1樓：匿名使用者
| 用定義證明極限都是
格式的寫法，依樣畫葫蘆就是，做一個：
11）因 x0≠0，限 |x-x0|<|x0|/2，有 |x|>=|x0|-|x-x0|>|x0|/2。任意給定ε>0，要使
|cos(1/x)-cos(1/x0)| = 2|-sin[(1/x-1/x0)/2]sin[(1/x+1/x0)/2]|
<= |1/x-1/x0|
<= |x-x0|/|xx0|
<= |x-x0|/(x0²/2) < ε，
需 |x-x0| < (x0²/2)ε，取 δ(ε)=min > 0，則當 0<|x-x0|<δ(ε) 時，就有
|cos(1/x)-cos(1/x0)| <= |x-x0|/(x0²/2) < … = ε，
根據極限的定義，得證。
用函式極限定義證明下列極限lim(x→∞)arctanx/x²=o
2樓：匿名使用者
當x→∞時，arctanx→π/2，x²→∞。常數/∞=0.故lim(x→∞)arctanx/x²=o
急求！！！！！證明 當x＞0時 arctan x≦x
3樓：星光燦爛
^令f(x)=arctan x-x
f'(x)=1/(1+x^2)-1=-x^2/(1+x^2)當x＞0時
f'(x)=x^2/(1+x^2)＜0
所以f(x)是單調遞減的
f(0)=0
當x＞0時
f(x)=arctan x-x＜0
4樓：匿名使用者
arctan x的導數為1/(1+x^2)。
x的導數為1。
所以在x>0時，1/(1+x^2)<1，即f(x)=x-arctan(x)是個在x>0區間的增函式。
而且f(0)=0，所以當x>0時，f(x)>0，即arctan x如果你不會高等數學，可以這麼證（近似的，不是特別嚴格，需要一些區間的修訂來保證嚴格性），兩邊tan，則
只要能證 x < tan(x) 即可（在第一個區間內）。
見下圖，oa=1，角koa設為x，則al是tan(x)，ka弧是x。
扇形oka面積為x，而三角形oal面積為tan(x)。
明顯地，oal包含了oka，所以x < tan(x)。
5樓：匿名使用者
解：考察y=arctanx可以知道，該函
數的定義域為r，值域為（0，π/2），很顯然，當x>π/2時，x>arctanx成立，下面主要討論x∈（0，π/2）的情況：
在考察函式y=tanx，可以知道，在（0，π/2）內是增函式，於是：
tan(x-arctanx)
=(tanx - x) / (1+xtanx)因為x∈（0，π/2），因此：1+xtanx > 0成立對於tanx-x的特性，可用如下圖來證明：
圖中圓是單位圓，則x所對應的扇形面積為：
s扇=(1/2)x
而x所在三角形面積為：
s=(1/2)tanx
易知：s > s扇
因此：tanx>x
所以：tan(x-arctanx)
=(tanx - x) / (1+xtanx)>0
即：tan(x-arctanx)>0
又因為在（0，π/2）y=tanx是增函式，所以：
tan(x-arctanx)>0=tan0+因此：x>arctanx成立
通過上述分析可知：
若要arctanx≤x成立，只能是x=0
證明：當x→0時，有arctanx~x（大一高數）
6樓：匿名使用者
【因為打不出等價符號，只好用近似符號替代了】
7樓：汪秀卿萌運
令t=arctanx,則x=tant,x→0,則t→0,即,求證t→0時t=tant,tant=sint/cost,
tant/t=(sint/t)*(1/cost),t→0時,sint/t=1,1/cost=1,故,tant/t=1,得證.
