1樓：吳夢之
看【古希臘】阿波羅尼的《圓錐曲線論》。
這是我自己想的：
先給出以下引理：
如圖所示，點p在直線l上運動，定點a，b在l的異側，求證：當|ap﹣bp|最大時，l平分∠apb
證明：作b關於l的對稱點b'，在△ab'p’中，ab＞|ap‘﹣bp’|，當a，b'，p共線時ab'=|ap﹣b'p|
因此當|ap﹣bp|最大時，a，b'，p三點共線。
因此，此時l平分∠apb
下面證明原命題。
證明：在雙曲線上過點p的切線上的點p‘必在雙曲線的“外側”。
此時，|f1p’﹣f2p‘|＜2a，a為實軸長
而由雙曲線定義|f1p﹣f2p|=2a
根據引理，可知l平分∠f1pf2
這個問題也可以求導解決。
先考察p在第一象限時的情況。
設x²/a²﹣y²/b²=1，用隱函式微分法，得2/a² x dx﹣2/b² y dy=0
化簡得dy/dx=b²/a² x/y
設p（x0，y0），則過p的切線l的方程為y﹣y0=y'（x﹣x0）
而y’=b²/a² x0/y0
在l的方程中，令y=0，即得l與x軸的交點，經計算，這個交點座標為（(b²x0²﹣a²y²)/(b²x0)，0）
化簡得（a²/x0，0），記為點q
於是f1q=c+a²/x0，f2q=c﹣a²/x0
由焦半徑公式f1p=a+ex0，f2q=ex0﹣a
下面證明f1q：f1p=f2q：f2p
∵f1q×f2p=（c+a²/x0）（ex0﹣a）=ecx0﹣a³/x0
f2q×f1p=（c﹣a²/x0）（ex0+a）=ecx0﹣a²/x0
因此f1q：f1p=f2q：f2p
由三角形內角平分線定理得pq平分∠f1pf2
2樓：匿名使用者
已知雙曲線y^2/a^2-x^2/b^2=1(a>0,b>0)的離心率為2，一條準線和兩條漸進線圍成的三角形的面積為√3，直線l過點p(0,-2)且與雙曲線交於相異的兩點m,n(1)求雙曲線c的方程。(2)設t=向量om·向量op+向量om·向量pn(o為座標原點)，求t的取值範圍
3樓：筱月月汗
那是重心用重心的性質即可.....
雙曲線的所有性質
4樓：提分一百
雙曲線的幾何性質有哪些
5樓：匿名使用者
1、軌跡上一點的取值範圍：│x│≥a（焦點在x軸上）或者│y│≥a（焦點在y軸上）。 2、對稱性：
關於座標軸和原點對稱。 3、頂點：a(-a,0)， a'(a,0)。
同時 aa'叫做雙曲線的實軸且│aa'│=2a.
6樓：匿名使用者
1、軌跡上一點的取值範圍：│x│≥a（焦點在x軸上）2、對稱性：關於座標軸和原點對稱。
3、頂點：a(-a,0)， a'(a,0)。
4、漸近線：y=±(b/a)x.
5、離心率：e=c/a 且e∈(1，+∞)6、準線：x=±a^2/c
雙曲線的全部性質
7樓：demon陌
1、軌跡上一點的取值範圍：│x│≥a（焦點在x軸上）2、對稱性：關於座標軸和原點對稱
3、頂點：a(-a,0)， a'(a,0)4、漸近線：y=±(b/a)x
5、離心率：e=c/a 且e∈(1，+∞)6、準線：x=±a^2/c
擴充套件資料：在平面直角座標系中，二元二次方程f（x，y）=ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0滿足以下條件時，其影象為雙曲線。
1、a、b、c不都是零。
2、δ=b2-4ac>0。
在高中的解析幾何中，學到的是雙曲線的中心在原點，影象關於x，y軸對稱的情形。這時雙曲線的方程退化，根據建好的前後位置判斷影象關於x，y軸對稱。
標準方程為：
雙曲線有兩條漸近線。漸近線和雙曲線不相交。
一般地我們把直線叫做雙曲線（焦點在x軸上）的漸近線。
8樓：匿名使用者
1、取值範圍
│x│≥a（焦點在x軸上）或者│y│≥a（焦點在y軸上）。
2、對稱性
關於座標軸和原點對稱，其中關於原點成中心對稱。
3、頂點
a（-a，0），a'（a，0）。同時aa'叫做雙曲線的實軸且│aa'│=2a。；b（0，-b），b'（0，b）。
