1樓：匿名使用者
先求導數f'(x)=1+a/x f'(x)>0為增函式，f'(x)<0為減函式。另外lnx定義域是x>0。
一、若a>0
當1+a/x >0，即a/x >-1；則x<-a或x>0，取(0,+∞)區間為增函式；
當1+a/x <0，即a/x <-1；則-a0矛盾，因此沒有減函式。
二、若a<0
1.當1+a/x >0，即a/x >-1；則x<0或x>-a，取(-a；+∞)區間為增函式；
2.當1+a/x <0，即a/x <-1；則0
三、當a=0
f（x）=x-1，函式為增函式，因為lnx定義域是x>0，所以全部定義域(0，+∞)都是單調區間。
2樓：居芝析夏
解：f(x)=x+alnx-1，a屬於r。定義域：
(0，正無窮)，f'(x)=1+a/x=(x+a)/x。(1)當a>=0時，令f'(x)=0，即x+a=0，x=-a，-a=<0，即當x屬於(0，正無窮)上時，恆有f'(x)>=0，故f(x)在(0，正無窮)上單調遞增。(2)當a<0時，令f'(x)=0，x=-a，-a>0，即當f'(x)<0時，x屬於(0，-a)，當f'(x)>0時，x屬於(-a，正無窮)。
故f(x)的單調增區間為(-a，正無窮)，單調減區間為(0，-a)。然後，綜上所述：當a>0，…當…
已知函式f（x）=x+alnx-1，a∈r．（ⅰ）求函式f（x）的單調區間；（ⅱ）若2f（x）+lnxx≥0對於任意x∈[1
3樓：
（i）∵f（x）=x+alnx-1，
∴f′（x）=1+a
x=x+ax，
當a≥0時，f′（x）＞0恆成立，此時f（x）在（0，+∞）上單調遞增；
當a＜0時，若f′（x）＞0，則x＞-a，若f′（x）＜0，則0＜x＜-a，
故此時，f（x）在（0，-a）上單調遞減，在（-a，+∞）上單調遞增；
（ii）若2f（x）+lnx
x≥0對於任意x∈[1，+∞）恆成立，
即2x+2alnx-2+lnx
x≥0對於任意x∈[1，+∞）恆成立，
設g（x）=2x+2alnx-2+lnx
x，x∈[1，+∞），
則g′（x）=2+2a
x+1?lnx
x=2x
+2ax+1?lnx
x，x∈[1，+∞）
當a≥0時，g′（x）＞0恆成立，此時g（x）在[1，+∞）上單調遞增；
∴g（x）≥g（1）=0恆成立，
當-32
≤a＜0時，
設h（x）=2x2+2ax+1-lnx，x∈[1，+∞）
h′（x）=4x+2a-1
x＞0，
∴h（x）為增函式，
h（x）≥h（1）＞0
此時g（x）在[1，+∞）上單調遞增；
∴g（x）≥g（1）=0恆成立，
當a＜-3
2時，若x∈[1，?2a+1
2）時，2a+1＜-2x，
由（i）知，當a=-1時，f（x）=x-lnx-1≥f（1）=0，
∴lnx≤x-1，-lnx≤1
x-1，
此時h（x）＜0，
故g′（x）＜0，
此時g（x）在[1，?2a+1
2）上單調遞減；
∴g（x）＜g（1）=0，為符合題意，
綜上所述，a≥-32
已知函式f(x)=alnx+1/x，a∈r，若f(x)有極值，求a的取值範圍。
4樓：徐少
(0，+∞)
解：定義域：(0，+∞)
f'(x)
=(alnx+1/x)'
=a/x-1/x²
=(ax-1)/x²
(1) a≤0時，
∵ a≤0，x>0
∴ -ax-1<0
∴ f'(x)<0
∴ f(x)在開區間(0，+∞)上單調遞減∴ f(x)在(0，+∞)上無極值
(2) a>0時，
01/a時，f'(x)>0，f(x)↗；
所以，f(x)在x>1/a處取得極小值
綜上，a的取值範圍是(0，+∞)
ps：附上y=2lnx+1/x的函式影象
5樓：皮皮鬼
解由f(x)=alnx+1/x知x＞0
求導f'(x)=a/x-1/x^2
由f(x)有極值
知f'(x)=0在x＞0時有解
則a/x-1/x^2=0
即(ax-1)/x^2=0
解得x=1/a
又由x＞0
則1/a＞0
解得a＞0
已知函式f（x）=x-alnx+1+ax（a∈r）．（1）求函式f（x）的單調區間；（2）若f（x）在區間[1，e]上存在一
6樓：代代悅
（1）函式f（x）的定義域為（0，+∞）．
∴f′(x)＝1?a
x?1+ax＝x
?ax?(1+a)
x＝(x+1)[x?(1+a)]x，
由定義域可知x+1＞0．
①當a+1＞0，即a＞-1時，
由f'（x）＞0得x＞1+a；由f'（x）＜0得x＜1+a．
所以f（x）的增區間為（1+a，+∞），減區間為（0，1+a）．
②當1+a≤0，即a≤-1時，易見f'（x）＞0．
所以f（x）的增區間為（0，+∞）．
（2）f（x）在區間[1，e]上存在一個零點等價於f（x）在區間[1，e]的最小值不大於0．
①若1+a≥e，即a≥e-1時，由（1）可知f（x）在區間[1，e]為減函式，
所以f(x)
min＝f(e)＝e+1+a
e?a≤0，
解得a≥e
+1e?1
因為e+1
e?1＞e?1，所以a≥e
+1e?1
．②當1+a≤1，即a≤0時，f（x）在[1，e]上單調遞增，
所以f（x）的最小值為f（1）=1+1+a≤0
解得a≤-2．
③當1＜1+a＜e，即0＜a＜1-e時，f（x）的最小值為f（1+a）=2+a-aln（1+a）
因為0＜ln（1+a）＜1，所以f（1+a）=2+a[1-ln（1+a）]＞2
即此時f（x）在區間[1，e]上無零點．
綜合①，②，③的討論可知a的取值範圍是(?∞， ?2]∪[e
+1e?1
， +∞]．
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