1樓:匿名使用者
lim[(n+1)^2/((n+1)^2+1)]/[n^2/(n^2+1)]
=1故收斂半徑r=1
當x=±1時,一般項n^2/(n^2+1)不趨於0故收斂域為(-1,1)
求冪級數無窮∑(∞,n=1)2^n/(n^2+1)x^n的收斂半徑,收斂區間及收斂域?
2樓:月影低徊
收斂半徑:r=1/2
收斂區間,收斂域:(-1/2,1/2)
3樓:匿名使用者
2到正無窮,負2到負無窮
求冪級數求冪級數∑(∞,n=1)x^n/n^2n的收斂域與和函式
4樓:匿名使用者
如圖所示:
即處處收斂,但這個和函式是非初等的
求冪級數∑(∞ ,n=1)x^n/n的收斂半徑及收斂域及其和函式
5樓:匿名使用者
1/(1-x)=1+x+x^bai2+x^3+x^4+...
兩邊積分
∫1/(1-x)dx=x+x^2/2+x^3/3+...
即得:du∑(∞ ,n=1)x^n/n=-ln(1-x)收斂域:|zhix|<1
冪函式的性質:
一、當α為整內數時,α的正容負性和奇偶性決定了函式的單調性:
1、當α為正奇數時,影象在定義域為r內單調遞增。
2、當α為正偶數時,影象在定義域為第二象限內單調遞減,在第一象限內單調遞增。
3、當α為負奇數時,影象在第一三象限各象限內單調遞減(但不能說在定義域r內單調遞減)。
4、當α為負偶數時,影象在第二象限上單調遞增,在第一象限內單調遞減。
二、當α為分數時,α的正負性和分母的奇偶性決定了函式的單調性:
1、當α>0,分母為偶數時,函式在第一象限內單調遞增。
2、當α>0,分母為奇數時,若分子為偶數,函式在第一象限內單調遞增,在第二象限單調遞減;若分子為奇數,函式在第
一、三象限各象限內單調遞增。
6樓:葛善翦孤容
由1/(1-x)=1+x+x^2+x^3+x^4+...
兩邊積分
∫1/(1-x)dx=x+x^2/2+x^3/3+...
即得:∑(∞
,n=1)x^n/n=-ln(1-x)
收斂域:|x|<1
求冪級數∑(∞ ,n=0)x^n/n+1的收斂半徑及收斂域
7樓:匿名使用者
解:∵ρ62616964757a686964616fe58685e5aeb931333431353865=lim(n→∞)丨an+1/an丨=lim(n→∞)n(n+1)/[(n+1)(n+2)]=1,∴收斂半徑r=1/ρ=1。
又lim(n→∞)丨un+1/un丨=丨x丨/r<1,∴丨x丨<1,即-1而當x=-1時,是交錯級數,級數為∑(-1)^n/[n(n+1)]≤∑1/[n(n+1),而後者收斂;當x=1時,收斂。
∴收斂區間為-1≤x≤1,即x∈[-1,1]。
將一個收斂半徑是正數的冪級數的變數取為複數,就可以定義一個全純函式。收斂半徑可以被如下定理刻畫:
一箇中心為 a的冪級數 f的收斂半徑 r等於 a與離 a最近的使得函式不能用冪級數方式定義的點的距離。
到 a的距離嚴格小於 r的所有點組成的集合稱為收斂圓盤。
最近點的取法是在整個複平面中,而不僅僅是在實軸上,即使中心和係數都是實數時也是如此。例如:函式
如果冪級數在 a附近可展,並且收斂半徑為 r,那麼所有滿足 |z a| = r的點的集合(收斂圓盤的邊界)是一個圓,稱為收斂圓。冪級數在收斂圓上可能收斂也可能發散。
例 1: 函式 (z) = (1 z) 在z= 0 處的冪級數收斂半徑為1,並在收斂圓上的所有點處發散。
例 2: 函式 g(z) = ln(1 z) 在z= 0 處的冪級數收斂半徑為1,在z= 1 處發散但除此之外,在收斂圓上所有其它點上都收斂。例1中的函式 (z) 是 -g(z) 的復導數。
8樓:機智的墨林
點評:先求收斂半徑,再求收斂域,在判斷端點時為交錯級數,所以運用萊布尼茨定理即可
求冪級數∑x^n/(n^2)(2^n)的收斂半徑和收斂域
9樓:匿名使用者
收斂半徑 r = lima/a
= lim(n+1)^2[2^(n+1)]/[n^2(2^n)] = 2
x = ±2 時級數都收斂,則 收斂域為 x∈[-2, 2].
求冪級數n 1 n n 1 x n的在其收斂域的和函式
設其和函式為f x xf x 就變成 x n 1 n 1的冪級數，對新的冪級數逐項求導。顯然由比bai值審斂法易知其收斂域為 1,1 du n 1 n x n 1 1 n x n x n 1 n x n x 1 x 1 n x n 令f x 1 n x n 則f x x n 1 1 1 x 所以f ...
n 1 n 1 x n的和函式與n 1 2n x 2n 1 的和函式要有具體步驟
令f x n 1 n 1 x n 兩邊求不定積分，則 f x dx n 1 x n 1 x 2 n 1 x n 1 x 2 1 x 求導可得 f x 2x x 2 1 x 2。令g x n 1 2nx 2n 1 兩邊不定積分，得 g x dx n 1 x 2n x 2 1 x 2 求導得 g x 2...
冪級數展開用先積分後求導的方法時，n要從0變成1，我如果不變，還是從0開始，有影響嗎。我看0的時候
冪級數是由其各次項係數決定的，與這套係數腳標是從0開始還是從1開始無關。因此，變與不變，對結果無影響。但是，係數腳標初始值不同，冪級數通項的表示式會發生改變，這是運算中必須注意的問題 n就是從0開始，不變。冪級數求導首項為0時，求導後的冪級數n可以從0起，大部分從1起，什麼時候從0起不對呢?5 冪級...