1樓：匿名使用者
證： 設 m0a+m1aa+m2a^2a+……m(k-1)a^(k-1)a=0 (1)
用a^(k-1)左乘等式兩邊。
m0a^(k-1)a+m1a^ka+m2a^(k+1)a+……m(k-1)a^(2k-2)a=0
因為a^ka=0,故得 m0a^(k-1)a=0.
又因為 a^(k-1)a≠0, 所以 m0=0.
1)式變為 m1aa+m2a^2a+……m(k-1)a^(k-1)a=0 (2)
再用a^(k-2)左乘(2)式兩邊，由a^ka=0, 同樣得 m1a^(k-1)a=0.
再由 a^(k-1)a≠0, 知 m1=0.
所以有 m2a^2a+……m(n-1)a^(k-1)a=0 (3)
如此下去， 得 m0=m1=m2=..m(k-1)=0.
所以 a,aa,a^2a,……a^(k-1)a 線性無關。
2樓：匿名使用者
設（x1 x2 ··xn）,(y1 y2···yn）為兩非零向量先證充分性：證： 必要性。 設 a1,a2 線性相關， 則存在不全為0的數 k1,k2 使。
3樓：匿名使用者
證明：(1) 因為 ab=aa+bb
所以 (a-be)(b-ae)=ab-aa-bb+abe=abe因為ab≠0, 所以 a-be,b-ae 都可逆。
且 (a-be)^-1 = 1/ab)(b-ae)(b-ae)^-1 = 1/ab)(a-be)(2) 由ab=aa+bb
得 a(b-ae)=bb
所以由b≠0, b可逆 即得知a可逆。
同理， a可逆時可得b可逆。
3)由(1)(a-be)^-1 = 1/ab)(b-ae)所以 (a-be)[(1/ab)(b-ae)]=1/ab)(b-ae)](a-be)
所以 (a-be)(b-ae)=(b-ae)(a-be)得 ab-aa-bb+abe=ba-aa-bb+abe所以 ab=ba.
4樓：亂答一氣
ab=aa+bb
兩邊左乘a^(-1)得。
b=a+ba^(-1)b
b-ae=ba^(-1)b (1)
兩邊右乘b^(-1)得。
a=aab^(-1)+b
a-be=aab^(-1) (2)
1)×(2)得。
a-be)(b-ae)=aab^(-1) *ba^(-1)b=ab即(a-be)(b-ae)/(ab)=1
所以a-be和b-ae都可逆。
且a-be逆是(b-ae)/(ab)，b-ae逆是(a-be)/(ab)，若a可逆，兩邊左乘a^(-1)得。
b=a+ba^(-1)b
e-ba^(-1)]b /a=e
因此b可逆，且b的逆是[e-ba^(-1)]/a同理可證。若b可逆，兩邊左乘b^(-1)得。
a=aab^(-1)+b
a[e-ab^(-1)] b=e
因此a可逆，且a的逆是[e-ab^(-1)] bab=aa+bb
兩邊同乘a^(-1)
b=a+ba^(-1)b
兩邊右乘aba=aa+ba^(-1)ba
這個地方做不出來了。
5樓：匿名使用者
當理解了向量和矩陣的關係之後，你就會發覺線性代數還是挺簡單的。
向量其實就是矩陣，只不過其中一個長度是1而已。常數其實也是一個矩陣，只不過它是一乘一的而已。向量可以組合變成矩陣。
下面我們來做題吧。
我們讓alpha1和alpha2和alpha3組成矩陣a=(alpha1,alpha2,alpha3)。那麼我們就可以藉助a來討論我們的問題了。
線性表示的問題可以表述為ax=beta，為什麼呢，你把向量看成是元素，那麼ax=beta就是(alpha1,alpha2,alpha3)*(x1,x2,x3)^t=beta，點乘知不知道？這個形式就是點乘的形式了：alpha1*x1+alpha2*x2+alpha3*x3=beta，這就是線性表示的定義呀。
下面我們的線性表示問題就是求矩陣方程解的情況問題了。（為什麼？因為方程有唯一解就是對應可以唯一線性表示呀，解就是線性表示的係數呀）。
那麼由方程的解的理論，這應該在前面幾章著重**了吧，這裡我預設你會了。
這裡有個重要關係：
滿秩就是可逆就是行列式非零就是有唯一解，這四者完全等價！！！
那麼求唯一的線性表示方法不就是求行列式|a|非零嗎！！！
問題就轉化為求行列式的問題了，但願你行列式基礎還行。
同理，不唯一線性表示也就意味著行列式為零且r(a)=r(a,beta)。無解就是行列式為零且r(a)不等於r(a,beta)。
6樓：閒庭信步
第1題的證明是錯誤的，你是在預設a1,a2,a3線性無關的前提下，才能令。
k1+k2=0
k2+k3=0
k3=0但a1,a2,a3線性無關正是我們要證明的。
第二題的第一問的解答是正確的。
第2題的第2問的結論是否定的。
事實上，若am可由a1,..am-1線性表示，而b又可由a1,..am-1,am線性表示，那麼把am用a1,..
