1樓：匿名使用者
本題用重積分可以算復出制，結果是:v＝（4/3）πabc.
我們不bai去抄書。直觀地說明一下du
：球x²+y²+z²＝a² 體積v＝（zhi4/3）πa³.
方程dao
改寫為：x²/a²＋y²/a²+z²/a²＝1。
把球沿y軸向兩側拉壓至b/a倍。體積增至b/a倍，v＝（4/3）πa³×b/a
＝（4/3）πa²b.
而球也變成了橢球x²/a²+y²/b²+z²/a²＝1.
再把此橢球沿z軸向上下拉壓至c／a倍.變成了橢球x²/a²+y²/b²+z²/c²＝1.
而體積也再增加至c/a倍，達v＝（4/3）πa²b×c/a＝（4/3）πabc.
計算由曲面z=2-x^2-y^2及z=√(x^2+y^2)所圍成的立體的體積
2樓：您輸入了違法字
首先將兩個方程並列找出兩個曲面相交的曲線.通過消去z,得到：
2-x²=x²+2y²
即x²+y²=1
所以,此曲線位於半徑為1的圓柱面上.那麼x和y的積分限很容易就找到了：x²+y²=1
要找到z的積分限,就需要知道兩個曲面哪個在上面,哪個在下面.因為所包的體積在圓柱內部,所以要求x²+y²<1.用這個條件,我們發現2-x²>x²+2y²,即z=2-x²在上面,z=x²+2y²在下面。
根據上面的討論,我們就可以寫出體積分：
v=∫∫dxdy∫_(x²+2y²)^(2-x²)dz
這裡用符號_(x²+2y²)來表達z積分的下限,^(2-x²)表達z積分的上限.(記住xy積分限是圓形x²+y²=1.)
對z的積分很容易：
∫_(x²+2y²)^(2-x²)dz=(2-x²)-(x²+2y²)=2-2x²-2y²
剩下的就是對xy的兩重積分。
v=∫∫(2-2x²-2y²)dxdy
這個積分最容易在極座標裡做.變換為極座標時,x²+y²=r²,dxdy=rdrdφ.積分限為r從0到1,φ從0到2π.
v=∫∫(2-2x²-2y²)dxdy=∫_0^1(2-2r²)rdr∫_0^(2π)dφ
兩個積分各為：
∫_0^(2π)dφ=2π
∫_0^1(2-2r²)rdr=r²-(1/2)r^4|_0^1=1/2
v=(1/2)2π=π
所以體積是π。
3樓：cyxcc的海角
聯立方程，消去z得交線在xoy面的投影曲線為x^2+y^2=1,所以v=∫∫x^2+y^2＜=1(2-x^2-y^2-√(x^2+y^2))dxdy=5∏/6(二重積分自己算一下吧)
求柱面x^2+y^2=2，上半球面z= 根號下1-x^2-y^2以及z=0 所圍成立體的體積.
4樓：匿名使用者
柱面為x^2+y^2=x吧？
5樓：蒼天祝我
你題目是不是抄錯了，這個球的半徑比柱面的半徑要小啊，整個 球在柱面裡面，怎麼圍成一個立體啊
求曲線積分∫(x^2)ds,其中為球面x^2+y^2+z^2=a^2與平面x+y+z=0的交線
6樓：曉龍修理
結果為：2πa³/3
解題過程如下：
解：曲線投影到xoy面上
得到曲線x²+xy+y²＝a²/2
配方(x+y/2)²+3/4y²＝a²/2
令x+y/2＝√2/2acost
√3/2y＝√2/2asint
所以x=√2/2acost-√6/6asint
y=√6/3asint
z=-x-y=-√2/2acost-√6/6asint
ds＝√[x'²+y'²+z'²]dt＝adt
所以，∫x²ds＝∫(0到2π) (√2/2acost-√6/6asint)²adt＝2πa³/3
求函式積分的方法：
如果一個函式f在某個區間上黎曼可積，並且在此區間上大於等於零。那麼它在這個區間上的積分也大於等於零。如果f勒貝格可積並且幾乎總是大於等於零，那麼它的勒貝格積分也大於等於零。
作為推論，如果兩個 上的可積函式f和g相比，f（幾乎）總是小於等於g，那麼f的（勒貝格）積分也小於等於g的（勒貝格）積分。
函式的積分表示了函式在某個區域上的整體性質，改變函式某點的取值不會改變它的積分值。對於黎曼可積的函式，改變有限個點的取值，其積分不變。
對於勒貝格可積的函式，某個測度為0的集合上的函式值改變，不會影響它的積分值。如果兩個函式幾乎處處相同，那麼它們的積分相同。如果對 中任意元素a，可積函式f在a上的積分總等於（大於等於）可積函式g在a上的積分，那麼f幾乎處處等於（大於等於）g。
如果在閉區間[a,b]上，無論怎樣進行取樣分割，只要它的子區間長度最大值足夠小，函式f的黎曼和都會趨向於一個確定的值s，那麼f在閉區間[a,b]上的黎曼積分存在，並且定義為黎曼和的極限s。
