1樓：潮盼夏侯
正交矩陣是實數特殊化的酉矩陣，因此總是正規矩陣。儘管我們在這裡只考慮實數矩陣，這個定義可用於其元素來自任何域的矩陣。正交矩陣畢竟是從內積自然引出的，對於複數的矩陣這導致了歸一要求。
注意正交矩陣的定義 n階『實矩陣』 a稱為正交矩陣，如果：a×a′=e（e為單位矩陣，a'表示「矩陣a的轉置矩陣」。） 若a為正交陣，則下列諸條件是等價的:
1) a 是正交矩陣 2) a×a′=e（e為單位矩陣） 3) a′是正交矩陣 4) a的各行是單位向量且兩兩正交 5) a的各列是單位向量且兩兩正交 6) (ax,ay)=(x,y) x,y∈r
再來看一下歐式空間的定義 設v是『實數域』r上的線性空間（或稱為向量空間），若v上定義著正定對稱雙線性型g（g稱為內積），則v稱為（對於g的）內積空間或歐幾里德空間（有時僅當v是有限維時，才稱為歐幾里德空間）。具體來說，g是v上的二元實值函式，滿足如下關係： （1）g(x,y)=g(y,x)； （2）g(x+y,z)=g(x,z)+g(y,z)； （3）g(kx,y)=kg(x,y)； （4）g(x,x)>=0，而且g(x,x)=0當且僅當x=0時成立。
這裡x,y,z是v中任意向量，k是任意實數。
有以上足以看出 正交矩陣是實矩陣範疇中的矩陣
2樓：匿名使用者
正交矩陣在定義的時候就已經規定它是一個實矩陣了。所以這無需證明。
不知你還記不記得，我們最開始學正交矩陣時是在歐氏空間這一節開始講的，而歐氏空間一定是一個實線性空間，後面的討論都是在實線性空間中的，確切的說是歐氏空間。在歐式空間中，正交變換在一組標準正交基下對應的矩陣是正交矩陣。兩組標準正交基之間的過度矩陣也是正交矩陣。
正交矩陣的和是正交矩陣嗎?
3樓：
有可能不是。譬如a=e，b=e，其中e是單位矩陣，顯然a和b都是正交矩陣。但是a+b=2e並不是正交矩陣。
有可能是。譬如a=[1 0; 0 -1]，b=[-1/2 sqrt(3)/2; sqrt(3)/2 1/2]，容易驗證a和b是正交矩陣，且a+b=[1/2 sqrt(3)/2; sqrt(3)/2 -1/2]也是正交矩陣。
4樓：電燈劍客
考慮i + (-i) = 0
正交矩陣一定是方陣嗎？
5樓：匿名使用者
根據定義可知
如果：aa'=e（e為單位矩陣，a'表示「矩陣a的轉置矩陣」。）或a′a=e，則n階實矩陣 a稱為正交矩陣， 若a為正交陣，
如果：aa'=e（e為單位矩陣，a'表示「矩陣a的轉置矩陣」。）或a′a=e，則n階實矩陣a稱為正交矩陣
例如：1 0 1 0
矩陣a： 0 1 a的轉置： 0 1 此時 aa'=e
故a本身是正交矩陣
由於aa'=e 由逆矩陣定義 若ab=e 則b為a的逆矩陣 可以知道 a'為a的逆矩陣
也就是說正交矩陣本身必然是可逆矩陣
即若a是正交矩陣則a的n個行（列)向量是n維向量空間的一組標準正交基【即線性不相關】
向左轉|向右轉
擴充套件資料
在矩陣論中，正交矩陣（orthogonal matrix）是一個方塊矩陣q，其元素為實數，而且行與列皆為正交的單位向量，使得該矩陣的轉置矩陣為其逆矩陣。
作為一個線性對映（變換矩陣），正交矩陣保持距離不變，所以它是一個保距對映，具體例子為旋轉與鏡射。
行列式值為+1的正交矩陣，稱為特殊正交矩陣，它是一個旋轉矩陣。
行列式值為-1的正交矩陣，稱為瑕旋轉矩陣。瑕旋轉是旋轉加上鏡射。鏡射也是一種瑕旋轉。
正交矩陣一定對稱嗎
6樓：匿名使用者
不是. 正交矩陣不一定對稱.
定義: aa^t = e.
若a對稱則有 a^2=e, 這可不一定成立.
