,b]中的影象包圍的面積。即由 y=0,x=a,x=b,y=f(x)所圍成圖形的面積。這個圖形稱為曲邊梯形,特例是曲邊三角形。

2、之所以稱其為定積分,是因為它積分後得出的值是確定的,是一個常數, 而不是一個函式。

根據上述定義,若函式f(x)在區間[a,b]上可積分。

拓展資料:定積分是積分的一種,是函式f(x)在區間[a,b]上的積分和的極限。這裡應注意定積分與不定積分之間的關係:

若定積分存在,則它是一個具體的數值(曲邊梯形的面積),而不定積分是一個函式表示式,它們僅僅在數學上有一個計算關係(牛頓-萊布尼茨公式),其它一點關係都沒有!一個函式,可以存在不定積分,而不存在定積分,也可以存在定積分,而不存在不定積分。

6樓:匿名使用者

設函式f(x)定義在[a,b]上,若對[a,b]的任一種分法a=x0ξi∈[xi−1,xi],只要λ=max1≤i≤n→0時,∑ni=1f(ξi)δxi總趨於確定的極限i,則稱此極限i為函式f(x)在區間[a,b]上的定積分,記作∫baf(x)dx即 ∫baf(x)dx=limλ→0∑ni=1f(ξi)δxi。

2.定積分的幾何意義:

(1)f(x)>0,∫baf(x)dx=a曲邊梯形的面積f(x)>0,∫abf(x)dx=a曲邊梯形的面積 。

(2)f(x)<0,∫baf(x)dx=−a曲邊梯形面積的負值f(x)<0,∫abf(x)dx=−a曲邊梯形面積的負值。

(3)∫baf(x)dx就是f(x)曲線在區間[a,b]上面積的代數和。

7樓:浮生若卿

定積分就是求函式f(x)在區間[a,b]中圖線下包圍的面積。

幾何意義是:由 y=0,x=a ,x=b,y=f(x)所圍成圖形的面積。

拓展資料定積分是積分的一種,是函式f(x)在區間[a,b]上的積分和的極限。這裡應注意定積分與不定積分之間的關係:若定積分存在,則它是一個具體的數值(曲邊梯形的面積),而不定積分是一個函式表示式,它們僅僅在數學上有一個計算關係(牛頓-萊布尼茨公式),其它一點關係都沒有!

一個函式,可以存在不定積分,而不存在定積分,也可以存在定積分,而不存在不定積分。一個連續函式,一定存在定積分和不定積分;若只有有限個間斷點,則定積分存在;若有跳躍間斷點,則原函式一定不存在,即不定積分一定不存在。

參考資料

8樓:匿名使用者

一、 定積分的定義:1、 積分的基本思想:下面先看兩個例項:

(1) 曲邊梯形的面積:在生產實際和科學技術中,常常要計算平面圖形的面積。曲線圍成的平面圖形的面積,在適當選擇了座標系後,往往可以化為兩個曲邊梯形面積的差。

所謂曲邊梯形是指在直角座標系中,由連續曲線y=f(x)與三條直線x = a、x = b、y = 0所圍成的圖形。如上圖,mmnn就是一個曲邊梯形 。mn稱為底邊、曲線段稱為曲邊。

※ 設y=f(x)在[a,b]上連續,且f(x)0,求以曲線y=f(x)為曲邊、底為[a,b]的曲邊梯形的面積a。由於平面圖形的面積具有「可加性」,所以可用一組垂直於x軸的直線把整個曲邊梯形分割成許多小曲邊梯形。由於每個小曲邊梯形的底邊很窄,而f(x)又連續變化,所以可用這個小曲邊梯形的底邊作為寬、以它底邊上任一點所對應的函式值f(x)作為長的小矩形的面積來近似表示這個小曲邊梯形的面積,再把所有這些小矩形的面積加起來,就可以得到曲邊梯形的面積a的近似值。

分割越細密,所有小矩形的面積之和越接近曲邊梯形的面積a,當分割無限細密時,所有小矩形的面積之和的極限值就是曲邊梯形的面積a的精確值。① 任取分點:,這些分點把曲邊梯形的底[a,b]分成n個小區間 、、……、、……、。