所以t→0時t=tant,即,x→0時,有：arctanx~x
用極限定義證明:函式f(x)當x→x0時極限存在的充要條件是左右極限各自存在且相等
8樓：匿名使用者
證明x趨於x0時f(x)極限存在等價於，對於任意給出的一個正數ε，總存在一
個正數δ，使得當x滿足
|x-x0|<δ時，|f(x)-a|<ε會成立左極限存在即總存在一個正數δ，使得當x滿足|x-x0|<δ時,f(x)-a<ε
右極限存在即總存在一個正數δ，使得當x滿足|x-x0|<δ時,a-f(x)<ε
所以左右極限都存在時，總存在一個正數δ，使得當x滿足|x-x0|<δ時
-εx0時極限存在的充要條件是左極限,右極限均存在並相等
arctanx和x為什麼是等價無窮小
9樓：匿名使用者
x→0時，arctanx～x
令arctanx＝y，x＝tany，x趨於0時，y趨於0，因此 lim arctanx/x＝lim y/tany＝lim ycosy/siny =lim cosy/(siny/y)＝1。即arctanx～x。
無窮小量是數學分析中的一個概念，在經典的微積分或數學分析中，無窮小量通常以函式、序列等形式出現。無窮小量即以數0為極限的變數，無限接近於0。
確切地說，當自變數x無限接近x0（或x的絕對值無限增大）時，函式值f(x)與0無限接近，即f(x)→0(或f(x)=0)，則稱f(x)為當x→x0(或x→∞)時的無窮小量。特別要指出的是，切不可把很小的數與無窮小量混為一談。
擴充套件資料相關性質：
1、無窮小量不是一個數，它是一個變數。
2、零可以作為無窮小量的唯一一個常量。
3、無窮小量與自變數的趨勢相關。
4、有限個無窮小量之和仍是無窮小量。
5、有限個無窮小量之積仍是無窮小量。
6、有界函式與無窮小量之積為無窮小量。
7、特別地，常數和無窮小量的乘積也為無窮小量。
8、恆不為零的無窮小量的倒數為無窮大，無窮大的倒數為無窮小。
10樓：孤翼之淚
當x趨向於0的時候，limarctanx/x=lim0>1/(1+x²)=1，根據等價無窮小的定義，因此，當x趨向於0的時候，arctanx與x是等價無窮小，有疑問請追問，滿意請採納~\(≧▽≦)/~
11樓：匿名使用者
lim（arctanx÷x）＝lim（1/x2＋1）
x→0 x→0
12樓：時光時光墾丁丁
arctanx 的極限是arctan 0= 負無窮。
用極限定義證明當x→x0時，lim[f(x)/g(x)]=lim f(x)/lim g(x)
13樓：drar_迪麗熱巴
|設limf=a，limg=b≠0。
任給d>0，
因為limf=a，所以存在r>0，
當|62616964757a686964616fe58685e5aeb931333431376565x-x0|同理，存在s>0，當|x-x0|因為limg=b≠0，所以存在t>0，當|x-x0|成立|g|>|b|/2③【見極限保號性處】
取u=min，則當|x-x0|而|f/g-a/b|=|（bf-ag）/gb|
=|（bf-ba+ba-ag）/gb|
《（|b||f-a|+|a||g-b|）/|g||b|
<2（|b|d+|a|d）/|b|²=cd。
其中c=2（|b|+|a|）/|b|²>0。
證畢。用極限思想解決問題的一般步驟可概括為：
對於被考察的未知量，先設法正確地構思一個與它的變化有關的另外一個變數，確認此變數通過無限變化過程的』影響『趨勢性結果就是非常精密的約等於所求的未知量；用極限原理就可以計算得到被考察的未知量的結果。
極限思想是微積分的基本思想，是數學分析中的一系列重要概念，如函式的連續性、導數（為0得到極大值）以及定積分等等都是藉助於極限來定義的。如果要問：「數學分析是一門什麼學科?
」那麼可以概括地說：「數學分析就是用極限思想來研究函式的一門學科，並且計算結果誤差小到難於想像，因此可以忽略不計。
14樓：匿名使用者
||當|
||設limf=a，復limg=b≠0。
任給d>0，
因為制limf=a，所以存在r>0，
當|x-x0|理，存在s>0，當|x-x0|0，當|x-x0||b|/2③【見極限保號性處】
取u=min，則當|x-x0|0。證畢。
用函式極限的定義證明函式f(x)當x→x0時極限存在的充要條件s左極限和右極限各自存在且相等 20
15樓：匿名使用者
充分性：（已知左右極限存在且相等,證明極限存在）設lim[x→x0+] f(x)＝a，lim[x→x0-] f(x)＝a。由，lim[x→x0+] f(x)＝a。
證明充分性時，是由左右極限的定義出發，證明出符合極限的定義。而函式的極限定義是對任一ε而言的，ε雖然可任意取得，但一經指定，它就是固定的。證明的過程運用左右極限的定義時，若不選取同一ε，而選不同的ε1、ε2，就不符合極限定義。
利用極限定義證明函式f當趨於0時極限存在的
證明 1,必要性 因為f x 當x xo時極限存在,設為a,則f x a的絕對值 e,a f x 根據函式極限定義證明 函式f x 當xn時極限存在的充要條件是左極限,右極限各自存在並且相等。極限 lim x x0 f x 存在 對於任du給的zhi 0,總dao存在 0,使得對任意的 x 若 0 ...
函式極限證明題，急！函式極限定義證明例題
不知道你看的書上對函式極限是怎麼理解的，現在按我的理解證明一下 f x 當x x0時極限存在。對任意數列 lim a n x0,滿足 數列極限都存在並且相等。f x 當x x0左極限存在。對任意數列 a n 數列極限都存在並且相等。f x 當x x0右極限存在。對任意數列 a n x0，lim a ...
用函式極限定義證明下列極限limx2x
所以等式成立。關鍵是 習慣這樣的書寫格式。事實上格式的邏輯關係非常清晰。任給 0,要 x 2 4 x 2 4 x 2 只需 2 x 2 4 x 2 4.3x2 1 x2 4 3 13 x2 4 令f x 3x2 1 x2 4 任取 0 只要n 13 4 有13 x2 4 即 f x 3 所以x趨於無...