1樓：匿名使用者
∫∫√(a²-x²-y²)dσ,積分割槽域是圓周x²+y²=ax的閉區間【為避免符號混亂我把r換成a】
解：積分域：x²-ax+y²=(x-a/2)²+y²=a²/4；這是一個圓心在(a/2，0)，半徑為a/2的園。(a>0)
【其中sin³θ是奇函式，其在對稱區間上的積分=0】
計算二重積分。 ∫∫根下（r^2-x^2-y^2）dσ，d是由圓周x＾2+y＾2=rx所圍成的區域,求解答過程。。。。。。
2樓：星光下的守望者
化成極座標形式的積分
x＾2+y＾2=rx的極座標方程為r=rcost (t∈[-π/2,π/2])
又根據對稱性有：
原積分=2∫[0->π/2]∫[0->rcost] (r^2-r^2)^(1/2)rdrdt
=2∫[0->π/2] -(2/3)(r^2-r^2)^(3/2) | [0->rcost] dt
=2∫[0->π/2] -(2/3)[(rsint)^3-r^3] dt
= (4/3)∫[0->π/2] r^3-(rsint)^3 dt
= (4/3)[r^3(π/2-0) - (r^3)∫[0->π/2] (sint)^3dt]
= (2/3)πr^3-(4/3)(1!!/3!!)r^3
= (2/3)πr^3-(4/9)r^3
= (2r^3)/3}(π-4/3)
其中用到了∫[0->π/2] (sint)^ndt=(n-1)!!/n!! 當n為奇數時
(π/2)*(n-1)!!/n!! 當n為偶數時
我算出的結果和你給的結果有點出入，也許是我算錯了吧，不過方法就是這樣的
二重積分：∫∫√(r^2-x^2-y^2)dxdy, 其中d是由圓周x^2+y^2=rx所圍成的閉區域
3樓：匿名使用者
用極座標來做
，令x=rcosθ，y=rsinθ
則∫∫√(r^2-x^2-y^2)dxdy=∫∫ r *√(r^2-r^2) drdθ，
由積分割槽域d：x^2+y^2=rx可以知道，
r^2<= r*rcosθ，即 r<=rcosθ，
而畫出d的圖形可以知道θ的範圍是[0，π]
所以∫∫ r *√(r^2-r^2) drdθ
=∫∫ 0.5√(r^2-r^2) d(r^2)dθ
化成二次積分，
原積分=∫ [0，π]dθ ∫ [rcosθ，0] 0.5√(r^2-r^2) d(r^2)
顯然 ∫0.5√(r^2-r^2) d(r^2)= -1/3 * (r^2-r^2)^(3/2) +c(c為常數)，
代入上下限，
即 ∫ [rcosθ，0] 0.5√(r^2-r^2) d(r^2)
=1/3 * [r^3-(rsinθ)^3]
再對θ積分，
原積分=∫ [0，π] 1/3 * [r^3-(rsinθ)^3]dθ
=r^3/3 ∫ [0，π] [1-(sinθ)^3]dθ
而∫ [1-(sinθ)^3]dθ=θ- ∫(sinθ)^3dθ
=θ+∫(sinθ)^2dcosθ
=θ+∫[1-(cosθ)^2]dcosθ
=θ+cosθ-(cosθ)^3 /3 +c(c為常數)
代入上下限，
即 ∫ [0，π] [1-(sinθ)^3]dθ=[π+cosπ-(cosπ)^3 /3] -[0+cos0-(cos0)^3 /3]=π-4/3
於是原積分=r^3/3 ∫ [0，π] [1-(sinθ)^3]dθ
=r^3/3*(π-4/3)
二重積分：∫∫√(r^2-x^2-y^2)dxdy, 其中d是由圓周x^2+y^2=rx所圍成的閉
4樓：匿名使用者
x² + y² = rx ==> (x - r/2)² + y² = (r/2)² ==> r = rcosθ
這是在y軸右邊，與y軸相切的圓形
所以角度範圍是有- π/2到π/2
又由於被積函式關於x軸對稱
由對稱性，所以∫∫d = 2∫∫d(上半部分)，即角度範圍由0到π/2
∫∫ √(r² - x² - y²) dxdy
= ∫∫ √(r² - r²) * r drdθ
= 2∫(0，π/2) dθ ∫(0，rcosθ) √(r² - r²) * r dr
= 2∫(0，π/2) dθ * (- 1/2) * (2/3)(r² - r²)^(3/2) |(0，rcosθ)
= (- 2/3)∫(0，π/2) [(r² - r²cos²θ)^(3/2) - r³] dθ
= (- 2/3)∫(0，π/2) r³(sin³θ - 1) dθ
= (- 2/3)r³ * (2!!/3!! - π/2)，這裡用了wallis公式
