1樓：毛職汗和玉
cauchy不等式的形式化寫法就是：
記兩列數分別是ai,
bi，則有
(∑ai^2)
*(∑bi^2)
≥(∑ai
*bi)^2.
令f(x)
=∑(ai+x
*bi)^2
=(∑bi^2)
*x^2+2
*(∑ai
*bi)*x
+(∑ai^2)
則恆有f(x)≥0.
用二次函式無實根或只有一個實根的條件，就有δ=4*
(∑ai
*bi)^2-4
*(∑ai^2)
*(∑bi^2)≤0.
於是移項得到結論。
還可以用向量來證.
m=(a1,a2......an)
n=(b1,b2......bn)
mn=a1b1+a2b2+......+anbn=(a1^+a2^+......+an^)^1/2乘以(b1^+b2^+......+bn^)^1/2乘以cosx．
因為cosx小於等於1，所以：a1b1+a2b2+......+anbn小於等於a1^+a2^+......
+an^)^1/2乘以(b1^+b2^+......+bn^)^1/2
這就證明了不等式．
柯西不等式還有很多種方法證，這裡只寫出兩種較常用的證法．
2樓：爾姮屠默
柯西不等式在求某些函式最值中和證明某些不等式時是經常使用的理論根據，我們在教學中應給予極大的重視。
■巧拆常數：
例：設a、b、c
為正數且各不相等。
求證：2/(a+b)+2/(b+c)+2/(c+a)＞9/(a+b+c)
分析：∵a
、b、c
均為正數
∴為證結論正確只需證：2*(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]＞9
而2(a+b+c)=(a+b)+(a+c)+(c+b)
又9=(1+1+1)(1+1+1)
證明：θ2(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]＝[(a+b)+(a+c)+(b+c)][1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]≥(1+1+1)(1+1+1)=9
又a、b
、c各不相等，故等號不能成立
∴原不等式成立。
柯西不等式有哪些推論及證明
3樓：hi漫海
柯西不等式是由大數學家柯西(cauchy)在研究數學分析中的「流數」問題時得到的。但從歷史的角度講，該不等式應當稱為cauchy-buniakowsky-schwarz不等式【柯西-布尼亞科夫斯基-施瓦茨不等式】，因為，正是後兩位數學家彼此獨立地在積分學中推而廣之，才將這一不等式應用到近乎完善的地步。 柯西不等式在高中數學提升中非常重要，是高中數學研究內容之一。
推論及證明
4樓：茶茶醬
cauchy不等式的形式化寫法就是： 記兩列數分別是ai, bi，則有 (∑ai^2) * (∑bi^2) ≥ (∑ai *bi)^2. 令 f(x) = ∑(ai + x * bi)^2 = (∑bi^2) * x^2 + 2 * (∑ai * bi) * x + (∑ai^2) 則恆有 f(x) ≥ 0.
用二次函式無實根或只有一個實根的條件，就有 δ = 4 * (∑ai * bi)^2 - 4 * (∑ai^2) * (∑bi^2) ≤ 0. 於是移項得到結論。 還可以用向量來證.
m=(a1,a2......an) n=(b1,b2......bn) mn=a1b1+a2b2+......
+anbn=(a1^+a2^+......+an^)^1/2乘以(b1^+b2^+......+bn^)^1/2乘以cosx． 因為cosx小於等於1，所以：
a1b1+a2b2+......+anbn小於等於a1^+a2^+......+an^)^1/2乘以(b1^+b2^+......
+bn^)^1/2 這就證明了不等式． 柯西不等式還有很多種方法證，這裡只寫出兩種較常用的證法． 參考資料： http://zhidao.
5樓：茶杯
可參考柯西不等式在中學數學中的應用 http://hx.ptzx.
net/sx/sxsj/200810/357.html 其他資料 http://baike.
柯西不等式的推導和運用
6樓：甄成暢燕
柯西不等式在求某些函式最值中和證明某些不等式時是經常使用的理論根據，我們在教學中應給予極大的重視。
巧拆常數證不等式
例：設a、b、c為正數且互不相等。
求證：2/(a+b)+2/(b+c)+2/(c+a)＞9/(a+b+c)
∵a、b
、c均為正數
∴為證結論正確，只需證：2(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]＞9
而2(a+b+c)=(a+b)+(a+c)+(c+b)
又9=(1+1+1)^2
∴只需證：2(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]＝[(a+b)+(a+c)+(b+c)][1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]≥(1+1+1)^2=9
又a、b
、c互不相等，故等號成立條件無法滿足
∴原不等式成立
求某些函式最值
例：求函式y=3√(x－5)＋4√(9－x)的最大值。
注：「√」表示平方根。
函式的定義域為[5,
9]，y＞0
y=3√(x－5)＋4√(9－x)
≤√(3^2＋4^2)×√
＝5×2＝10
函式在且僅在4√(x－5)＝3√(9－x)，即x＝6.44時取到。
以上只是柯西不等式的部分示例。更多示例請參考有關文獻。
求證柯西不等式推論∑a∧2/b≥(∑a)∧2/∑b
7樓：匿名使用者
(a1²/b1+a2²/b2+...an²/bn) ≥(a1+a2+...+an)²/(b1+b2+...+bn)
即證(a1²/b1+a2²/b2+...an²/bn)(b1+b2+...+bn) ≥(a1+a2+...+an)²
由柯西不等式，可得：
[(a1/√b1)²+(a2/√b2)²+...(an/√bn)²][(√b1)²+(√b2)²+...+(√bn)²]≥ (a1+a2+...+an)²
所以推論成立。
均值不等式柯西不等式三角不等式的一般形式是什麼
均值不等式一般高中只需掌握幾何平均數和算術平均數就可以了，柯西不等式只有在選修不等式中會用到，平常做題用的很少，我寫的是最基本的形式，有推廣你可以到時候學選修的時候書上看，都有的 三角不等式是在學向量的時候老師會擴充套件，我這個寫的也是基礎的，所以你不用擔心，以後老師都會在課堂上講到的。希望能幫到你...
不等式的性質有哪些，不等式的基本性質有哪些？
基本性質 如果x y，那麼yy 對稱性 如果x y，y z 那麼x z 傳遞性 如果x y，而z為任意實數或整式，那麼x z y z 加法原則，或叫同向不等式可加性 如果x y，z 0，那麼xz yz 如果x y，z 0，那麼xz 如果x y，m n，那麼x m y n 充分不必要條件 如果x y ...
不等式的性質有哪些，不等式的基本性質有哪些？
不等式的兩邊同加上 或減去 同一個數，不等號的方向不變。不等式的兩邊同乘 或除以 同一個正數，不等號的方向不變。不等式的兩邊同乘 或除以 同一個負數，不等號的方向改變。基本性質 如果x y，那麼y y 對稱性 如果x y，y z 那麼x z 傳遞性 如果x y，而z為任意實數或整式，那麼x z y ...