1樓：匿名使用者
a^2b+ab^2-a-b
=(a^2b+ab^2)-(a+b)
=ab(a+b)-(a+b)
=(a+b)(ab-1)
=5*6=30
⑴提公因式法
各項都含有的公共的因式叫做這個多項式各項的公因式。
如果一個多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法。
具體方法：當各項係數都是整數時，公因式的係數應取各項係數的最大公約數；字母取各項的相同的字母，而且各字母的指數取次數最低的；取相同的多項式，多項式的次數取最低的。
如果多項式的第一項是負的，一般要提出「-」號，使括號內的第一項的係數成為正數。提出「-」號時，多項式的各項都要變號。
例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)；
a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。
注意：把2a^2+1/2變成2(a^2+1/4)不叫提公因式
⑵公式法
如果把乘法公式反過來，就可以把某些多項式分解因式，這種方法叫公式法。
平方差公式：a^2-b^2=(a+b)(a-b)；
完全平方公式：a^2±2ab＋b^2＝(a±b)^2；
注意：能運用完全平方公式分解因式的多項式必須是三項式，其中有兩項能寫成兩個數(或式)的平方和的形式，另一項是這兩個數(或式)的積的2倍。
立方和公式：a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)；
立方差公式：a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)；
完全立方公式：a^3±3a^2b＋3ab^2±b^3=(a±b)^3．
其餘公式請參看上邊的**。
例如：a^2 +4ab+4b^2 =(a+2b)^2(參看右圖)．
[編輯本段]競賽用到的方法
⑶分組分解法
分組分解是解方程的一種簡潔的方法，我們來學習這個知識。
能分組分解的方程有四項或大於四項，一般的分組分解有兩種形式：二二分法，三一分法。
比如：ax+ay+bx+by
=a(x+y)+b(x+y)
=(a+b)(x+y)
我們把ax和ay分一組，bx和by分一組，利用乘法分配律，兩兩相配，立即解除了困難。
同樣，這道題也可以這樣做。
ax+ay+bx+by
=x(a+b)+y(a+b)
=(a+b)(x+y)
幾道例題：
1. 5ax+5bx+3ay+3by
解法：=5x(a+b)+3y(a+b)
=(5x+3y)(a+b)
說明：係數不一樣一樣可以做分組分解，和上面一樣，把5ax和5bx看成整體，把3ay和3by看成一個整體，利用乘法分配律輕鬆解出。
2. x3-x2+x-1
解法：=(x3-x2)+(x-1)
=x2(x-1)+(x-1)
=(x-1)(x2+1)
利用二二分法，提公因式法提出x2，然後相合輕鬆解決。
3. x2-x-y2-y
解法：=(x2-y2)-(x+y)
=(x+y)(x-y)-(x+y)
=(x+y)(x-y-1)
利用二二分法，再利用公式法a2-b2=(a+b)(a-b)，然後相合解決。
⑷十字相乘法
這種方法有兩種情況。
①x^2+(p+q)x+pq型的式子的因式分解
這類二次三項式的特點是：二次項的係數是1；常數項是兩個數的積；一次項係數是常數項的兩個因數的和。因此，可以直接將某些二次項的係數是1的二次三項式因式分解：
x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) ．
②kx^2+mx+n型的式子的因式分解
如果如果有k=ac，n=bd，且有ad+bc=m時，那麼kx^2+mx+n=(ax+b)(cx+d)．
圖示如下：
a b×c d
例如：因為
1 -3
×7 2
-3×7=-21，1×2=2，且2-21=-19，
所以7x^2-19x-6=(7x+2)(x-3)．
十字相乘法口訣：首尾分解，交叉相乘，求和湊中
⑸拆項、添項法
這種方法指把多項式的某一項拆開或填補上互為相反數的兩項（或幾項），使原式適合於提公因式法、運用公式法或分組分解法進行分解。要注意，必須在與原多項式相等的原則下進行變形。
例如：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)
=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)
=(c+b)(c-a)(a+b)．
⑹配方法
對於某些不能利用公式法的多項式，可以將其配成一個完全平方式，然後再利用平方差公式，就能將其因式分解，這種方法叫配方法。屬於拆項、補項法的一種特殊情況。也要注意必須在與原多項式相等的原則下進行變形。
例如：x^2+3x-40
=x^2+3x+2.25-42.25
=(x+1.5)^2-(6.5)^2
=(x+8)(x-5)．
⑺應用因式定理
對於多項式f(x)=0，如果f(a)=0，那麼f(x)必含有因式x-a．
例如：f(x)=x^2+5x+6，f(-2)=0，則可確定x+2是x^2+5x+6的一個因式。(事實上，x^2+5x+6=(x+2)(x+3)．)
⑻換元法
有時在分解因式時，可以選擇多項式中的相同的部分換成另一個未知數，然後進行因式分解，最後再轉換回來，這種方法叫做換元法。
注意:換元后勿忘還元.
