1樓：匿名使用者
注意到(m-f(x))*(1/f(x)-1/m)<=0，對任意的x成立，開啟積
分得積分(從0到1)m/f(x) dx+積分(從0到1)f(x)dx/m<=1+m/m。專
再利用不等式2根號屬(m/m)*根號(ab)<=ma+b/m，其中a=積分(從0到1)1/f(x) dx，b=積分(從0到1)f(x)dx，
代入化簡即可得到結論。
設f（x）在（-∞，+∞）內連續可導，且m≤f（x）≤m，a＞0．（1）求limt→a+14a2∫a?a[f(t+a)?f(t?a)]dt
2樓：飛羽無痕
（1）由於函式f（x）在（-∞，+∞）連續可導，所以：lim
t→a+14a
∫a?a[f(t+a)?f(t?a)]dt=∫a?alimt→a+1
4a[f(t+a)?f(t?a)]dt=∫a?alim
t→a+
[12a
?f(t+a)?f(t?a)
2a]dt=∫a
?a12alim
t→a+
f(t+a)?f(t?a)
2adt
=12a∫a
?af′(a)
2adt
=f(a)4a，
證明：（2）
由於：∫a?a
f(t)dt＝f(ξ)2a，ξ∈（-a，a），∴|12a∫a
?af(t)dt?f(x)|＝|f(ξ)?f(x)|，又：m≤f（x）≤m，
∴f（ξ）≤m，-f（x）≤-m，
∴|12a∫a
?af(t)dt?f(x)|≤m?m，證畢．
設f(x)在[0.1]連續,證明∫(0→1)[f(x)^2]dx≥[∫(0→1)f(x)dx]^2 50
3樓：寂寞的楓葉
解：設∫(0,1)f(x)dx=m，那麼(f(x)-m)^2≥0，
因此∫(0,1)(f(x)-m)^2dx≥0，
又(f(x)-m)^2=(f(x))^2-2m*f(x)+m^2，那麼
∫(0,1)(f(x)-m)^2dx=∫(0,1)f(x))^2dx-∫(0,1)(2m*f(x))dx+∫(0,1)m^2dx
=∫(0,1)f(x))^2dx-2m∫(0,1)f(x)dx+m^2
=∫(0,1)f(x))^2dx-2*∫(0,1)f(x)dx*∫(0,1)f(x)dx+∫(0,1)f(x)dx*∫(0,1)f(x)dx
=∫(0,1)f(x))^2dx-∫(0,1)f(x)dx*∫(0,1)f(x)dx=∫(0,1)f(x))^2dx-(∫(0,1)f(x)dx)^2
又∫(0,1)(f(x)-m)^2dx≥0，所以，∫(0,1)f(x))^2dx-(∫(0,1)f(x)dx)^2≥0，
即∫(0,1)f(x))^2dx≥(∫(0,1)f(x)dx)^2
4樓：匿名使用者
要證明的積分上限應該是1.證明思路：先交換積分順序,然後交換變數的符號,
相加除以2即可.
原式=∫【0,1】dy∫【0,y】f(x)f(y)dx 這是交換積分順序
=∫【0,1】dx∫【0,x】f(x)f(y)dy 這是對上一個積分中的x,y變數互換符號而已
=0.5∫【0,1】dx∫【0,1】f(x)f(y)dy上面個兩個積分相加除以2,注意內層積分恰好是從0到x和從x到1=0.5∫【0,1】f(x)dx∫【0,1】f(y)dy=0.
5a^2.
設f在[a,b]上可導，|f'(x)|<=m且:∫(a,b)f(x)dx=0，證明：max(∫(a,x)f(t)dt)<=(1/8)m(b-a)^2
5樓：匿名使用者
令f(x) = ∫(a,x)f(t)dt, 則知 f 可導且
bai f'(x) = f(x),且f(a) = f(b) = 0.
由中du值定理知道存在a<= c <=b 使得 f'(c)=0。
而f(x)的極zhi
大值(此時也dao就是最大值)會在某回個f'(x)=0處取到(邊界上為0)，不答
妨設f(c)就是極大值。f'(c) = f(c) = 0.
|f(c)| = |∫(a,c)f(t)dt|=|∫(a,c)[ f(t)-f(c)]dt|<=∫(a,c)m*|t-c|dt.
而 ∫(a,c)m*|t-c|dt = 1/2*m(c-a)^2
而∫(a,c)f(t)dt + ∫(c,b)f(t)dt = 0, 所以：
|f(c)| = |∫(c,b)f(t)dt|=|∫(c,b)[f(t)-f(c)]dt|<=∫(c,b)m*|t-c|dt.
而 ∫(c,b)m*|t-c|dt = 1/2*m(b-c)^2
所以|f(c)| <= min<=1/2*m*((a+b)/2-a)^2
即|f(c)| <= 1/8*m(b-a)^2, 當c=(a+b)/2時等號可能取到。
設函式fx在區間上連續,在區間0,1內可導
設f x xf x 因為 f x 在區 間 0,1 上連 續,在區間 0,1 內可導 得f x 在在區間 0,1 上連續,在區間 0,1 內可導且f x f x xf x 又f 1 0 得f 0 f 1 0根據羅爾定理版得 存在權a 0,1 使f a a af a 0所以存在a 0,1 使f a a...
fx在x0處連續,且limx趨於0時fx
由極限保號性可知,fx x方 0,於是在x 0的左邊有fx fo,在x 0的右邊有fx fo,所以綜上,左邊比你高,右邊比你高,所以你就是極小點 已知f x 在x 0的某個鄰域內連續,且limx 0f x 1 cosx 2,則在x 0處f x limx 0f x 1 cosx 2。x 0分母1 co...
設函式f x 在區間a上連續，有lim xf x 存在且有限，則f（x）在a上A有界B無界
有界的意思並不是非得有上界有下界 如果這個函式在趨於正無窮有上屆就稱他有界，如果趨於負無窮有下界也叫有界 詳情如圖所示 有任何疑惑，歡迎追問 設函式f x 在區間 a,上連續，有lim x f x 存在且有限。證明 f x 在 a,上有界 因為bailim x f x 存在且有限，du設為c 根據定...