= (- 2/3)r³ * (2/3 - π/2)
= (1/3)(π - 4/3)r³
二重積分：∫∫√(r^2-x^2-y^2)dxdy,其中d是由圓周x^2+y^2=rx所圍成？
5樓：基拉的禱告
詳細過程如圖，希望能幫到你解決你心中的問題
希望過程清楚明白
求二重積分∫∫根號下（r^2 -x^2-y^2）dxdy,其中積分割槽域d為圓周x^2+y^2=rx. 簡單 謝謝！！！！
6樓：匿名使用者
極座標標
∫∫ √(r²-x²-y²) dxdy
=∫∫ r√(r²-r²) drdθ
=∫[-π/2→π/2] dθ∫[0→rcosθ] r√(r²-r²) dr
=(1/2)∫[-π/2→π
/2] dθ∫[0→rcosθ] √(r²-r²) d(r²)
=-(1/2)(2/3)∫[-π/2→π/2] (r²-r²)^(3/2) |[0→rcosθ] dθ
=(1/3)∫[-π/2→π/2] (r³-r³|sinθ|³) dθ
=(2r³/3)∫[0→π/2] (1-sin³θ) dθ
=(2r³/3)[∫[0→π/2] 1 dθ - ∫[0→π/2] sin³θ dθ]
=(2r³/3)[π/2 + ∫[0→π/2] sin²θ d(cosθ)]
=(2r³/3)[π/2 + ∫[0→π/2] (1-cos²θ) d(cosθ)]
=(2r³/3)[π/2 + θ - (1/3)cos³θ] |[0→π/2]
=(2r³/3)[π/2 + π/2 - 0]
=2πr³/3
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7樓：匿名使用者
用極座標來做。x²+y²=rx，得到r²=rrcosθ，則r=rcosθ
∫∫√(r^2-x^2-y^2)dxdy,d為x^2+y^2=rx所圍區域的圖形是什麼,為什麼x取[-π/2,π/2] ,y取[0,rcosθ]
8樓：匿名使用者
## 極座標系積分 積分割槽間
提供兩種方法：
作圖簡單，代數計算通用性好，適用於複雜情形
求二重積分∫∫根號下（r^2 -x^2-y^2）dxdy,其中積分割槽域d為圓周x^2+y^2=rx.
9樓：匿名使用者
按照下列從小到大的區間[-π/2→π/2]、[0→rcosθ]算出來的答案是對的，為什麼不是區間從[π/2 -> -π/2][rcosθ→0]呢,我按這個區間算出來答案是(r³/3)[4/3- π ]書上的區間都是從大到小的啊。∫∫ √(r²-x²-y²) dxdy=∫∫ r√(r²-r²) drdθ=∫[-π/2→π/2] dθ∫[0→rcosθ] r√(r²-r²) dr=(1/2)∫[-π/2→π/2] dθ∫[0→rcosθ] √(r²-r²) d(r²)=-(1/2)(2/3)∫[-π/2→π/2] (r²-r²)^(3/2) |[0→rcosθ] dθ=(1/3)∫[-π/2→π/2] (r³-r³|sinθ|³) dθ=(2r³/3)∫[0→π/2] (1-sin³θ) dθ=(2r³/3)[∫[0→π/2] 1 dθ - ∫[0→π/2] sin³θ dθ]=(2r³/3)[π/2 + ∫[0→π/2] sin²θ d(cosθ)]=(2r³/3)[π/2 + ∫[0→π/2] (1-cos²θ) d(cosθ)]=(2r³/3)[π/2 + cosθ - (1/3)cos³θ] |[0→π/2]=(2r³/3)[π/2 -1 + 1/3]=(2r³/3)[π/2 - 2/3]=(r³/3)[π - 4/3]
10樓：匿名使用者
區間是從小到大的啊，不要隨意更換，亂換最後計算肯定會算錯的。
二重積分根號下（r^2-x^2+y^2)其中d是由圓周x^2+y^2=rx所圍成的區域角度值怎麼確
11樓：弈軒
x^2+y^2=rx 先化為標準方程
=> x² -2(r/2·x) + (r/2)² +y²= (x-r/2)² +y² =(r/2)²
如果以(x,y)=(0,0)為極座標圓點來計算的話，那會非常麻煩。
應該以區域d，這個圓的圓心(x,y)=(r/2,0)為極座標圓點來建系。
即設 x-r/2=ρcosθ ；y=ρsinθ ，解答過程等會追答用圖展示。
如圖，如有疑問或不明白請追問哦！
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