正交矩陣不一定是實矩陣。實正交矩陣（即該正交矩陣中所有元都是實數）可以看做是一種特殊的酉矩陣，但也存在一種復正交矩陣，這種復正交矩陣不是酉矩陣。
矩陣性質
實數方塊矩陣是正交的，當且僅當它的列形成了帶有普通歐幾里得點積的歐幾里得空間r的正交規範基，它為真當且僅當它的行形成r的正交基。假設帶有正交(非正交規範)列的矩陣叫正交矩陣可能是誘人的，但是這種矩陣沒有特殊價值而沒有特殊名字；他們只是mm=d，d是對角矩陣。
1.逆也是正交陣;
2.積也是正交陣;
3.行列式的值為正1或負1。
任何正交矩陣的行列式是+1或−1。這可從關於行列式的如下基本事實得出：（注：反過來不是真的；有+1行列式不保證正交性，即使帶有正交列，可由下列反例證實。）
什麼是正交矩陣，和實對稱矩陣有什麼不同？
7樓：關鍵他是我孫子
正交矩陣的定義：如果aat=e（e為單位矩陣，at表示「矩陣a的轉置矩陣」）或ata=e，則n階實矩陣a稱為正交矩陣。
正交矩陣和實對稱矩陣的區別：
1、實對稱矩陣的定義是：如果有n階矩陣a，其各個元素都為實數，矩陣a的轉置等於其本身，則稱a為實對稱矩陣。
2、正交變換e在規範正交基下的矩陣是正交矩陣，滿足u*u』=u』*u=i
對稱變換e在規範正交基下的矩陣是對稱矩陣，滿足a』=a
3、 轉換矩陣是正交矩陣不代表被轉換矩陣一定是實對稱矩陣 反過來 實對稱矩陣的相似對角化也不一定非要正交矩陣。
擴充套件資料：
正交矩陣的性質：
1、方陣a正交的充要條件是a的行(列) 向量組是單位正交向量組。
2、 方陣a正交的充要條件是a的n個行(列)向量是n維向量空間的一組標準正交基。
3、a是正交矩陣的充要條件是:a的行向量組兩兩正交且都是單位向量。
4、 a的列向量組也是正交單位向量組。
實對稱矩陣的性質：
1.實對稱矩陣特徵值為實數。
2..實對稱矩陣一定有n個線性無關的特徵向量。
3..實對稱矩陣不同特徵值對應的特徵向量相互正交。
8樓：鈷鉧潭
區別；1、實對稱矩陣的定義是：如果有n階矩陣a，其各個元素都為實數，矩陣a的轉置等於其本身，則稱a為實對稱矩陣。
2、正交變換e在規範正交基下的矩陣是正交矩陣，滿足u*u'=u'*u=i
對稱變換e在規範正交基下的矩陣是對稱矩陣，滿足a'=a
3、 轉換矩陣是正交矩陣不代表被轉換矩陣一定是實對稱矩陣 反過來 實對稱矩陣的相似對角化也不一定非要正交矩陣。
4，對稱矩陣裡面的數可以是實數，而實對稱矩陣裡面的數都是實數。
5，對稱矩陣只說明a^t=a，沒說明矩陣中的元素是實數，矩陣中的元素不僅可以是實數，也可以是虛數，甚至元素本身就是一個矩陣或其它更一般的數學物件，實對稱矩陣就說明了矩陣中的元素要是實數
擴充套件資料；
（1）正交矩陣定理；
在矩陣論中，實數正交矩陣是方塊矩陣q，它的轉置矩陣是它的逆矩陣，如果正交矩陣的行列式為+1，則稱之為特殊正交矩陣。
1.方陣a正交的充要條件是a的行（列）向量組是單位正交向量組；
2.方陣a正交的充要條件是a的n個行（列）向量是n維向量空間的一組標準正交基；
3.a是正交矩陣的充要條件是：a的行向量組兩兩正交且都是單位向量；
4.a的列向量組也是正交單位向量組。
5.正交方陣是歐氏空間中標準正交基到標準正交基的過渡矩陣
（2）實對稱矩陣主要性質：
1.實對稱矩陣a的不同特徵值對應的特徵向量是正交的。
2.實對稱矩陣a的特徵值都是實數，特徵向量都是實向量。
3.n階實對稱矩陣a必可對角化，且相似對角陣上的元素即為矩陣本身特徵值。
4.若λ0具有k重特徵值 必有k個線性無關的特徵向量，或者說必有秩r(λ0e-a)=n-k，其中e為單位矩陣。
9樓：匿名使用者
1、正交矩陣：正交變換e在規範正交基下的矩陣是正交矩陣，滿足u*u』=u』*u=i
2、實對稱矩陣：對稱變換e在規範正交基下的矩陣是對稱矩陣，滿足a』=a
正定矩陣一定是對稱矩陣嗎，正定矩陣一定對稱嗎？請說明具體為什麼，出處？
不一抄定是對稱的。正定bai矩陣在實 數域上是du對稱矩zhi陣。在複數域上是厄米特矩陣 共軛dao對稱 因為正定矩陣在定義的時候就是要在厄米特矩陣的域內 實數域上是對稱矩陣 如果只是要求矩陣m有 x t mx 0,那麼任何矩陣m，只要其滿足a m m t 2，且 x t ax 0,即可。例如，m ...
為什麼實對稱矩陣要求其正交矩陣，而不是可逆矩陣使其對角化？實對稱矩陣也是矩陣啊
題目為什麼往往要求求正交矩陣，這也是為什麼要討論對角化的一個主要的目的之一，是為了求已知矩陣a的n次方，即a n 因為t 1 at b 對角陣 那麼a n tb nt 1 由於對角陣b的n次方很好求，所以把a n轉化成b n 但是如果矩陣t只是可逆，那麼求它逆需要一定的過程，而如果矩陣t是正交矩陣的...
如果A是正定矩陣，那麼A一定是實對稱矩陣對嗎？高手幫解釋一下，謝謝
顯然不對，比如矩陣 a 第一行 3,4 第二行 4,6.這不是對稱陣，但是它是正定矩陣.正定判回定如下 計算二次型 x1,x2 a x1,x2 答t 3 x1 2 2 x1 x2 2 x2 2 3 x1 x2 2 x2 2 0.望採納 如果a正定，則a合同與e，ctac e,ctac t et,所以...