1樓：光清竹桓畫
這裡將列舉幾個基本的函式的導數以及它們的推導過程:
1.y=c(c為常數)
y'=0
2.y=x^n
y'=nx^(n-1)
3.y=a^x
y'=a^xlna
y=e^x
y'=e^x
4.y=logax(a為底數，x為真數)
y'=1/x*lna
y=lnx
y'=1/x
5.y=sinx
y'=cosx
6.y=cosx
y'=-sinx
7.y=tanx
y'=1/cos^2x
8.y=cotx
y'=-1/sin^2x
9.y=arcsinx
y'=1/√1-x^2
10.y=arccosx
y'=-1/√1-x^2
11.y=arctanx
y'=1/1+x^2
12.y=arccotx
y'=-1/1+x^2
13.y=u^v
==>y'=v'
*u^v
*lnu+u'
*u^(v-1)*v
在推導的過程中有這幾個常見的公式需要用到：
1.y=f[g(x)],y'=f'[g(x)]•g'(x)『f'[g(x)]中g(x）看作整個變數，而g'(x)中把x看作變數』
2.y=u/v,y'=u'v-uv'/v^2
3.y=f(x)的反函式是x=g(y），則有y'=1/x'
證：1.顯而易見，y=c是一條平行於x軸的直線，所以處處的切線都是平行於x的，故斜率為0。
用導數的定義做也是一樣的：y=c,△y=c-c=0,lim△x→0△y/△x=0。
2.這個的推導暫且不證，因為如果根據導數的定義來推導的話就不能推廣到n為任意實數的一般情況。在得到
y=e^x
y'=e^x和y=lnx
y'=1/x這兩個結果後能用複合函式的求導給予證明。
3.y=a^x,
△y=a^(x+△x)-a^x=a^x(a^△x-1)
△y/△x=a^x(a^△x-1)/△x
如果直接令△x→0，是不能匯出導函式的，必須設一個輔助的函式β＝a^△x-1通過換元進行計算。由設的輔助函式可以知道：△x=loga(1+β)。
所以(a^△x-1)/△x＝β/loga(1+β)=1/loga(1+β)^1/β
顯然，當△x→0時，β也是趨向於0的。而limβ→0(1+β)^1/β=e,所以limβ→01/loga(1+β)^1/β=1/logae=lna。
把這個結果代入lim△x→0△y/△x=lim△x→0a^x(a^△x-1)/△x後得到lim△x→0△y/△x=a^xlna。
可以知道，當a=e時有y=e^x
y'=e^x。
4.y=logax
△y=loga(x+△x)-logax=loga(x+△x)/x=loga[(1+△x/x)^x]/x
△y/△x=loga[(1+△x/x)^(x/△x)]/x
因為當△x→0時，△x/x趨向於0而x/△x趨向於∞，所以lim△x→0loga(1+△x/x)^(x/△x)＝logae,所以有
lim△x→0△y/△x＝logae/x。
可以知道，當a=e時有y=lnx
y'=1/x。
這時可以進行y=x^n
y'=nx^(n-1)的推導了。因為y=x^n,所以y=e^ln(x^n)=e^nlnx,
所以y'=e^nlnx•(nlnx)'=x^n•n/x=nx^(n-1)。
5.y=sinx
△y=sin(x+△x)-sinx=2cos(x+△x/2)sin(△x/2)
△y/△x=2cos(x+△x/2)sin(△x/2)/△x=cos(x+△x/2)sin(△x/2)/(△x/2)
所以lim△x→0△y/△x=lim△x→0cos(x+△x/2)•lim△x→0sin(△x/2)/(△x/2)=cosx
6.類似地，可以匯出y=cosx
y'=-sinx。
7.y=tanx=sinx/cosx
y'=[(sinx)'cosx-sinx(cos)']/cos^2x=(cos^2x+sin^2x)/cos^2x=1/cos^2x
8.y=cotx=cosx/sinx
y'=[(cosx)'sinx-cosx(sinx)']/sin^2x=-1/sin^2x
9.y=arcsinx
x=siny
x'=cosy
y'=1/x'=1/cosy=1/√1-sin^2y=1/√1-x^2
10.y=arccosx
x=cosy
x'=-siny
y'=1/x'=-1/siny=-1/√1-cos^2y=-1/√1-x^2
11.y=arctanx
x=tany
x'=1/cos^2y
y'=1/x'=cos^2y=1/sec^2y=1/1+tan^2x=1/1+x^2
12.y=arccotx
x=coty
x'=-1/sin^2y
y'=1/x'=-sin^2y=-1/csc^2y=-1/1+cot^2y=-1/1+x^2
13.聯立：
①(ln(u^v))'=(v
*lnu)'
②(ln(u^v))'=ln'(u^v)
*(u^v)'=(u^v)'
/(u^v)
另外在對雙曲函式shx,chx,thx等以及反雙曲函式arshx,archx,arthx等和其他較複雜的複合函式求導時通過查閱導數表和運用開頭的公式與
4.y=u土v,y'=u'土v'
5.y=uv,y=u'v+uv'
2樓：
所有最基本的倒數推導都可以用△x, 當它趨向於0，來求
3樓：熱情的楊楊歲月
設：指數函式為：y=a^x
y'=lim【△x→0】[a^(x+△x)-a^x]/△xy'=lim【△x→0】/△x
y'=lim【△x→0】(a^x)/△x
y'=(a^x)lim【△x→0】/△x…………(1)設：[(a^(△x)]-1=m
則：△x=log【a】(m+1)
因此,有：‘
/△x=m/log【a】(m+1)
=1/log【a】[(m+1)^(1/m)]當△x→0時,有m→0
故：lim【△x→0】/△x
=lim【m→0】1/log【a】[(m+1)^(1/m)]=1/log【a】e
=lna
代入(1),有：
y'=(a^x)lim【△x→0】/△x
y'=(a^x)lna證畢.