am-1的表示式代入b用a1,..am-1,am的表示式就可得出b可用a1,..am-1線性表示，這與題設是矛盾的。
故am不能用a1,..am-1線性表示。
7樓：匿名使用者
證明 由於α1，α2，..m是齊次線性方程組ax=0的基礎解系，故α1，α2，..m線性無關，反證法，假設α1+β，2+β.
m+β，線性相關，則存在不全為零的數k1,k2,..km,k使得。
k1(α1+β)k2(α2+β)km (αm+β)kβ=0
k1α1+ k2α2+…+kmαm+(k1+ k2+…+km+k)β=0
顯然k1+ k2+…+km+k≠0，否則k1α1+ k2α2+…+kmαm=0，這與α1，α2，..m線性無關矛盾，將上式兩邊同時左乘a得。
a(k1α1+ k2α2+…+kmαm+(k1+ k2+…+km+k)β)0
k1+ k2+…+km+k)aβ=0
由k1+ k2+…+km+k≠0得aβ=0，又aβ=b,b=0,矛盾。
8樓：匿名使用者
【分析】
1、證明矩陣a是正定矩陣，首先證明a是對稱矩陣 ！！
2、正定的條件有若干，選擇其一即可。
證明】充分性：
btab）t = btab，是對稱矩陣。
當x≠0時，r(b)=n，所以bx≠0，又因為a是正定矩陣， 根據正定定義。
二次型xt(btab)x = bx)ta(bx) ＞0所以btab正定。
必要性：因為矩陣a，矩陣btab正定，所以二次型xt(btab)x = bx)ta(bx) ＞0
即當x≠0時，bx≠0，那麼r(b)=n
newmanhero 2023年6月14日17:33:51
9樓：匿名使用者
條件是a^ta＝i，而a^t－a＝－a+a^t，等式左邊加上a^ta－i，右邊加上i－a^ta，得(a－i)^t(a+i)＝－a+i)^t(a－i)。
由於a－i可逆，等式兩邊左乘(a－i)^(t)，右乘(a－i)^(1)，a+i)(a－i)^(1)＝－a－i)^(t)(a+i)^t，即b＝－b^t。於是b是反對稱陣。
10樓：匿名使用者
知識點：
1.(ab)^t=b^ta^t
2.(a^t)^-1=(a^-1)^t
是正交矩陣， 則a^t=a^-1
4.若ab=ba且a可逆， 則 a^-1b=ba^-1證明： b^t=[(a+i)(a-i)^-1]^t= (a-i)^-1^t(a+i)^t --知識點1= (a-i)^t^-1(a+i)^t --知識點2= (a^t-i^t)^-1(a^t+i^t)= a^-1-i)^-1(a^-1+i) -知識點3= (a^-1-i)^-1(a^-1a)(a^-1+i)= i-a)^-1(i+a)
(a-i)^-1(a+i)
(a+i)(a-i)^-1 --知識點4= -b.
所以b是反對稱矩陣。
11樓：匿名使用者
樓上的做法必須假設b可逆才成立，而本題只說b是方陣，未必可逆。正確的做法如下，利用一個定理：當a，b是方陣時，ab=e <=ba=e。
證：b=e+ab =>b-ab=e =>e-a)b=e =>b(e-a)=e =>b-ba=e =>b=e+ba，與b=e+ab相減可知ab=ba。
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a 1,2,3 1,1,2 b 1,2,3 1,2,3 a,b a b 1,1,2 1,2,3 1,2,3 1,2,3 1,1,2 i 1,2,3 1,1,2 1,2,3 4a,b w a a b b 0 k1,k2 r k1a k2b k1a k2b k1a k1a k1b k2b 0 0 0 k...