例如在分解(x^2+x+1)(x^2+x+2)-12時，可以令y=x^2+x,則
原式=(y+1)(y+2)-12
=y^2+3y+2-12=y^2+3y-10
=(y+5)(y-2)
=(x^2+x+5)(x^2+x-2)
=(x^2+x+5)(x+2)(x-1)．
也可以參看右圖。
⑼求根法
令多項式f(x)=0,求出其根為x1，x2，x3，……xn，則該多項式可分解為f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn) ．
例如在分解2x^4+7x^3-2x^2-13x+6時，令2x^4 +7x^3-2x^2-13x+6=0，
則通過綜合除法可知，該方程的根為0.5 ，-3，-2，1．
所以2x^4+7x^3-2x^2-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)．
⑽圖象法
令y=f(x)，做出函式y=f(x)的圖象，找到函式影象與x軸的交點x1 ,x2 ,x3 ,……xn ，則多項式可因式分解為f(x)= f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn)．
與方法⑼相比，能避開解方程的繁瑣，但是不夠準確。
例如在分解x^3 +2x^2 -5x-6時，可以令y=x^3 +2x^2 -5x-6.
作出其影象，與x軸交點為-3，-1，2
則x^3 +2x^2-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)．
⑾主元法
先選定一個字母為主元，然後把各項按這個字母次數從高到低排列，再進行因式分解。
⑿特殊值法
將2或10代入x，求出數p，將數p分解質因數，將質因數適當的組合，並將組合後的每一個因數寫成2或10的和與差的形式，將2或10還原成x，即得因式分解式。
例如在分解x^3+9x^2+23x+15時，令x=2，則
x^3 +9x^2 +23x+15=8+36+46+15=105，
將105分解成3個質因數的積，即105=3×5×7 ．
注意到多項式中最高項的係數為1，而3、5、7分別為x+1，x+3，x+5，在x=2時的值，
則x^3+9x^2+23x+15可能等於(x+1)(x+3)(x+5)，驗證後的確如此。
⒀待定係數法
首先判斷出分解因式的形式，然後設出相應整式的字母系數，求出字母系數，從而把多項式因式分解。
例如在分解x^4-x^3-5x^2-6x-4時，由分析可知：這個多項式沒有一次因式，因而只能分解為兩個二次因式。
於是設x^4-x^3-5x^2-6x-4=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)
=x^4+(a+c)x^3+(ac+b+d)x^2+(ad+bc)x+bd
由此可得a+c=-1，
ac+b+d=-5，
ad+bc=-6，
bd=-4．
解得a=1，b=1，c=-2，d=-4．
則x^4-x^3-5x^2-6x-4=(x^2+x+1)(x^2-2x-4)．
也可以參看右圖。
⒁雙十字相乘法
雙十字相乘法屬於因式分解的一類，類似於十字相乘法。用一道例題來說明如何使用。
例：分解因式：x^2+5xy+6y^2+8x+18y+12．
分析：這是一個二次六項式，可考慮使用雙十字相乘法進行因式分解。
解：x 2y 2
① ② ③
x 3y 6
∴原式=(x+2y+2)(x+3y+6)．
雙十字相乘法其步驟為：
①先用十字相乘法分解2次項，如十字相乘圖①中x^2+5xy+6y^2=(x+2y)(x+3y)；
②先依一個字母（如y）的一次係數分數常數項。如十字相乘圖②中6y^2+18y+12=(2y+2)(3y+6)；
③再按另一個字母（如x）的一次係數進行檢驗，如十字相乘圖③，這一步不能省，否則容易出錯。
[編輯本段]多項式因式分解的一般步驟：
①如果多項式的各項有公因式，那麼先提公因式；
②如果各項沒有公因式，那麼可嘗試運用公式、十字相乘法來分解；
③如果用上述方法不能分解，那麼可以嘗試用分組、拆項、補項法來分解；
④分解因式，必須進行到每一個多項式因式都不能再分解為止。
也可以用一句話來概括：「先看有無公因式，再看能否套公式。十字相乘試一試，分組分解要合適。」
幾道例題
1．分解因式(1+y)^2-2x^2(1+y^2)+x^4(1-y)^2．
解：原式=(1+y)^2+2(1+y)x^2(1-y)+x^4(1-y)^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)（補項）
=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)（完全平方）
=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-(2x)^2
=[(1+y)+x^2(1-y)+2x][(1+y)+x^2(1-y)-2x]
=(x^2-x^2y+2x+y+1)(x^2-x^2y-2x+y+1)