求指數函式的導數是如何推導的？
4樓：蹦迪小王子啊
a^xlna推導過程
y=a^x
兩邊同時取對數：
lny=xlna
兩邊同時對x求導數：
==>y'/y=lna
==>y'=ylna=a^xlna
導數的求導法則
由基本函式的和、差、積、商或相互複合構成的函式的導函式則可以通過函式的求導法則來推導。基本的求導法則如下：
1、求導的線性：對函式的線性組合求導，等於先對其中每個部分求導後再取線性組合（即①式）。
2、兩個函式的乘積的導函式：一導乘二+一乘二導（即②式）。
3、兩個函式的商的導函式也是一個分式：（子導乘母-子乘母導）除以母平方（即③式）。
4、如果有複合函式，則用鏈式法則求導。
5樓：愚人談娛樂
y=a^x
兩邊同時取對數：
lny=xlna
兩邊同時對x求導數：
==>y'/y=lna
==>y'=ylna=a^xlna
導數的求導法則
由基本函式的和、差、積、商或相互複合構成的函式的導函式則可以通過函式的求導法則來推導。基本的求導法則如下：
1、求導的線性：對函式的線性組合求導，等於先對其中每個部分求導後再取線性組合（即①式）。
2、兩個函式的乘積的導函式：一導乘二+一乘二導（即②式）。
3、兩個函式的商的導函式也是一個分式：（子導乘母-子乘母導）除以母平方（即③式）。
4、如果有複合函式，則用鏈式法則求導。
6樓：匿名使用者
f(x) = a^x
lnf(x) = xlna
f'(x)/f(x) = lna
f'(x) = lna . f(x)
=lna . a^x
f'(x)
=lim(h->0) [f(x+h)- f(x)]/ h=lim(h->0) ( a^(x+h) - a^x ) /h=lim(h->0) a^x .( a^h -1 ) /h=lim(h->0) a^x .( lna.
h ) /h=lna. a^x
指數函式的導數公式是如何推匯出來的？
7樓：匿名使用者
^這裡將列舉幾個基本的函式的導數以及它們的推導過程:
1.y=c(c為常數) y'=0
2.y=x^n y'=nx^(n-1)
3.y=a^x y'=a^xlna
y=e^x y'=e^x
4.y=logax(a為底數，x為真數) y'=1/x*lnay=lnx y'=1/x
5.y=sinx y'=cosx
6.y=cosx y'=-sinx
7.y=tanx y'=1/cos^2x
8.y=cotx y'=-1/sin^2x9.y=arcsinx y'=1/√1-x^210.
y=arccosx y'=-1/√1-x^211.y=arctanx y'=1/1+x^212.y=arccotx y'=-1/1+x^213.
y=u^v ==> y'=v' * u^v * lnu + u' * u^(v-1) * v
在推導的過程中有這幾個常見的公式需要用到：
1.y=f[g(x)],y'=f'[g(x)]
8樓：匿名使用者
根據高等數學中有兩個重要的極限中第二個lim(1+1/x)^x=ex~∞y=lnxy'=[ln(x+t)-lnx]/t t~0xy'=ln(1+t/x)^x/t t~0m=x/t則xy'=ln(1+1/m)^m m~∞ =lne=1 y'=1/x 對於y=e^xlny=x兩邊求導 y'/y=1 y'=y=e^x
指數函式和復指數函式的關係,指數函式和對數函式有什麼關係？
指數函式是數學中重要的函式。應用到值e上的這個函式寫為exp x 還可以等價的寫為ex，這裡的e是數學常數，就是自然對數的底數，近似等於 2.718281828，還稱為尤拉數。當a 1時，指數函式對於x的負數值非常平坦，對於x的正數值迅速攀升，在 x等於0的時候，y等於1。指數函式和對數函式有什麼關...
指數函式的反函式是什麼，指數函式和對數函式有什麼區別？為什麼說對數函式是指數函式的反函式？能舉個例子嗎
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指數函式的化簡技巧
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