同時bb'叫做雙曲線的虛軸且│bb'│=2b。；f1（-c，0）或（0，-c），f2（c，0）或（0，c）。f1為雙曲線的左焦點，f2為雙曲線的右焦點且│f1f2│=2c
4、對實軸、虛軸、焦點有：a2+b2=c2
5、漸近線
擴充套件資料
雙曲線離心率的求法
一、利用標準方程求解
求雙曲線的離心率的本質就是探求a，c之間的關係，知道a，b，c中任意兩者的等式關係便可以求出e。
二、緊扣定義求解
雙曲線的基本定義往往可以成為解題的突破口。
1、平面內，到兩個定點的距離之差的絕對值為常數（小於這兩個定點間的距離）的點的軌跡稱為雙曲線。定點叫雙曲線的焦點。
2、平面內，到給定一點及一直線的距離之比為常數e（（e>1），即為雙曲線的離心率）的點的軌跡稱為雙曲線。定點叫雙曲線的焦點，定直線叫雙曲線的準線。雙曲線準線的方程為（焦點在x軸上）或（焦點在y軸上）。
3、一平面截一圓錐面，當截面與圓錐面的母線不平行也不通過圓錐面頂點，且與圓錐面的兩個圓錐都相交時，交線稱為雙曲線。
4、在平面直角座標系中，二元二次方程f（x，y）=ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0滿足以下條件時，其影象為雙曲線。
三、通過漸近線求解
注意雙曲線的焦點位置的確定與漸近線的關係，就能避免出現不必要的失分，利用雙曲線離心率e的整體轉化運算在基於熟悉雙曲線基本概念的前提下應引起高度重視。
四、利用向量知識求解
平面向量的載體就是平面圖形，通過向量與圖形的結合尋找平行、垂直關係，或利用向量夾角公式求得相關結論。
9樓：暴走少女
1、取值區域：
x≥a,x≤-a或者y≥a,y≤-a
2、對稱性：
關於座標軸和原點對稱。
3、頂點：
a(-a,0) a’(a,0) aa’叫做雙曲線的實軸，長2a；b(0,-b) b’(0,b) bb’叫做雙曲線的虛軸，長2b。
4、漸近線：
橫軸：y=±(b/a)x 豎軸：y=±(a/b)x
5、離心率：
e=c/a 取值範圍：（1，+∞）
6、雙曲線上的一點到定點的距離和到定直線(相應準線)的距離的比等於雙曲線的離心率。
7、雙曲線焦半徑公式：
圓錐曲線上任意一點到焦點距離。過右焦點的半徑r=|ex-a|；過左焦點的半徑r=|ex+a|
8、等軸雙曲線
雙曲線的實軸與虛軸長相等，2a=2b e=√2
9、共軛雙曲線
(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1 與 (y^2/b^2)-(x^2/a^2)=1 叫共軛雙曲線
（1）共漸近線
（2）e1+e2>=2√2
10、準線：
x=±a^2/c,或者y=±a^2/c
11、通徑（定義：圓錐曲線（除圓外）中，過焦點並垂直於軸的弦）：
2b^2/a
12、焦點弦長公式：
2pe/(1-e^2cos^2θ) [p為焦點到準線距離，θ為弦與x軸夾角] 或2p/sin^2θ
13、d = √(1+k^2)|x1-x2| = √(1+k^2)(x1-x2)^2 = √(1+1/k^2)|y1-y2| = √(1+1/k^2)(y1-y2)^2 推導如下：
由直線的斜率公式：k = (y1 - y2) / (x1 - x2) 得 y1 - y2 = k(x1 - x2) 或 x1 - x2 = (y1 - y2)/k
分別代入兩點間的距離公式：|ab| = √[(x1 - x2)² + (y1 - y2)² ]
稍加整理即得： |ab| = |x1 - x2|√(1 + k²) 或 |ab| = |y1 - y2|√(1 + 1/k²)
擴充套件資料：
一、光學性質：
從雙曲線一個焦點發出的光，經過雙曲線反射後，反射光線的反向延長線都匯聚到雙曲線的另一個焦點上。雙曲線這種反向虛聚焦性質，在天文望遠鏡的設計等方面，也能找到實際應用。
二、相關定義：
定義1：