7樓：
解法一來：根據輪換對稱自性，∫x²ds＝∫y²ds＝∫z²ds。
所以∫x²ds＝1/3∫(x²+y²+z²)ds＝1/3∫a²ds＝1/3×a²×2πa＝2πa³/3。
解法二：曲線投影到xoy面上，得到曲線x²+xy+y²＝a²/2，配方(x+y/2)²+3/4y²＝a²/2，令x+y/2＝√2/2acost，√3/2y＝√2/2asint，所以x=√2/2acost-√6/6asint，y=√6/3asint，z=-x-y=-√2/2acost-√6/6asint，t從0到2π。
ds＝√[x'²+y'²+z'²]dt＝adt。
所以，∫x²ds＝∫(0到2π) (√2/2acost-√6/6asint)²adt＝2πa³/3。
計算曲線積分∫ydx+zdy+xdz,其中為x^2+y^2+z^2=a與x+y+z=0的交線。從x
8樓：匿名使用者
答：- √3πa²
γ為x²+y²+z²=a²與x+y+z=0的交線從x正軸往x負軸看過去是逆時針的方向，即正向，取 +∮_(γ) y dx + z dy + x dz= ∫∫_(σ) rota * n ds，<-- stokes公式= ∫∫_(σ) - dydz - dzdx - dxdy= - ∫∫_(σ) dydz + dzdx + dxdy取σ為平面z = - x - y，z'x = z'y = - 1，取上側
則在xoy面的投影為橢圓區域：x²+y²+(x+y)²=a²這個橢圓面積很難算，是a²π/√3
= - ∫∫_(d) [ (1)(- z'x) + (1)(- z'y) + 1 ] dxdy
= - ∫∫_(d) [ (1)(1) + (1)(1) + 1 ] dxdy
= - 3∫∫_(d) dxdy
= - 3 * 橢圓d的面積
= - 3 * a²π/√3
= - √3πa²
影象是這樣的：可見在yoz面的投影是個橢圓曲線
計算三重積分∫∫∫ω（x^2+y^2）dv,其中ω是由曲面x^2+y^2=2z和z=2所圍成的閉區域
9樓：曉龍修理
^結果為：16π/3
解題過程如copy下：
解：原式=∫
<0,2π>dθ∫<0,2>rdr∫r^2dz (作柱面座標變換)
=2π∫<0,2>r^3(2-r^2/2)dr
=2π∫<0,2>(2r^3-r^5/2)dr
=2π(2^4/2-2^6/12)
=2π(8/3)
=16π/3
求函式積分的方法：
設f（x）是函式f（x）的一個原函式，我們把函式f（x）的所有原函式f（x）+c（c為任意常數）叫做函式f（x）的不定積分，記作，即∫f（x）dx=f（x）+c。
其中∫叫做積分號，f（x）叫做被積函式，x叫做積分變數，f（x）dx叫做被積式，c叫做積分常數，求已知函式不定積分的過程叫做對這個函式進行積分。
積分是微積分學與數學分析裡的一個核心概念。通常分為定積分和不定積分兩種。直觀地說，對於一個給定的實函式f（x），在區間[a，b]上的定積分。
若f（x）在[a,b]上恆為正，可以將定積分理解為在oxy座標平面上，由曲線（x，f（x））、直線x=a、x=b以及x軸圍成的面積值（一種確定的實數值）。
10樓：匿名使用者
^你做錯了，不能那麼轉換。
解：原式=∫<0,2π>dθ∫<0,2>rdr∫專2/2,2>r^2dz (作柱面座標屬變換)
=2π∫
<0,2>r^3(2-r^2/2)dr
=2π∫<0,2>(2r^3-r^5/2)dr=2π(2^4/2-2^6/12)
=2π(8/3)
=16π/3。
求曲線積分 x 2 ds,其中為球面x 2 y 2 z 2 a 2與平面x y z 0的交線
結果為 2 a 3 解題過程如下 解 曲線投影到xoy面上 得到曲線x xy y a 2 配方 x y 2 3 4y a 2 令x y 2 2 2acost 3 2y 2 2asint 所以x 2 2acost 6 6asint y 6 3asint z x y 2 2acost 6 6asint ...
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x y u,f x y f u 2xdx 2ydy 2zdz f u dy yf u ydx xdy y 2 f u dy f u ydx xdy y 2xydx 2y 2dy 2yzdz yf u dy f u ydx xdy x 2 y 2 z 2 dy f u ydx xdy y 2x f u...