小區間的長度記為 ( =1,2,……,n),過各分點作垂直於x軸的直線得到n個小曲邊梯形。第個小曲邊梯形的面積記為 ( =1,2,……,n)。② ()。

③ 把n 個小矩形的面積 相加得和式,即a 。當最大的小區間的長度趨於0時,上和式的極限就是a,即:a=。

可見,曲邊梯形的面積是一個和式的極限。 (2) 變速直線運動的路程:設一物體沿直線運動,已知速度v = v(t)0是時間區間 [a,b]上的連續函式,求物體在這段時間內所經過的路程s。

※ 對勻速直線運動有s = vt,現在速度是變速,因此s不能直接按上公式計算。同曲邊梯形的面積的計算方法類似,有:由此可見,變速直線運動的路程也是一個和式的極限。

2、 定積分的定義:設函式y =f(x)在 [a,b]上有界,在 [a,b]中任意插入若干個分點,把區間[a,b] 分成n個小區間 、、……、、……、。小區間的長度記為 ( =1,2,……,n),在第個小區間上任取一點()。

,作乘積(1,2,……,n),並作和,記作。即:= 「」稱為積分號,叫被積函式,叫被積表示式,x叫積分變數,a為積分下限,b為積分上限, [a,b]為積分割槽間。

由此可知:上二例的a= s=※ 注意:① 只與f(x)及 [a,b]有關,與積分變數用什麼字母表示無關,即:

=== ……② 當a = b時, =0③在上定義中,a總小於b,為方便計算,對ab的情況補充為=3、 例題:根據定積分的定義計算※ n等分割槽間 [0,1],,取各區間的右端點為=(=1,2,……,n),

二、 定積分的幾何意義:1、 幾何意義:(1)若f(x)在 [a,b]上連續且f(x)0,那麼就表示以y=f(x)為曲邊的曲邊梯形的面積。

即:a =  (2)若f(x)在 [a,b]上連續且f(x)0,由於= 的右端和式中每一項都是負值(),其絕對值||表示小矩形的面積,因此也是一個負數,從而= -a,即:a = -,這裡的a是由曲線y=f(x)、直線x = a、x = b及x軸所圍成的曲邊梯形的面積。

(3)若f(x)在 [a,b]上連續,且有時為正、有時為負,如上圖,連續曲線y=f(x)、直線x = a、x = b及x軸所圍成的圖形是由三個曲邊梯形組成。由定積分的定義可得:=a-a+a,由此可知,在幾何上表示介於曲線y=f(x)、x軸及直線x = a、x = b之間鎝各部分面積的代數和。

如何用定積分定義計算定積分[-1,2]x^2?

9樓:愛笑的丁雯雪

x的平方積分為1/3的x的三次方,然後把上下限帶進去 上限減下限

定積分定理怎麼用?用的時候還需要考慮影象在x軸上方還是下方嗎

10樓:殤害依舊

不需要 算到是什麼就是什麼

11樓:一個人郭芮

定積分的什麼定理?

你指的是最後的牛頓-萊布尼茲公式

即代入上下限求定積分值麼?

那麼當然不用去管x的值

最後直接代入上下限

得到是正負值都有可能的

怎麼理解定積分中的x與t,怎麼理解定積分中的x與t

字尾為dt,即關於t積分,其他字元看作常數。令u x t,則du dt。f x t dt f u du。一個函式,可以存在不定積分,而不存在定積分 也可以存在定積分,而不存在不定積分。一個連續函式,一定存在定積分和不定積分 若只有有限個間斷點,則定積分存在 若有跳躍間斷點,則原函式一定不存在,即不定...

男朋友的奶奶去世了,自己應該怎麼用語言安慰他

在他身邊默默關心他,不需要太多的語言,不要說什麼人死不能復生節哀順變之類的,因為這個時候他是聽不見去的。你可以在他身邊多陪陪他,主動為他做一些事,他會感到溫暖,這樣可以慢慢沖淡他的悲傷。言多必砸,個人覺得默默陪伴就好了,畢竟這種事我們沒有任何辦法去改變 我男朋友奶奶對他很好,在她老人家走的時候,男友...

請問這道用定積分求極限的題怎麼做

解 分享一種解法,用積分中值定 理求解。由積分中值定理,有 0,1 x ndx cosx 1 0 n cos n cos 其中,0 1。而,0 1時,當n 時,lim n n 0。原式 lim n n cos 0。定積分求極限是大學一年級高等數學裡面的題目,建議你問問你們的老師,這道題應該是很好解答...