平面內，到兩個定點的距離之差的絕對值為常數（小於這兩個定點間的距離）的點的軌跡稱為雙曲線。定點叫雙曲線的焦點。
定義2：
平面內，到給定一點及一直線的距離之比為常數e（（e>1），即為雙曲線的離心率）的點的軌跡稱為雙曲線。定點叫雙曲線的焦點，定直線叫雙曲線的準線。雙曲線準線的方程為（焦點在x軸上）或（焦點在y軸上）。
定義3：
一平面截一圓錐面，當截面與圓錐面的母線不平行也不通過圓錐面頂點，且與圓錐面的兩個圓錐都相交時，交線稱為雙曲線。
定義4：
在平面直角座標系中，二元二次方程f（x，y）=ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0滿足以下條件時，其影象為雙曲線。
10樓：匿名使用者
以下從純幾何的角度給出一些雙曲線的相關概念和性質。
分支可以從影象中看出，雙曲線有兩個分支。當焦點在x軸上時，為左軸與右軸；當焦點在y軸上時，為上軸與下軸。
焦點在定義1中提到的兩個定點稱為該雙曲線的焦點，定義2中提到的一給定點也是雙曲線的焦點。雙曲線有兩個焦點。焦點的橫（縱）座標滿足c²=a²+b²。
準線在定義2中提到的給定直線稱為該雙曲線的準線。
離心率在定義2中提到的到給定點與給定直線的距離之比，稱為該雙曲線的離心率。
離心率雙曲線有兩個焦點，兩條準線。(注意:儘管定義2中只提到了一個焦點和一條準線,但是給定同側的一個焦點,一條準線以及離心率可以根據定義2同時得到雙曲線的兩支,而兩側的焦點,準線和相同離心率得到的雙曲線是相同的。
)頂點雙曲線和它的對稱軸有兩個交點,它們叫做雙曲線的頂點。
實軸兩頂點之間的距離稱為雙曲線的實軸,實軸長的一半稱為實半軸。
虛軸在標準方程中令x=0,得y²=-b²，該方程無實根，為便於作圖，在y軸上畫出b1(0,b)和b2(0,-b),以b1b2為虛軸.
漸近線雙曲線有兩條漸近線。漸近線和雙曲線不相交。
漸近線的方程求法是：將右邊的常數設為0，即可用解二元二次的方法求出漸近線的解，例如：
,將1替換為0,得,則雙曲線的漸近線為
一般地我們把直線
叫做雙曲線(焦點在x軸上)的漸近線(asymptote to the hyperbola )
焦點在y軸上的雙曲線的漸近線為
頂點連線斜率
雙曲線 y
上一點與兩頂點連線的斜率之積為。
實際應用
編輯雙曲線在實際中的應用有通風塔，冷卻塔，埃菲爾鐵塔，廣州塔等。
面積公式
編輯若 ∠f1pf2=θ，
則 s△f1pf2=b2×cot
或s△f1pf2=
·例：已知f1、f2為雙曲線c：x2－y2=1的左右焦點，點p在c上，∠f1pf2=60°，則p到x軸的距離為多
少？解：由雙曲線焦點三角形面積公式得:
s△f1pf2=b2×cot()=
橢圓,雙曲線教學兩用規請問雙曲線怎麼畫，急求
我給樓主點建議吧！畫雙曲線的時候，要先畫那兩條漸近線，然後再畫兩支，這樣才顯得你很專業。要是反過來畫，可能就會顯得你很業餘了。這裡順便給樓主講個我上高中時的趣事吧！記得我上高中學到雙曲線的時候，我的數學老師說，就不久前，有一個數學老師來我們學校應聘，教師應聘一定要講課實習的吧，還要有很多老師在下面聽...
為什麼雙曲線的漸近線方程，可以通過使雙曲線方程的右
漸近線的定義 如果曲線上的一點沿著趨於無窮遠時,該點與某條直線的距離趨於零,則稱此條直線為曲線的漸近線.以雙曲線的常見形式x a y b 1為例討論在第一象限的部分 任取雙曲線上一點p,設座標為 asec btan 為銳角btan asec bsin a當 趨近於 2時,上式趨近於b a,而對於直線...
雙曲線的漸近線公式是什麼，雙曲線的漸近線方程公式是？
雙曲線漸近線方程公式 方程 y b a x 當焦點在x軸上 y a b x 焦點在y軸上 或令雙曲線標準方程 x 2 a 2 y 2 b 2 1中的1為零即得漸近線方程。y b a x 當焦點在x軸上 y a b x 焦點在y軸上 a 雙曲線的實半軸，b是虛半軸長 幾何性質 1 範圍 x a,y r...