1樓：蘇蘇遊戲
設(x₀,y₀,z₀)是曲面上一點,即滿足ax₀²+by₀²+cz₀² = 1.
在該點處對曲面方程求全微分得:
2ax₀·dx+2by₀·dy+2cz₀·dz = 0,於是曲面在(x₀,y₀,z₀)處的線性逼近(即切平面)為:
2ax₀(x-x₀)+2by₀(y-y₀)+2cz₀(z-z₀) = 0,也即ax₀x+by₀y+cz₀z = ax₀²+by₀²+cz₀² = 1.
設(x₁,y₁,z₁),(x₂,y₂,z₂),(x₃,y₃,z₃)是曲面上三點,即有:
ax₁²+by₁²+cz₁² = 1 ①,ax₂²+by₂²+cz₂² = 1 ②,ax₃²+by₃²+cz₃² = 1 ③.
可得三點處的切平面方程分別為:
ax₁x+by₁y+cz₁z = 1 ④,ax₂x+by₂y+cz₂z = 1 ⑤,ax₃x+by₃y+cz₃z = 1 ⑥.
當三個切平面互相垂直,可知它們的法向量互相垂直,即有:
a²x₁x₂+b²y₁y₂+c²z₁z₂ = 0 ⑦,a²x₂x₃+b²y₂y₃+c²z₂z₃ = 0 ⑧,a²x₃x₁+b²y₃y₁+c²z₃z₁ = 0 ⑨.
直接變形會比較繁瑣,用向量考慮會簡便一些.
將三個法向量分別記為:α = (ax₁,by₁,cz₁),β = (ax₂,by₂,cz₂),γ = (ax₃,by₃,cz₃).
⑦,⑧,⑨表明α·β = β·γ = γ·α = 0.
由①,②,③可知α,β,γ都不是零向量,於是它們構成r³的一組(正交)基.
任意r³中的向量η,可唯一表示為α,β,γ的線性組合:η = rα+sβ+tγ.
由η·α = (rα+sβ+tγ)·α = rα·α+sβ·α+tγ·α = rα²,有r = η·α/α².
同理,考慮η·β及η·γ可得:s = η·β/β²,t = η·γ/γ².
於是η² = (rα+sβ+tγ)² = r²α²+s²β²+t²γ²+2rsα·β+2stβ·γ+2trγ·α
= r²α²+s²β²+t²γ² = (η·α)²/α²+(η·β)²/β²+(η·γ)²/γ².
得到對任意向量η成立的恆等式:η² = (η·α)²/α²+(η·β)²/β²+(η·γ)²/γ² ⑩.
設三個切平面的交點為(k,m,n),即x = k,y = m,z = n是④,⑤,⑥的解.
取向量η = (k,m,n),由④,⑤,⑥可知,η·α = η·β = η·γ = 1.
代入⑩得k²+m²+n² = η² = (η·α)²/α²+(η·β)²/β²+(η·γ)²/γ² = 1/α²+1/β²+1/γ².
將①,②,③代入得:k²+m²+n² = (ax₁²+by₁²+cz₁²)/α²+(ax₂²+by₂²+cz₂²)/β²+(ax₃²+by₃²+cz₃²)/γ²
= a(x₁²/α²+x₂²/β²+x₃²/γ²)+b(y₁²/α²+y₂²/β²+y₃²/γ²)+c(z₁²/α²+z₂²/β²+z₃²/γ²) (*).
取η = (1/a,0,0),有η·α = x₁,η·β = x₂,η·γ = x₃.
代入⑩得1/a² = η² = (η·α)²/α²+(η·β)²/β²+(η·γ)²/γ² = x₁²/α²+x₂²/β²+x₃²/γ².
同理,取η = (0,1/b,0)及(0,0,1/c)可得:1/b² = y₁²/α²+y₂²/β²+y₃²/γ²,1/c² = z₁²/α²+z₂²/β²+z₃²/γ².
將此三式代回(*)即得:k²+m²+n² = a·1/a²+b·1/b²+c·1/c² = 1/a+1/b+1/c.
即三個互相垂直的切平面的交點在球面x²+y²+z² = 1/a+1/b+1/c上,證畢.
如果是0的話，那就是一個點。
2樓：匿名使用者
取決於a,b,c的取值。
ax^2+by^2+cz^2+d=0可能為哪些圖形？
3樓：匿名使用者
(1)d≠0時
①a，b，c中有一個等於0，
則表示柱面，
其中，另兩個同號則為橢圓(或圓)柱面；
另兩個異號則為雙曲柱面。
② a，b，c中有兩個等於0，
則表示兩個平面。
③a，b，c同號，
則表示橢球面或球面；
④ a，b，c不同號，
如果有一個與d同號，
則表示單頁雙曲面；
如果有兩個與d同號，
則表示雙頁雙曲面。
(2)d=0時
①a，b，c中有一個等於0，
若另兩個同號則為一條直線；
另兩個異號則為兩個平面面。
② a，b，c中有兩個等於0，
則表示一個平面。
③a，b，c同號，則表示原點；
④ a，b，c不同號，
則表示橢圓(或圓)錐面。
求函式f(x,y,z)=ax^2+by^2+cz^2在x+y+z=d的條件下的最小值（x,y,z≥0 a,b,c,d>0）
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ax 2 x 1 0 若a 0 x 2 a x 1 0 則比較2 a和 1的大小 a 2,1 2 a 0 a 2,2 a 1,所以 x 1 2 0,不成立 20,x 1 若a 0 x 2 a x 1 0 2 a 0 1 所以x 1,x 2 a 綜上a 2,10,x 1,x 2 a 解 ax 2 a ...
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