=[(x+1)^2-y(x^2-1)][(x-1)^2-y(x^2-1)]
=(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)．
2．求證：對於任何實數x,y，下式的值都不會為33：
x^5+3x^4y-5x^3y^2-15x^2y^3+4xy^4+12y^5．
解：原式=(x^5+3x^4y)-(5x^3y^2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5)
=x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y)
=(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4)
=(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2)
=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)．
（分解因式的過程也可以參看右圖。）
當y=0時，原式=x^5不等於33；當y不等於0時，x+3y，x+y，x-y，x+2y，x-2y互不相同，而33不能分成四個以上不同因數的積，所以原命題成立。
3.．△abc的三邊a、b、c有如下關係式：-c^2+a^2+2ab-2bc=0，求證：這個三角形是等腰三角形。
分析：此題實質上是對關係式的等號左邊的多項式進行因式分解。
證明：∵-c^2+a^2+2ab-2bc=0，
∴(a+c)(a-c)+2b(a-c)=0．
∴(a-c)(a+2b+c)=0．
∵a、b、c是△abc的三條邊，
∴a＋2b＋c＞0．
∴a－c＝0，
即a＝c，△abc為等腰三角形。
4．把-12x^2n×y^n+18x^(n+2)y^(n+1)-6x^n×y^(n-1)分解因式。
解：-12x^2n×y^n+18x^(n+2)y^(n+1)-6x^n×y^(n-1)
=-6x^n×y^(n-1)(2x^n×y-3x^2y^2+1)．
[編輯本段]因式分解四個注意：
因式分解中的四個注意，可用四句話概括如下：首項有負常提負，各項有「公」先提「公」，某項提出莫漏1，括號裡面分到「底」。 現舉下例 可供參考
例1 把－a2－b2＋2ab＋4分解因式。
解：－a2－b2＋2ab＋4＝－（a2－2ab＋b2－4）＝－（a－b＋2）（a－b－2）
這裡的「負」，指「負號」。如果多項式的第一項是負的，一般要提出負號，使括號內第一項係數是正的。防止學生出現諸如－9x2＋4y2＝（－3x）2－（2y）2＝（－3x＋2y）（－3x－2y）＝（3x－2y）（3x＋2y）的錯誤
例2把－12x2nyn＋18xn＋2yn＋1－6xnyn－1分解因式。解：－12x2nyn＋18xn＋2yn＋1－6xnyn－1＝－6xnyn－1（2xny－3x2y2＋1）
這裡的「公」指「公因式」。如果多項式的各項含有公因式，那麼先提取這個公因式，再進一步分解因式；這裡的「1」，是指多項式的某個整項是公因式時，先提出這個公因式後，括號內切勿漏掉1。
分解因式，必須進行到每一個多項式因式都不能再分解為止。即分解到底，不能半途而廢的意思。其中包含提公因式要一次性提「乾淨」，不留「尾巴」，並使每一個括號內的多項式都不能再分解。
防止學生出現諸如4x4y2－5x2y2－9y2＝y2（4x4－5x2－9）＝y2（x2＋1）（4x2－9）的錯誤。
考試時應注意：
在沒有說明化到實數時，一般只化到有理數就夠了
由此看來，因式分解中的四個注意貫穿於因式分解的四種基本方法之中，與因式分解的四個步驟或說一般思考順序的四句話：「先看有無公因式，再看能否套公式，十字相乘試一試，分組分解要合適」是一脈相承的。
[編輯本段]因式分解的應用
1、 應用於多項式除法。
2、 應用於高次方程的求根
為什麼ab2ab2ab2ba,b均為正數
解 a b均為正數 1 a b 0 a b 2ab a b 2 a b a b 4 a b 2ab 4 a b a b 即 a b 2 a b 2.a b 0 a b 2 ab a b 2 ab 3.2 1 a 1 b 2ab a b 又 a b 2 ab 2 1 a 1 b 2ab a b 2ab...
已知向量a,b滿足ab2,ab4,求a
上圖中平行四邊行的邊為a與b，兩對角線分別為a b與a b，圖中標記為紅色的向量o2p為a b，則 a b a b 2a，即圖中o1o2 o2p o1p 使o2p以o2為軸旋轉，可得到o1p即2a大小的可能取值範圍，所以 當o2p與o1o2方向相同時，o1p最長，長度為4 2 6 2 a 所以 a ...
已知ab2的絕對值ab120求ab
因為 a b 2 ab 1 2 0 所以a b 2 0 ab 1 0 所以a b 2 ab 1 代入得原式 4 3 3 2 1 4 3 3 13 3 注 絕對值 0，平方 0 望採納 a b 2的絕對值 ab 1 2 0 a b 2 0,ab 1 0 a b 2,ab 1 a b 2 3ab 3ab...